陈 亮 何健健 高为壮 李月奇 姚斌斌

(1. 河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室， 南京 210098； 2. 河海大学 江苏省岩土工程技术工程研究中心，南京 210098)

单孔反稀释模型理论与试验研究

陈 亮1,2何健健1,2高为壮1,2李月奇1,2姚斌斌1,2

(1. 河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室， 南京 210098； 2. 河海大学 江苏省岩土工程技术工程研究中心，南京 210098)

针对前人在反稀释模型公式推导过程中的不足，将反稀释模型和渗流场畸变理论相结合，重新推导了反稀释模型相关公式，在推导过程中仔细区分孔水流速、含水层达西流速等相关量的差异，有助于消除误解．采用自主设计的试验装置，利用两种不同粒径的均匀砂，在不同水头差下对反稀释模型进行室内试验验证，对由土层不均性产生的误差，采用流速二次修正参数较好地消除了该误差，试验结果表明反稀释模型是正确的．将模型应用于含水层达西流速的计算，计算得到的模型值与试验值相差不大．

反稀释模型； 理论推导； 验证试验； 电导率； 渗流速度

地下水流速流向可揭示堤坝渗漏通道，为病险水库的治理提供依据，同时也是核电站建设选址的重要参考因素之一．基于稀释原理的人工示踪法是获取地下水流速常用且行之有效的方法．1957年Moser[1-2]首次提出单井测定地下水流速的示踪剂点稀释定理．Ogilvi等[3]选择生理盐水作为示踪剂，既避免了先前采用放射性同位素作为示踪剂对环境产生的污染，也为现今使用食盐作为示踪剂提供了思路．在国内，陈建生[4-7]在示踪理论方面做了系统细致的研究，取得了良好的结果．但稀释示踪法主要适用于地下水盐离子浓度低的地区，在地下水盐离子浓度高的沿海地区往往收效甚微．因此，针对沿海地区地下水盐离子浓度高的特点，李月奇等[8]提出采用反稀释示踪法来探测沿海地区地下水流速，并建立了单孔反稀释模型，推导了利用单孔反稀释模型测定含水层水平流速的公式．但文献[8]在模型推导时并未明确区分孔中流速、含水层达西流速等相关量的差异，在引入流场畸变系数时也未阐明理由，容易产生分歧和误导，同时也未对模型进行室内试验验证．因此，本文将反稀释模型与渗流场畸变理论相结合，改进模型推导过程，同时利用自主设计的试验装置对该模型进行室内试验验证，为今后反稀释示踪法的应用提供理论和试验依据．

1 渗流场畸变效应

研究表明[9]，含水层中钻孔的存在会干扰原有渗流场，即钻孔会使原有渗流场产生畸变，但可利用流场畸变校正系数α修正孔内流速与离钻孔较远处未受钻孔影响的含水层达西流速之间的差异，从而利用孔内流速得到含水层的真实达西流速．流场畸变校正系数α的定义为孔内与含水层相等的截面之间流量的比值[9]，即

式中，Qh为单位时间内通过钻孔的流量，Qa为单位时间内通过含水层相等截面的流量．

2 单孔反稀释模型再推导

2.1 模型假定

用于地下水流速探测的反稀释模型满足以下假定：a.含水层是均质的；b.在测试期间，水流方向不变，且只有水平流，无垂向流(下文所指流速皆为水平流速)；c.测孔内的水与流入测孔的水瞬时混合；d.注入孔内的水不会引起孔内及地下水位的改变；e.水中只含有Na+、Cl-两种示踪元素；f.被带出测孔外的示踪剂不引起孔内示踪剂探测仪器的响应．

2.2 反稀释模型再推导

针对文献[8]中推导过程的不足，本文对反稀释模型再推导．如图1所示，含水层厚度为H，两端为不透水层，其中有一揭露含水层的钻孔，孔径为d=2r．钻孔上游含水层的水中示踪剂浓度恒为C．在任意时刻t，任意深度h的孔水中示踪剂浓度为Ct．现推导Ct随时间t的变化规律．

沿任意深度h向下取一微元段dh．假设在微元段dh内，孔水流速、流量及示踪剂浓度等一切指标均与深度h处相同：孔水流速为vw，单位时间dh微元段内流经测孔水的体积为Qw，该微元段所对应的孔水体积为V．由于流场畸变效应，该微元段所对应含水层中单位时间水的流量为Qs，流速为vs．

图1 反稀释模型推导示意图

经过dt时间，该微元段孔水中示踪剂的浓度变化为dCt，根据质量守恒原理，可得方程：

变形得：

对式(3)两边积分得：

式中，φ为积分常量，由边界条件确定．

对式(4)两边取指数幂得：

在单孔反稀释模型中：t=0时，孔中水为清水，因此Ct=0，故φ=C，即

式(6)即为用孔内流量Qw表达的单孔反稀释模型孔水中示踪剂浓度随时间的变化规律．

将Qw=2rvw·dh，V=πr2·dh代入式(6)，得用孔内流速vw表达的单孔反稀释模型孔水中示踪剂浓度随时间的变化规律：

由式(6-2)求得孔水流速：

根据流场畸变校正系数的定义，得：

将式(8)代入式(7)，求得考虑渗流场畸变的含水层达西流速为：

为了利用式(9)求解含水层达西流速，可引入电导率法来探测孔水中示踪剂浓度的变化．根据水中示踪剂浓度与电导率的关系：N=kC、Nt=kCt，(N为电导率本底值，Nt为任意t时刻电导率，k为比例系数)．可得基于反稀释模型的流速求解公式：

以及单孔反稀释模型中孔水电导率随时间变化的规律，由孔内流量Qw表达：

由含水层达西流速vs表达

3 模型验证试验

3.1 试验仪器

3.1.1 试验槽

图2示出了试验所用的试验槽，试验槽各部分尺寸在图中已标明(尺寸皆为内部尺寸)．下面分部分介绍试验槽．

图2 试验装置示意图(单位：mm)

1)I部分：Ⅰ1、Ⅰ2分别为上游水头调节水箱和下游水头调节水箱．Ⅰ1进水孔在顶部，水箱右侧一面上有5个水位调节口，分别相距25 mm，用来控制上游水头；Ⅰ2出水孔在底部，水箱左侧一面上有1个水位调节口，用来控制下游水头．

2)Ⅱ部分：Ⅱ1、Ⅱ2分别为上游供水缓冲区和下游出水缓冲区，Ⅱ1、Ⅱ2右、左侧各有一面满布细孔的透水墙，可使水流均匀、等速地进出土样．

3)Ⅲ部分：Ⅲ为试样室．Ⅲ1试样室用来装砂土样，用来模拟含水层．Ⅲ2试样室用来装粘土样，用来模拟不透水层．

4)土样填筑时，试验槽中心有一根长为800 mm，内径为17 mm的PVC管，600 mm插入土样中，其余部分露空，用以模拟土层中的钻孔．PVC管插入Ⅲ1部分长450 mm，孔壁开孔率为30%，其余部分不开孔，同时整根PVC管外部包裹两层渗透系数大于10-1cm/s的滤网，以隔离细砂进入测试管．

3.1.2 数据采集量测装置

电导率数据量测采用DJS-1C系列电导电极，电导率测量范围为0～3×104μS/cm，数据采集采用与其相配套的DDBJ-350型便携式电导率仪．试验前，先电导电极放置在距离试验槽底部200 mm处．

3.2 试验材料

3.2.1 上覆土层材料

本试验选择高岭土作为上覆层材料，用来模拟不透水层，其物理参数为干密度1.72 g/cm3，渗透系数为1.93×10-4cm/s，液限WL为29%，塑限Wp为17%．

3.2.2 含水层材料

本试验采用的含水层材料为两种不同粒径的砂土．各粒径砂土的渗透系数是使用70型渗透仪根据常水头试验规范试验测得．其中，粒径范围为0.075～0.25 mm砂样的渗透系数为2.20×10-3cm/s；粒径范围为0.25～0.5 mm砂样的渗透系数为1.92×10-2cm/s．

为模拟实际工程中含水层土已经历长期盐水浸泡的现象，本试验对试验砂样使用电导率为3×104μS/cm的盐水浸泡72 h．

3.2.3 其他材料

本试验中的循环水采用电导率为3×104μS/cm的盐水，用来模拟沿海地区地层中高浓度盐离子地下水．通入测孔的稀释水采用电导率较低的自来水．经测试，测试用自来水电导率基本稳定在270 μS/cm，相对于循环水源的电导率大小可以忽略不计．

3.3 试验方案

本文为验证反稀释模型在不同渗透性含水层及不同水力条件下的正确性，分别针对2种不同粒径砂和5种水力条件进行试验，试验分组见表1．试验所用水头差及对应的水力梯度见表2．

表1 试验分组

注：编号中数字下标代表该组试样所承受的水头差．

表2 试验所用水头差及对应水力梯度

3.4 试验步骤

试验按以下步骤进行：1)采用水下抛填法装样，装样完成后，持续通盐水饱和24 h；2)饱和完成后，提升上游水头，产生稳定水平渗流；3)向测孔中投放示踪剂，并间隔一定时间采集测孔内盐水的电导率；4)在电导率采集期间对下游出水流量进行量测，求取真实西流速．

4 试验数据与分析

4.1 流场畸变校正系数取值

目前，滤水管外无填砾时常采用Ogilui等[3]推导得出的流场畸变校正系数α计算公式进行取值，公式如下：

式中，α为流场畸变系；r1为滤水管内半径；r2为滤水管外半径；k1为套管的渗透系数；k2为含水层的渗透系数．在本试验中，由于水管的壁很薄，可认为r1=r2，故流场畸变校正系数α=2．

4.2 反稀释模型验证

4.2.1 A组

图3示出了A组孔水电导率随时间变化的理论模型值与室内试验值．理论模型值按公式(11-2)计算，其中r=1.7 cm，N=3×104μS/cm，vs按试验实测达西流速取值．其中，A组各试样(A25～A125)对应的实测达西流速(单位：×10-4cm/s)分别为1.214、3.015、4.903、7.811、9.852．

由图3可以发现：在A组所对应的粒径组中，反稀释模型理论值可以较好地拟合反稀释示踪法实测孔水电导率随时间的变化规律，尤其随着水头差的增加，模型的拟合效果越佳，因此A组试验证明公式(11-1)是正确的，即证明反稀释模型是正确的．

图3 A组孔水电导率随时间变化规律对比

4.2.2 B组

图4示出了B组孔水电导率随时间变化的理论模型值与室内试验值．理论模型值按公式(11-2)计算，其中r=1.7 cm，N=3×104μS/cm，vs按试验实测达西流速取值．其中，B组各试样(B25～B125)对应的实测达西流速(单位：×10-3cm/s)分别为1.413 0、3.027 0、4.618 0、6.113 0、7.521 2．

由图4可以发现：在B组所对应的粒径组中，孔水电导率随时间的实测变化规律与反稀释模型所表达的理论变化规律在形式上是类似的，但在数值上，理论模型值与室内试验值有一定差异．笔者分析产生上述差异的主要原因并不是理论模型不适用于实测规律，而是试验本身误差所造成，因此需仔细分析产生以上误差的原因，并进行修正．

图4 B组孔水电导率随时间变化规律对比

4.2.3 B组误差分析及修正

分析整个试验过程可以发现：理论模型计算所采用的实测达西流速是整个土层的平均达西流速，而不是探头所处位置对应的达西流速．但本文根据试验实际情况假设：在流场畸变区外，达西流速处处相等．实际上，流场畸变区外各处的达西流速存在着差异，因此上述假设存在误差，这主要是由于土层的不均匀性引起的．当砂土颗粒较细时，土层制样的均匀性较好，畸变区外各处的达西流速相差不大，因此A组的理论模型值和试验值可以较好地吻合，但当砂土颗粒粒径增大时，土层的制样不均匀性会加剧，导致B组流场畸变区外各处的达西流速的不均性加剧，从而导致B组的理论模型值和试验值吻合不佳，因此必须对此加以修正．

式中，β为流速二次校正参数，只与试验土样相关．

4.2.4 流速二次校正参数β的计算

1)A组

由4.2.1、4.2.2可知，采用反稀释示踪法测定地下水流速时孔内电导率随时间的变化规律是满足式(11-2)，因此可用函数y=a(1-e-bt)来拟合电导率实测数据，其中a=3×104μS/cm固定不变，拟合可得参数b=2αvs/πr(单位s-1)，由b可以计算得到探头对应深度处土层达西流速vs．

图5 A组拟合

2)B组

图6 B组拟合

4.2.5 B组修正后数据对比

选取B组两组未参与拟合的试验数据，将流速二次校正参数β=1.2代入式(11-3)，并与室内试验值及修正前的理论模型值进行对比，得到图7．由图7可以发现：修正后的理论模型值与室内试验值吻合良好．通过B组试验，也验证了反稀释模型的正确性．

图7 B组孔水电导率随时间变化规律对比(修正后)

4.3 达西流速求解

在反稀释模型得到验证后，可通过式(10)，利用反稀释示踪法来求解含水层实际的达西流速．求解步骤如下：

第1步：绘制ln[N/(N-Nt)]～t散点图；

第2步：采用线性拟合法拟合各散点，并得到该拟合直线的斜率k(单位：s-1)；

第3步：根据k=2αvs/πr得达西流速vs=πrk/2α；

第4步：在本试验中，考虑到由于土层不均匀性产生的误差，还需进行流速的二次修正，得到含水层的平均达西流速：vs=πrk/2αβ．

表3、4示出了利用反稀释模型得到的各次试验的含水层平均达西流速，从表中可以发现模型值与真实值处于相同数量级，且相差不大．

表3 A组达西流速对比

表4 B组达西流速对比

5 结 论

1)将反稀释模型和渗流场畸变理论相结合，重新推导得到了反稀释模型相关公式．

2)利用自主设计的试验装置对反稀释模型进行室内试验验证，对于由土层不均匀性产生的误差，采用流速二次校正参数较好地消除了该误差．试验结果表明：反稀释模型是正确的，可用于反稀释示踪法的理论计算．

3)将反稀释模型用于土层达西流速的计算，计算得到的模型值与试验值相差不大．

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[9] 陈建生，董海洲.堤坝渗漏探测示踪新理论与技术研究[M]．北京：科学出版社，2007．

TheoreticalandExperimentalStudyofAnti-dilutionModelofSingleHole

Chen Liang1,2He Jianjian1,2Gao Weizhuang1,2Li Yueqi1,2Yao Binbin1,2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics & Embankment Engineering, Hohai Univ., Nanjing 210098, China; 2.Jiangsu Research Center for Geotechnical Engineering Technology, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

First of all, in order to eliminate the deficiencies in the previous derivation process of anti-dilution model, combining the anti-dilution model with the seepage field distortion theory to re-derived the ant-dilution model and distinguished the hole water's velocity with the aquifer's Darcy velocity carefully during the derivation process. Secondly, laboratory tests are carried out to verify the model using the self-designed experimental device. For the errors caused by soil heterogeneity, the second amendment parameter of velocity which can eliminate the errors is carried out. After eliminating the errors, the results from the anti-dilution indoor test show that the anti-dilution model is correct. Finally, the model is used to calculate the soil's Darcy velocity; and the model values of soil's Darcy velocity are close to its experimental values.

anti-dilution model; theoretical derivation; laboratory verification test; electric conductivity; seepage velocity

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.05.013

2017-04-09

江苏省自然科学基金面上项目(BK20151495)

陈 亮(1976-)，男，博士，教授，研究方向为岩土渗流理论与测试等．E-mail：chenliang@hhu.edu.cn

TU411.99

A

1672-948X(2017)05-0063-06

[责任编辑周文凯]