广东北江中学512026 叶浩山

2017年高考全国乙卷理科第21题的探究与思考

广东北江中学512026 叶浩山

高考数学压轴题富含数学的思想和方法,自然是中学老师研究高考、备考的良好素材.笔者从解题思路探究、命题背景、复习教学反思等方面对2017年高考数学全国乙卷理科第21题进行了研究,供大家参考.

全国I卷理科第21题f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

一、解题思路探究

1.如何找符合条件的函数值

试题的第(1)问比较容易,为第(2)问作铺垫.试题的第(2)问考查函数的零点问题.

由第(1)问可知：若a≤0,f(x)在(-∞,+∞)单调递减,f(x)至多有一个零点.

(2)若a＞0,f(x)在 (-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增.当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为解得a∈(0,1).此时我们找出了f(x)有两个零点的必要条件a∈(0,1),要说明函数有两个零点,还需在区间(-∞,-lna)和(-lna,+∞)分别找到大于零的函数值,这是本题的难点.对于在区间(-∞,-lna)上容易找到f(-1),f(-2)等值是大于零的(实际上由单调性可知当x≤-1时,f(x)＞0).在(-lna,+∞)上如何找到大于零的函数值?笔者尝试用待定系数法来找,考虑的值,

显然当λ≥3-a时,

因此我们只要取的x,满足就有f(x)＞0.本题的难点在于如何找符合条件的函数值,但此问题能否用极限的思想说明?即若a＞0,f(x)在 (-∞,-lna)单调递减,在 (-lna,+∞)单调递增.又当0＜a＜1时,f(x)的最小值f(lna)＜0,且所以函数f(x)有两个零点.用极限的思想说明函数f(x)图像的趋势,可避免找符合条件的函数值的难点,但此法在笔者所在的市统考改卷中都会扣分,就不知道高考评卷场如何处理这个问题.

2.试题的另解

另解1 对于函数的零点问题我们可以用分离变量的方法解决.令f(x)=0,即ae2x+(a-2)ex-x=0.所以于是函数f(x)有两个零点,即y=a与的图像有两个公共点.又

得函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.所以函数g(x)在x= 0处取得最大值g(0)=1,结合则可画出函数g(x)的图像如图1所示：由图1可知共点,则0＜a＜1.的图像有两个公

图1

分离变量的方法避开了对参数a的分类讨论,但分离出的函数结构复杂,求导计算量较大,同时不可避免用极限的思想说明函数f(x)图像的趋势,如上述所说,不知高考评卷场如何给分.

二、命题背景

笔者在研究此题的解法时在思考另一个问题,此题是怎么命制出来的?初看f(x)=ae2x+(a-2)ex-x只是指数函数、一次函数、二次函数的简单拼凑,并没有直接联系,但经过换元处理则大不相同!令ex=t,则x=lnt,所以得到函数h(t)=at2+(a-2)t-lnt,则函数f(x)有两个零点,转化为函数h(t)有两个零点,令h(t)=at2+(a-2)t-lnt=0,则at2+(a-2)t=lnt,则函数h(t)有两个零点转化为函数y=at2+(a-2)t与y=lnt的图像有两个交点.此时我们明白了该题的命题背景：命题者构造了两个初等函数y=at2+(a-2)t与y=lnt,研究这两个函数的交点问题,其中一个是对数函数,另一是过原点的二次函数!知道了该题的命题背景,则此题的解法可以大大简化!

另解2设函数y=at2+(a-2)t与y=lnt相切于点P(t,lnt),则

对(1)两边求导得到

图2

另解3由at2+(a-2)t=lnt可得则函数h(t)有两个零点转化为函数y=at+(a-2)与的图像有两个交点.而函数y=at+(a-2)的图像是过定点(-1,-2)的一条直线,函数是熟悉的函数.于是设切点为Q(t,at+a-2),则有

化简整理得

由于t＞0,结合函数的图像可得t=1,此时a=1.即函数y=at+(a-2)与相切于(1,0),如图2所示.显然当0＜a＜1时,函数有两个交点.

三、复习教学反思

2017年高考数学全国乙卷理科第21题与2016年高考数学全国乙卷文科第21题无论从考查内容还是从题目的设问方式都是一样的,唯一不同就是函数f(x).而且高考数学全国乙卷理科第21题从2015到2017连续三年都考查了函数的零点,这也体现了高考试题的稳定性.

首先,作为一道典型的已知函数零点个数求参数取值范围问题,要重视典型问题、典型解法的讲解与总结.已知函数零点个数求参数取值范围问题,一般有两种思路：一是将函数零点个数问题转化为两个函数图像交点个数问题,如本文提到的另解1、2、3;二是直接研究所给函数的单调性,函数的零点个数由函数的极值正负及函数两端的正负或趋势决定.

例如2016年深圳一模理科数学第12题：函数f(x)= lnx-ax2+x有两个零点,则实数a的取值范围是()

该题的命题背景和解题方法与2017年高考数学全国乙卷理科第21题几乎一样.

其次,作为中学教师在解题教学的过程中,解题的观点要更高不要只是将答案告诉给学生,而是要站在解题者的角度,将解题历程讲给学生,让学生知道遇到同类型的题目如何下手.多研究试题的命题背景,可以让我们将题目分析的更透彻,也给我们自己命题提供很好的借鉴.

再次,面对高考数学压轴题,一些好的学校的老师在指导学生复习备考时要求学生不要在压轴题上花太多时间,甚至让学生放弃压轴题.在这种指导思想下,学生面对高考压轴题由于平时训练不够,导致心理畏惧,无从下手.另一方面,教师自己也放弃对高考压轴题的研究,从而也就难以很好的去指导学生备考压轴题.章建跃说：“要想改进我们的教学就必须加深理解我们所面对的教学内容”.笔者认为这也是我们去研究高考压轴题的解题思路探究、命题背景等方面的意义所在.

[1]章建跃.改进教学从理解内容入手 [J].中小学数学 (高中版), 2014(4).

[2]黄海波.2016年高考四川卷理科21题的探究与思考[J].数学通讯(下半月),2017(2).

[3]梅磊,周珂.一道高考压轴题的多解、多思与多边[J].数学通讯(下半月),2017(2).