纪荣林，周津名

(1. 安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230601；2. 合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

关于凸期望的极小元的一些结果

纪荣林1，周津名2

(1. 安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230601；2. 合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

在非线性数学期望的公理化框架下，从凸期望和凹期望之间的Sandwich定理的视角出发，研究了带控制条件的凸期望集合的极小元问题，建立了一类带单边或双边控制条件的凸期望集合的极小元的论断与Sandwich定理之间的等价关系。

非线性数学期望；凸期望；Sandwich定理；极小元

期望效用理论是现代数理经济学的基础，但是诺贝尔经济学奖获得者Allais所提出的著名的Allais悖论使得期望效用理论受到了很大的挑战。相关研究表明基于线性数学期望的线性性是导致Allais悖论的主要原因，由此学者们致力于研究非线性数学期望。1997年，山东大学彭实戈院士通过著名的倒向随机微分方程的解引入了一类典型的域流相容的非线性数学期望——g-期望[1]。g-期望理论是研究递归效用及金融风险度量的有力工具，如Chen等[2]利用g-期望研究了递归效用；Rosazza Gianin[3]首次研究了g-期望与风险度量之间的关系；Jiang[4]建立了g-期望理论与金融风险度量之间的一一对应关系。2002年，Coquet等[5]

在研究g-期望的性质时首次提出了非线性数学期望的公理化假设条件。众所周知，非线性数学期望与金融风险度量之间有着密切的联系，Bion[6]、Delbaen等[7]在研究风险度量的相关性质时，都附加了惩罚函数的零值假设条件，即某线性数学期望EQ受控于风险度量。2009年，Jia[8]在非线性数学期望的公理化框架下，探索了线性数学期望与非线性期望之间的控制关系，证明了次线性期望集合的极小元是线性数学期望，且关于次线性期望和超线性期望之间的Sandwich定理成立；2011年，Huang等[9]试图证明凸期望集合的极小元是线性数学期望且关于凸期望和凹期望之间的Sandwich定理成立；2015年，Ji等[10]则研究了带限制条件的凸期望集合的极小元的存在性及其等价刻画。进一步地，在g-期望的框架下，受He等[11]的工作启发，文献[12]获得了凸g-期望的极小元问题及其等价刻画。

由此，一个自然的问题是：在非线性数学期望的框架下，凸期望集合的极小元的相关论断与凸期望和凹期望之间的Sandwich定理有着什么样的内在联系？

受Huang等[9]及Ji等[10]工作启发，本文致力于在非线性数学期望的公理化框架下研究凸期望集合的极小元的相关论断和Sandwich定理之间的内在联系，证明了一类带单边或双边控制条件的凸期望集合的极小元的论断与凸期望和凹期望之间的Sandwich定理之间的等价关系，完善了Huang等[9]及Ji等[10]的相关结论。

1 预备知识

设(Ω,F,P)是一个概率空间。下面我们通过公理化假设的方法引入线性数学期望和非线性数学期望的定义(参阅文献[5])。

定义1 称实值泛函E[·]:L1(Ω,F,P)→R为线性数学期望，若其满足：

(i) 保常数性：E[c]=c，∀c∈R；

(ii) 单调性：E[X]≥E[Y]，若X≥Y，P-a.s.；

严格单调性：E[X]≥E[Y]，若X≥Y，P-a.s.，且P(X>Y)>0；

(iii) 线性性：E[αX+βY]=αE[X]+βE[Y]，∀α,β∈R。

定义2 称实值泛函ε[·]:L1(Ω,F,P)→R为非线性数学期望，若其满足：

(i) 保常数性：ε[c]=c，∀c∈R；

(ii) 单调性：ε[X]≥ε[Y]，若X≥Y，P-a.s.；

严格单调性：ε[X]≥ε[Y]，若X≥Y，P-a.s.，且P(X>Y)>0。

定义3 称非线性数学期望ε为次线性期望 (超线性期望)，若其满足：

(i) 次可加性 (超可加性)：ε[X+Y]≤(≥)ε[X]+ε[Y]；

(ii) 正齐次性：ε[λX]=λε[X]，∀λ∈R。

定义4 称非线性期望ε为凸期望 (凹期望)，若其满足：

凸性 (凹性)：ε[αX+(1-α)Y]≤(≥)αε[X]+(1-α)ε[Y]，∀α∈[0,1]。

定义5 设(S,)为一偏序集, 称e0为S的一个极小元, 若e0满足：

(i)e0∈S；

(ii) 对任意的e∈S, 如果ee0, 则有e=e0。 为方便读者起见，线性数学期望的全体构成的集合记为Sl；次线性期望的全体构成的集合记为Ssl； 凸期望的全体构成的集合记为Scv。显然，Sl⊂Ssl⊂Scv。为书写方便，对非线性数学期望ε1和ε2，我们用ε1≥ε2表示ε1[X]≥ε2[X]，∀X∈L1(Ω,F,P)；用ε1=ε2表示ε1[X]=ε2[X]，∀X∈L1(Ω,F,P)。

下述引理1、引理2分别来自文[8]定理2.7和定理3.1，其中引理2被称为次线性期望与超线性期望之间的Sandwich定理。

引理1 非线性数学期望ε0为集合Ssl的一个极小元当且仅当ε0∈Sl。

引理2 设ε1为次线性期望，ε2为超线性期望。若ε1≥ε2，则存在线性数学期望E使得ε1≥E≥ε2。

2 主要结果

定理1 设ε1和ε2为非线性数学期望，则下述论断均成立且相互等价：

(i) 设ε1为凸期望，ε2为凹期望。若ε1≥ε2，则存在线性数学期望E使得ε1≥E≥ε2；

(ii) 设ε2为凹期望。则集合Scv(ε2):={ε:ε≥ε2,ε∈Scv}至少存在一个极小元，且ε为Scv(ε2)的极小元当且仅当ε∈Sl∩Scv(ε2)；

(iii) 设ε1为凸期望，ε2为凹期望且ε1≥ε2。则集合Scv(ε1,ε2):={ε:ε1≥ε≥ε2,ε∈Scv}至少存在一个极小元，且ε为Scv(ε1,ε2)的极小元当且仅当ε∈Sl∩Scv(ε1,ε2)。

证明首先，证明(i)成立。对任意的凸期望ε1，定义

∀X∈L1(Ω,F,P)

(1)

(2)

(3)

结合式(2)-(3)知，对任意的

是实值的。

∀c∈R

(4)

(5)

(6)

(7)

对任意的X,Y∈L1(Ω,F,P)，由式(6)-(7)知，

(8)

下证(i)成立，即凸期望与凹期望之间的Sandwich定理成立。令

∀X∈L1(Ω,F,P)

ε1≥E≥ε2

其次，证明(i)⟹(ii)成立。令

∀X∈L1(Ω,F,P)

-E0[-X]，∀X∈L1(Ω,F,P)

故

E0[X]≥ε2[X]，∀X∈L1(Ω,F,P)

注意到E0∈Scv，从而E0∈Scv(ε2)。易验证E0为集合Scv(ε2)的一个极小元。事实上，若存在非线性数学期望ε0∈Scv(ε2)使得ε0≤E0，则由ε0的保常数性和凸性知，对任意的X∈L1(Ω,F,P)有

0=2ε0[X-X]=

结合ε0≤E0及E0的线性性得

ε0[-X]≤E0[-X]= -E0[X]≤

-ε0[X]≤ε0[-X]，∀X∈L1(Ω,F,P)

即ε0=E0。故E0为集合Scv(ε2)的一个极小元。

下证集合Scv(ε2)的极小元必为线性数学期望。设ε为集合Scv(ε2)的一个极小元，则由Scv(ε2)的定义知ε为凸期望且ε≥ε2。由(i)知，存在线性数学期望E0使得

ε≥E0≥ε2

注意到E0∈Scv且E0≥ε2，从而E0∈Scv(ε2)。又ε为集合Scv(ε2)的极小元，结合ε≥E0及E0∈Scv(ε2)，立得ε=E0，即

ε∈Sl∩Scv(ε2)

接下来，证明(ii)⟹(iii)成立。由ε1为凸期望、ε2为凹期望及ε1≥ε2知，

ε1∈Scv(ε2)

由(ii)知集合Scv(ε2)的极小元存在且为线性数学期望，从而存在线性数学期望E0∈Scv(ε2)使得ε1≥E0。结合集合Scv(ε2)的定义知

ε1≥E0≥ε2

故E0∈Scv(ε1,ε2)。易证E0为集合Scv(ε1,ε2)的一个极小元。事实上，若存在非线性数学期望ε0∈Scv(ε1,ε2)使得ε0≤E0，则由ε0的保常数性、凸性及E0的线性性知

ε0[X]≤E0[X]=

-E0[-X]≤-ε0[-X]≤ε0[X]，

∀X∈L1(Ω,F,P)

即ε0=E0。故E0为集合Scv(ε1,ε2)的一个极小元。

下证集合Scv(ε1,ε2)的极小元必为线性数学期望。设ε为集合Scv(ε1,ε2)的一个极小元，易知ε为凸期望且ε1≥ε≥ε2，故ε∈Scv(ε2)。由(ii)知集合Scv(ε2)的极小元存在且为线性数学期望，从而存在线性数学期望E0∈Scv(ε2)使得ε≥E0。注意到E0∈Scv(ε2)，从而E0≥ε2，进而

ε1≥ε≥E0≥ε2

故E0∈Scv(ε1,ε2)。由ε为集合Scv(ε1,ε2)的极小元、ε≥E0且E0∈Scv(ε1,ε2)，立得ε=E0，即

ε∈Sl∩Scv(ε1,ε2)

最后，证明(iii)⟹(i)成立。设ε1为凸期望、ε2为凹期望且ε1≥ε2。由(iii)知，集合Scv(ε1,ε2)的极小元存在且为线性数学期望。设E为Scv(ε1,ε2)的一个极小元，则由极小元的定义及集合Scv(ε1,ε2)的定义立得ε1≥E≥ε2。证毕。

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Someresultsontheminimalmembersofconvexexpectations

JIRonglin1，ZHOUJinming2

(1. School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China；2. School of Mathematics and Statistics, Hefei Normal University, Hefei 230601, China)

Under the framework of nonlinear expectations，the minimal members of convex expectations with some dominating conditions are studied in the view of the Sandwich theorem for a convex expectation and a concave expectation. The conclusions of the minimal members of convex expectations with single or two dominating conditions are proved to be equivalent to the Sandwich theorem.

nonlinear expectation; convex expectation; Sandwich theorem; minimal member

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.06.011

2017-02-08

江苏省自然科学基金青年基金(BK20150167)；安徽大学博士科研启动(J01003202)

纪荣林(1984年生)，男；研究方向非线性数学期望；E-mail: jironglin@ahu.edu.cn

周津名(1982年生)，女；研究方向非线性数学期望；E-mail: zjminguv@163.com

O211.67

A

0529-6579(2017)06-0072-04