藤瑞品 宋晓琳

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082

二维随机载荷作用下疲劳寿命的研究

藤瑞品 宋晓琳

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082

基于Goodman公式和Miner损伤定则，提出了一种考虑载荷均值影响的二维随机载荷作用下疲劳寿命的计算方法。在此基础上以幅值和均值均符合正态分布的随机载荷为研究对象，推导出了其当量载荷的概率密度函数和等效载荷的数学模型，采用Gauss-Legendre求积公式进行积分运算，对该载荷作用下的疲劳寿命进行了研究。分析了等效载荷随载荷均值和幅值不同分布参数变化而变化的规律，并与不考虑载荷均值的一维随机载荷作用下的等效载荷进行了对比。研究结果表明：载荷均值μm的正负变化对等效载荷产生明显的影响，负的μm导致等效载荷降低，甚至低于一维随机载荷作用下的等效载荷；而正的μm会导致等效载荷迅速增大以至到远大于一维随机载荷作用的等效载荷；当μm=0时，二维随机载荷则略高于一维随机载荷作用的等效载荷。

二维随机载荷;载荷均值;高斯分布;等效载荷;疲劳寿命

0 引言

在进行材料疲劳耐久性研究时，载荷的施加一般有两种处理方法，一是施加循环载荷，二是施加随机载荷。采用随机载荷加载时由于考虑了载荷的统计特性，因此要比采用循环载荷加载更符合实际使用条件。

随机载荷一般服从某种连续性的概率分布，例如正态分布、指数分布、对数正态分布、极值分布以及三参数威布尔分布等[1]。胡建军等[2]针对载荷幅值为正态分布的情况研究了载荷比例系数和变差系数之间的关系，并以随机载荷为输入对齿轮的疲劳寿命进行了试验研究。高孝旺[1]针对载荷幅值为威布尔分布的情况分析了三参数威布尔分布的三个参数对等效载荷、载荷比例系数的影响趋势，以及载荷波动程度即变异系数对载荷比例系数的影响趋势，对同均值条件下正态分布与三参数威布尔分布的等效载荷进行了对比。武滢等[3]针对载荷幅值和均值都为随机分布的情况，以联合概率密度为基础建立了疲劳寿命的分布预测模型。郭虎等[4]对汽车前桥载荷进行采集，得到包含幅值和均值的载荷谱，并对采用Goodman经验公式进行等效转换后的等效载荷进行统计学分析，得出在各种路面下等效载荷的分布符合三参数威布尔分布的结论，并给出了分布参数。王正等[5]建立了应力幅值为随机变量的随机载荷作用下结构的疲劳寿命计算模型。陈欣等[6]对汽车传动系统的载荷谱进行了研究，结果表明：传动系的载荷幅值符合对数正态分布，均值符合正态分布，且二者相互独立。

汽车在随机载荷作用下工作时, 其载荷的均值与幅值都是随机变化的,载荷均值的变化同样会对零件的疲劳寿命造成较大影响。为了更准确地对零件的疲劳寿命进行预测，对载荷幅值和均值均为随机变量的二维随机载荷作用下的疲劳寿命进行深入研究是非常有必要的。

为了确定考虑载荷均值影响的随机载荷的统计特性，文献[4]首先将采集到的载荷幅值和载荷均值信息通过Goodman经验公式转化为等效载荷，然后再对等效载荷进行统计学分析，从而得出等效载荷的统计特性。这种方法的优点是由于不考虑载荷幅值和载荷均值各自的统计特性，因此不需进行复杂的概率计算；缺点是在当载荷幅值和均值各自服从一定的统计分布特性的情况下，采用该方法分析得出的等效载荷的统计分布规律不够准确或不够完整。

为了准确地得到等效载荷的统计分布规律，则必须对载荷幅值和均值各自的统计分布特性进行分析，得到载荷幅值和均值各自的统计分布规律，再通过幅值和均值的数学关系，根据概率理论来推算出等效载荷的统计分布规律。

1 二维随机载荷作用下的疲劳寿命

1.1 二维随机载荷作用下的Miner定则

目前在工程实际中，Miner累积疲劳损伤定则广泛地应用于结构件在变幅载荷下疲劳寿命的预测中[7-9]，在随机载荷作用下的Miner定则如下：

(1)

式中，D为材料的累积疲劳损伤;N为材料受到的循环载荷总数量；S为材料受到的载荷；f(S)为随机载荷的概率密度函数；Nf为材料在载荷S作用下的疲劳寿命。

假设零件受到幅值为Sa、均值为Sm的循环载荷作用，可以把点(Sa，Sm)用等寿命曲线等效到对称循环上，根据Goodman公式，当量载荷Seq的表达式[10]为

(2)

式中，σb为材料的拉伸强度。

根据对金属材料疲劳性能曲线的研究[10]，对于整个中长寿命区，疲劳寿命和载荷之间的关系建议采用以下三参数经验公式:

Nf(S-S0)β=α

(3)

式中，S0、α、β均为待定常数。

文献[11]提出的应力疲劳寿命公式为

Nf=Cf(Seq-(Seq)c)-2

(4)

式中，Cf、(Seq)c分别为疲劳抗力系数和用等效应力幅表示的理论疲劳极限，它们均为材料常数。

为了对式(4)进行验证，文献[12-13]以16Mn钢和15MnVN钢为对象进行了研究，测定了16Mn钢和15MnVN钢的拉伸性能，并测定了φ10 mm光滑试件疲劳寿命，进行了回归分析，分析结果显示采用式(4)来拟合低合金高强度钢R=-1时的疲劳试验结果是有效的[11]。

假设零件受到连续二维随机载荷作用，其当量载荷的概率密度函数为f(Seq)，根据Miner准则，零件在受到载荷总循环数为N时的累积疲劳损伤为

(5)

式(5)即为基于Goodman公式的二维随机载荷作用下的Miner定则的表达式。当D=1时，式(5)反求得到的N即为在随机载荷作用下的疲劳寿命。

1.2 疲劳寿命的计算

基于二维随机载荷作用下的Miner定则，疲劳寿命的计算方法如下：

(1)利用试验采集载荷谱数据，通过统计学分析得出载荷幅值和均值的分布特性和概率密度函数。

(2)基于Goodman公式和概率统计理论推导当量载荷的概率密度函数f(Seq)。

(3)根据式(5)反求疲劳寿命，即

(6)

2 二维正态分布随机载荷的当量载荷的概率密度函数

2.1 概率密度函数推导

根据式(2)，设Y=Sa，X=1-Sm/σb， 则Seq=Y/X。

当X服从正态分布，且X～N(μ,σ2)时,Y=AX+B同样服从正态分布，且Y～N(Aμ+B,(Aσ)2)，据此可以得出X=1-Sm/σb～N(-μm/σb+1,(σm/σb)2)。

(7)

设Z=Seq，根据式(7)，其概率密度函数fZ(z)推导如下:

令

采用第一类换元法：

可得

设

则

根据函数e-at2的对称性质可知：

得出当量载荷Seq的概率密度函数fZ(z)为

(8)

2.2 概率密度函数性质验算

fZ(z)属于不可积分函数，即其原函数不能用初等函数表示，采用数值分析的方法对其进行积分运算。

表1 分布参数取值

表2所示为部分计算结果。

2.3 函数图形分析

图1～图4为不同μ1、σ1、μ2、σ2取值情况下的fZ(z)的函数图形。

对图1～图4进行分析，可以得出以下结论。

(1)fZ(z)函数图形形状和正态分布函数形状相似，主要为以下三点：①函数值具有峰值点，且z离峰值点越远，函数值越小；②函数在峰值点两侧都有拐点；③曲线以水平轴为渐近线。

表2 部分验算结果

图1 μ1对fZ(z)的影响曲线Fig.1 fZ(z) curve under influence of μ1

图2 σ1对fZ(z)的影响曲线Fig.2 fZ(z) curve under influence of σ1

图3 μ2对fZ(z)的影响曲线Fig.3 fZ(z) curve under influence of μ2

图4 σ2对fZ(z)的影响曲线Fig.4 fZ(z) curve under influence of σ2

(2)在其他三个参数不变的情况下，μ1减小、σ1、μ2、σ2增大使函数峰值减小，同时函数曲线形状变平缓。

(3)μ2的增大使得峰值点向右移动，μ1和σ1的增大使峰值点向左移动，σ2的变化不改变峰值点位置。

3 疲劳寿命分析

3.1 等效载荷

从总的作用效果来看, 在随机载荷与循环载荷两类载荷作用下的最终结果都是导致构件的损伤状态达到临界值而发生失效[16],可以认为对应于某随机载荷过程，一定存在一个与它等效的恒幅载荷，使得构件在相同的初始状态下, 经过相同的作用时间同时发生损坏。定义该恒幅载荷为随机载荷的等效载荷，用SD表示。

根据式(4)和式(6)，并对于小于疲劳极限(Seq)c的载荷按照小载荷省略准则[7]进行省略处理，可推导出等效载荷的计算公式为

(9)

等效载荷和疲劳寿命的对应关系见式(4)，对疲劳寿命的研究可转化为对等效载荷的研究。

3.2 分布参数对等效载荷的影响

以16Mn材料为例，针对不同的载荷分布参数μ1、σ1、μ2、σ2，对二维独立正态随机载荷的等效载荷进行分析计算。

在进行分析时，不允许材料在加载过程中出现等效载荷超过抗拉强度的情况，所以计算等效载荷时，取积分上限为材料的抗拉强度。同时计算当量载荷大于抗拉强度的概率，当随机载荷发生1次大于抗拉强度的概率所对应的载荷样本数量n小于所计算的等效载荷的疲劳强度所对应的循环次数时，以n做为该随机载荷的疲劳强度，其对应的载荷作为等效载荷。低于疲劳极限的情况按疲劳极限处理。

根据相关文献的研究结果[7]，16Mn的材料疲劳抗力系数Cf= 3.95×108，用当量应力幅表示的理论疲劳极限(Seq)c=261 MPa。以此数据为基础对表1中不同分布参数下的等效载荷进行计算，并将μ2、σ2取值一样时不考虑载荷均值影响下的一维随机载荷作用下的等效载荷进行对比。在进行积分运算时，仍采用Gauss-Legendre求积公式。

表3为μ2和σ2为固定值(分别为210，40)、不同的μ1、σ1条件下等效载荷的计算结果。根据表3的计算结果可以得出：等效载荷的大小随μ1增大而减小，随σ1增大而增大。其他μ2和σ2情况下的分析可得出相同的结论。

对μ1<1，μ1=1，μ1>1(分别对应μm>0、μm=0、μm<0)三种情况进行分析，取μ1=0.75、μ1=1.00、μ1=1.25，并对应σ1=0.05和σ1=0.1两种情况，分析结果见表4～表7，表8为不考虑载荷均值的一维随机载荷作用下的等效载荷。

对表4～表7进行分析可以得到：

(1)等效载荷随着μ2、σ2(σ、μ)的增大而增大。

(2)当μ1=1时，考虑载荷均值的二维随机载荷和不考虑载荷均值的一维随机载荷的等效载荷基本相当，前者比后者略大。

(3)当μ1=0.75时，随着μ2、σ2的增大，二维随机载荷的等效载荷迅速增大，直至远大于一维随机载荷的等效载荷。

(4)当μ1=1.25时，二维随机载荷的等效载荷小于一维随机载荷的等效载荷。

(5)对μ1为其他取值的分析情况与上述结果类似，当μ1>1时，二维随机载荷的等效载荷减小直至小于一维随机载荷的等效载荷，而当μ1<1时, 二维随机载荷的等效载荷会迅速增大。

表3 不同μ1、σ1下的等效载荷(MPa)和疲劳寿命(cycles)(μ2=210，σ2=40)

表4 不同μ2、σ2下的等效载荷(MPa)和疲劳寿命(cycles)(μ1=0.75，σ1=0.05)

表5 不同μ2、σ2下的等效载荷(MPa)和疲劳寿命(μ1=1，σ1=0.05)

表6 不同μ2、σ2下的等效载荷(MPa)和疲劳寿命(μ1=1，σ1=0.1)

通过上述分析可知，μ1偏离1的正负方向对等效载荷的影响非常大,其原因是：当μ1>1时实际上对应的载荷均值Sm的均值μm<0，而μ1<1对应的μm>0。根据式(2)，正的Sm值会使当量载荷增大，而负的Sm值则会对当量载荷起到减小的作用，从而导致了等效载荷对μ1偏离1的正负方向敏感。

3.3 疲劳寿命计算

在得出等效载荷后，根据式(4)计算疲劳寿命，计算结果一并列入了表3～表8。

表7 不同μ2、σ2下的等效载荷(MPa)和疲劳寿命(cycles)(μ1=1.25，σ1=0.1)

表8 一维随机载荷的等效载荷(MPa)和疲劳寿命(cycles)

4 结论

(1)基于Goodman公式和Miner累积损伤定则，提出了一种考虑载荷均值影响的二维随机载荷作用下疲劳寿命的计算方法；在此基础上对载荷均值和载荷幅值均符合正态分布、且相互独立的二维随机载荷的当量载荷的统计特性进行了分析，推导出了该二维随机载荷的概率密度函数和等效载荷的数学模型。

(2)研究了二维独立正态随机载荷作用下的等效载荷的变化规律，并与一维随机载荷的等效载荷进行了比较。研究结果表明，载荷均值对二维正态随机载荷的等效载荷有较大的影响，在载荷均值Sm的均值μm<0时，等效载荷迅速减小甚至低于一维随机载荷的等效载荷；当μm=0时，考虑载荷均值的等效载荷比不考虑载荷均值的等效载荷略高；当μm>0时，随着μ2、σ2的增大，二维随机载荷的等效载荷迅速增大，直至远大于一维随机载荷的等效载荷。

(3)研究表明，在服从正态分布的二维随机载荷的幅值和均值的分布特性为已知的情况下，采用统计学方法对疲劳寿命进行分析和预测是可行的。该方法也适用于幅值和均值服从其他分布的二维随机载荷，如威布尔分布、对数正态分布等。

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ResearchonFatigueLifeunderTwoDemensionRandomStresses

TENG Ruipin SONG Xiaolin

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

Based on Goodman formula and Miner damage rule, a calculation method of fatigue life was presented under two dimension random stresses considering influences of mean stress. The mathematical models of the probability density function of equivalent stress and the equivalent stress of two dimension random stress were deduced whose mean stress and stress amplitude followed Gaussian distribution. By integrating with Gauss-Legendre integration formula, the fatigue life was studied under the stress. The change regulations of the equivalent stress with the change of the distribution parameters of mean stress and stress amplitude were analyzed. The equivalent stress was compared with that under one dimension random stress not considering influences of mean stress. The results show: with positive and negative direction changing of the mean values of mean stress“μm”, the equivalent stress will be influenced obviously. Negativeμmwill result in equivalent stress reduction, even less than it under one dimension conditions. Positiveμmwill result in rapidly increase of equivalent stress, even greater than it under one dimension conditions. Whenμm=0, the equivalent stress under two dimension is a little more than it under one dimension conditions.

two dimension random stress； mean stress； Gaussian distribution； equivalent stress； fatigue life

2017-01-05

TH12;U46

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.019

(编辑王艳丽)

藤瑞品，男，1974年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室博士研究生，高级工程师。研究方向为汽车疲劳耐久和可靠性。发表论文2篇。E-mail:trpll@163.com。宋晓琳，女，1965年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室教授、博士研究生导师。