刘志鹏

内容提要：对于数列的研究源于现实生产和生活的需要，人们在生活中发现了许多有趣的数列，我们尝试通过观察这些数列来研究一下这些数列的通项公式是怎么样的，以便于更深入的了解、理解数列，能运用其解决一些问题。

关键词：类型；技巧；模式化

观察法求数列通项公式主要是通过观察数列每一项的序号与这一项的对应关系，我们可以把它看成是一个序号到另一个数集的对应关系。或者是比较已知的数列，通过归纳，转化（等差数列或等比数列）等方法，尝试写出数列的通项公式，然后再去验证，如果有误差，再做调整。这对于学生的归纳推理能力要求较高，所以应注意细心观察，合理联想，善于总结。

类型一. 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式

例1（1）5，10，15，20，25，…

（2）3，5，9，17，33，…

（3）1，-3，5，-7，9，…

（4）9，99，999，9999，…

（5）1，2，1，2，1，2，…

（6） ， ， ， ， ，…

解析：（1）通过观察可以发现，每一项都是5的倍数，第一项5×1，第二项5×2，第三项5×3，第四项5×4，第五项5×5，…，所以这个数列的通项公式为： = 。

（2）通过观察可以发现，每一项都减去1之后数列会变为2，4，8，16，32，…，联系正整数幂，即21，22，23，24，25，…，所以这个数列的通项公式为： = 。

（3）通过观察可以发现，这个数列的每一项是正负相间的形式，那么可以选择用 来控制每一项的正负，同时每一项的绝对值都是奇数，即1，3，5，7，9，…，所以这个数列的通项公式为： = 。

（4）通过观察可以联想到这样一个数列10，100，1000，10000，…，数列的第一项是 ，第二项是 ，第三项是 ，第四项是 ，…，先得到这个数列的通项公式为 = ，然后减一，就得到 = -1，即为这个数列的通项公式。

（5）通过观察可以发现，数列的奇数项是1，偶数项是2，我们可以用分段的形式来写，所以这个数列的通项公式为： =

（6）通过观察可以发现，这个数列的每一项大都有根号，所以想到把第二项的数放到根号里，变为 ，第四项变为 ，这样根号里面的数分别是3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，先得到这些数的规律为 ，所以这个数列的通项公式为： = 。

类型二. 观察一组图形的变化规律，试写出其变化的通项公式

例2 下列关于笑脸的图案构成一个数列，写出它的一个通项公式

解析：通过观察可以发现，这组图形是由1，3，6，10，…这样一个数列组成的，第一项 1=1

第二项 3=1+2

第三项 6=1+2+3

第四项 10=1+2+3+4

…

第n项 1+2+3+4+…+n=

所以这个数列的通项公式为 =

例3 下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依次着色方案继续对三角形着色，则着色三角形的个数的通项公式个数为（ ）

A. B. C. D.

解析：根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9，…，归纳出第n个图形中三角形的个数。

通过观察可以发现，第一个图形中有1个三角形，

第二个图形中有3个三角形，

第三个图形中有3×3个三角形，

第四个图形中有3×9个三角形，

以此类推：第n个图形中有3n-1个三角形，故 =3n-1，所以選A

类型三.斐波那契数列

斐波那契数列为意大利数学家Fibonacci最初发现的，斐波那契数列源于兔子的繁殖问题：兔子出生后两个月就能每月生小兔，若每月不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔子一对，试问一年后共有多少对兔子？依此类推，该问题产生的数列如下：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列有个十分明显的特点，那就是，数列前面相邻两项之和，构成了数列的后一项。此数列称为斐波那契数列，又称为黄金分割数列。如果用 表示第 n 月的大兔对数，则有 = + 。

数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起： 斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命.发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现.

自然界中的斐波那契数：花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数.例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣.向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是斐波那契数.

例4观察下面数列的特点，用适当的数填空。

（1）1，2，，（ ），5，8，（ ），21，34，（ ），89

（2）3，5，（ ），13，21，（ ），55

解析：通过观察数列，发现符合斐波那契数列的形式，所以（1）的答案为3，13，55 （2）的答案为8，34

总之，观察法求数列通项公式作为数列学习的基础，在高中数列教学中应该着重引导学生去发现数列，去认识数列，进而总结出各种类型数列的解题策略和解题技巧，拓宽学生视野，提高学生能力，已达到提高学习效率的目的。

参考文献：[1]高中数学课程标准；

[2]2008——2017高考数学考纲；

[3]2008——2017高考数学原题。endprint