成立花

(西安工程大学理学院, 陕西 西安 710048)

Banach空间混合型泛函方程的稳定性问题

成立花

(西安工程大学理学院, 陕西 西安 710048)

首先整合资源，给出Banach空间一类混合型泛函方程的等价性证明,其次利用不动点的择一性逐步分类地研究了Banach空间中混合型泛函方程的稳定性问题，得到较为精确的上界。

混合型泛函方程；广义Hyers-Ulam-Rassias稳定性；不动点的择一性

泛函方程的稳定性起源于Ulam：在什么条件下，一个从群到度量群的近似加法映射附近存在唯一的加法映射？即：设G1是一个群，且设G2是一个具有度量d(·,·)的度量群，对于任意的ε>0,是否存在δ>0,使得对于任意的x,y∈G1,当映射f:G1→G2满足如下条件d(f(xy),f(x)f(y))≤δ时，是否存在一个满足d(f(x),g(x))≤ε的群同态g:G1→G2？紧接着，Hyers关于可加函数在Banach空间的稳定性问题给出肯定性的答案。随之,一大批数学家开始在各种特殊空间提出特定的泛函方程的存在性问题[1-8]。也有学者专注研究特定空间中单次或混合型泛函方程的稳定性问题或广义稳定性(Hyers-Ulam-Rassias) (简称HUR)问题[3-5]。更多更新的不同空间中泛函方程稳定性问题，读者请参阅文[9-10]。基于前人的贡献和理论基础，本文旨在关注RASSIAS等[5]研究的混合型泛函方程

f(x+2y)-f(x-2y)=
2[f(x+y)-f(x-y)]+
2f(3y)-6f(2y)+6f(y)

(1)

和ESKANDANI[6]的混合型泛函方程

f(x+2y)+f(x-2y)=

2[f(x+y)-f(-x-y)+f(x-y)-f(y-x)]+

f(2y)+f(-2y)+4f(-x)-2f(x)

(2)

两篇文章研究的均为Banach空间中混合型泛函方程，但方程表达形式不同，侧重点不同，前者重在研究泛函方程的存在性问题，而后者则致力于分析泛函方程的稳定性问题。本文立意整合方程(1)和方程(2)，首先给出这两类方程的等价性问题, 然后利用不动点的择一性给出Banach空间混合型泛函方程的稳定性问题。

1 方程的等价性

在本节中，总是假设X,Y是Banach空间。首先给出方程(1)和(2)的等价性问题。

定理1 设X,Y是Banach空间，且设映射f:X→Y满足泛函方程(1)或(2)，则如下结论等价：

(i)f满足泛函方程 (1) 。

(ii)f满足泛函方程 (2) 。

(iii) 对于任意x∈X,存在唯一的一次映射A:X→Y、二次映射Q:X×X→Y和三次映射C:X×X×X→Y满足f(x)=A(x)+Q(x,x)+C(x,x,x)。证明(i)⟺(iii)。证明参见文[3]。

(ii)⟹(iii)。为方便起见，首先将f分成偶部和奇部，即对于∀x∈X,有

如果f满足方程(2)，则可以验证以下结果：

fe(x+2y)+fe(x-2y)=

f(x-2y)+f(-x+2y)]=

2[fe(x+y)-fe(-x-y)+fe(x-y)-

fe(y-x)-fe(x)]+

fe(2y)+fe(-2y)+4fe(-x)=

2fe(2y)+2fe(x)

(3)

fe(x+y)+fe(x-y)=2fe(y)+2fe(x)

由文[6]知，满足上面泛函方程的fe当且仅当为二次泛函。因此对于所有的x∈X, 存在唯一的二次映射Q:X×X→Y使得fe=Q(x,x)。

另一方面,如果f满足方程(2)，同样的道理可以验证fo满足

fo(x+2y)+fo(x-2y)=
2[fo(x+y)-fo(-x-y)+fo(x-y)-
fo(y-x)-fo(x)]+
fo(2y)+fo(-2y)+4fo(-x)=
4[fo(x+y)+fo(x-y)]-6fo(x)

由文[5]，满足上面泛函方程的fo当且仅当为一个立方-可加映射。也就是说，对于所有的x∈X,存在唯一的可加映射A:X→Y和三次映射C:X×X×X→Y满足fo=A(x)+C(x,x,x)。因此，

f(x)=fe(x)+fo(x)=

A(x)+Q(x,x)+C(x,x,x)

(iii)⟹(ii)。易证。

证明完毕。

推论1 设X,Y是向量空间,且f:X→Y满足泛函方程(1)，则以下结论成立：

(i) 若f为偶映射，则f是二次的。

(ii) 若f奇映射，则f是立方-可加的。

2 稳定性

设X是一个向量空间,Y是一个Banach空间。对于映射f:X→Y, 对于∀x,y∈X定义

Df(x,y)=f(x+2y)-f(x-2y)-2f(x+y)+

2f(x-y)-2f(3y)+6f(2y)-6f(y)

接下来讨论混合泛函方程的HUR稳定性。

引理1 设s∈{1,-1},对于映射φ:X×X→[0,∞]存在L<1,使得对于任意的x,y∈X,φ(x,y)≤22sLφ(2-sx,2-sy)。已知f是一个偶映射，且满足f(0)=0和

‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),∀x,y∈X

(4)

则对于所有的x∈X,存在唯一的二次映射Q:X×X→Y使得

且满足

‖f(x)-Q(x)‖≤

(5)

证明在式(4)中令x=0，得到

另一方面，在式(4)中用y替代x有，‖f(3y)-4f(2y)+7f(y)‖≤φ(y,y)。

于是，由三角不等式得到

(6)

不妨设s=-1。

定义S:={g:X→Y}上的广义度量：

d(g,h)=inf{μ∈R+:‖g(x)-h(x)‖≤

‖Jg(x)-Jh(x)‖=

此即

d(Jg,Jh)≤Ld(g,h),∀x∈X,g,h∈S

(ii) 当n→∞时，有d(Jnf,Q)→0。即对于∀x∈X，有

‖f(x)-Q(x)‖≤

与此同时,∀x,y∈X,n∈N,有

于是,‖DQ(x,y)‖=0,∀x,y∈X。因此Q:X×X→Y是唯一的二次映射。

s=1的证明类似。证明完毕。

以下的两个引理讨论f为奇映射时，在相似的条件下会有完全不同的结论。

引理2 设s∈{1,-1},L<1,且对于任意的x,y∈X,映射φ:X×X→[0,∞]满足φ(x,y)≤2sLφ(2-sx,2-sy)。设f是一个奇映射且满足f(0)=0和‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),∀x,y∈X,则存在唯一的可加映射A:X→Y使得

且有

‖f(2x)-8f(x)-A(x)‖≤

引理3 设s∈{1,-1},L<1,且对于任意的x,y∈X,映射φ:X×X→[0,∞]满足φ(x,y)≤23sLφ(2-sx,2-sy)。设f是一个奇映射且满足f(0)=0和‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),∀x,y∈X,则存在唯一的立方映射C:X×X×X→Y使得

且有

‖f(2x)-2f(x)-C(x)‖≤

综合引理1-3,可以得到本文的推论和主要定理。

‖f(x)-A(x)-C(x)‖≤

定理3 设s∈{1,-1},L<1,且对于任意的x,y∈X,映射φ:X×X→[0,∞]满足φ(x,y)≤2jsLφ(2-sx,2-sy),j=1,2,3。设f是一个映射且满足f(0)=0和‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),∀x,y∈X,则存在唯一的可加映射A:X→Y,二次映射Q:X×X→Y和立方映射C:X×X×X→Y使得

和

且有

‖f(x)-A(x)-Q(x)-C(x)‖≤

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StabilityofamixedtypefunctionalequationinBanachspaces

CHENGLihua

(College of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

The equivalence of two mixed type functional equations in Banach space is given. By using the fixed point method, the stability of the mixed functional equation in Banach space is built up step by step. Furthermore, the better upper bound is gotten.

mixed functional equation; generalized Hyers-Ulam-Rassias stability; fixed point alternative

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.06.010

2017-01-11

国家自然科学基金(11101323)；陕西省科技厅自然科学专项基金(2016JQ1029)

成立花(1973年生)，女；研究方向算子理论与小波分析；E-mail: 178529238@qq.com

O175.25

A

0529-6579(2017)06-0068-04