覃章景

（长江大学信息与数学学院，湖北荆州434200）

线性回归模型中容易忽略的一个问题

覃章景

（长江大学信息与数学学院，湖北荆州434200）

在用线性回归方法进行建模时，如果随机误差项存在序列自相关时，会产生“伪回归”现象.用误差修正模型能很好地消除这一影响.并用我国的教育投入和经济增长之间的依存关系进行了实证分析.

回归分析法；误差修正模型；教育投入；GDP；增长率

1 误差修正模型的原理与方法

一元线性回归模型的形式为

其中y为被解释变量；x为解释变量；u是随机误差项；T为样本个数.此模型包含以下几个基本的假设：

（1）随机误差项具有0均值和同方差，即E(ut)=0；var(ut)=σ2

（2）随机误差项服从均值为0，同方差的正态分布，即ut～N(0,σ2)

（3）随机误差与解释变量之间不相关，即cov(xt,ut)=0

（4）随机误差项之间不相关，即cov(ui,uj)=0(i≠j)

上面四个条件中，若第（4）个条件不满足，称为自相关.在计量经济学中极易出现.为了发现和消除这一影响，可用D.W.统计量进行检验，并用误差修正模型进行建模.

D.W.统计量可用来检验随机误差项是否存在一阶序列相关，计算公式如下

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根据样本容量T和解释变量个数查D.W.分布表，得到临界值，判断模型的自相关状态.并且可知，当D.W.的值在2左右时，模型不存在一阶自相关.

若模型中存在一阶自相关，则在模型（1）中分别引入两变量的前期值yt-1和xt-1，建立线性回归模型

移项得Δyt=α0+α1Δxt+(α2-1)yt-1+α1xt-1+α3xt-1+ut

于是被解释变量的波动Δyt分为两部分组成，一部分为短期波动，一部分为长期均衡.

2 实证分析

我们利用国家统计局网站发布的1978—2014年的统计数据（原始数据略），对我国教育投入和经济增长之间的依存关系进行了实证分析.

教育投入是指投入到教育活动中的一切人力、物力和财力的总和，它与社会各方面因素有着千丝万缕的联系，而国家拨款仍是教育投入的主要来源，为了使数据具有准度性和权威性，选取国家财政性教育经费作为教育投入的数据，选取年度GDP数据作为经济增长的衡量指标.为了消除异方差性的影响，我们对原始数据先取对数，再进行一阶差分，使其成为平稳时间序列，然后进行相关的统计计算和分析.文中所有计算均由Eviews8.0软件[3]完成.

经计算教育投入与GDP之间的相关系数高达0.9912，说明两者之间存在着十分密切的正相关性.运用济学中的Granger因果关系检验.可以得出教育投入的变化与GDP的变化具有双向Granger因果关系.

3.1 教育投入增长率与GDP增长率的简单线性回归分析

我们以教育投入的观测值取对数，并进行一阶差分（记为Δlog(jytrt)）后的值，作为回归模型的解释变量.以GDP的观测值取对数并进行一阶差分（记为Δlog(gdpt)）后的值作为回归模型的被解释变量.用方程（1）建立模型，得到简单线性回归方程：

表1给出了各检验统计量的计算结果.从结果可以看出，教育投入增长率对GDP增长率的回归方程中，常数项和自变量的回归系数的t统计值超过了临界值，回归方程的F统计值也通过了检验.说明教育投入增长率对GDP增长率的影响是显著的.但计算结果的复相关系数仅为0.3414，表明方差的解释能力较差.D.W.值为0.9094，比2小，说明回归模型随机误差项存在序列自相关问题.

为了进一步分析模型所存在的问题，我们做出了回归模型的残差趋势图，如图1所示，从图1可以看出残差项的估计值并不是频繁的改变符号，这也说明残差存在序列自相关，而且对历史数据的拟合效果很不理想.

表1 简单线性回归分析计算结果

图1 简单线性回归模型的残差趋势图

上述分析表明，虽然教育投入与GDP之间有明显的内在联系，但不是简单的线性回归模型，不能用简单线性回归模型来解释教育投入与GDP之间的内在规律.

3.2 教育投入增长率与GDP增长率的误差修正模型

在教育投入的增长率和GDP的增长率的简单线性回归模型中，再引入误差修正项ecmt-1，用方程（3）建立模型，计算结果和各种统计量如表2，得到的误差修正模型如下：

Δlog(gdpt)=0.42483Δlog(jytrt)+0.583177ecmt-1+0.083987

计算结果表明，各回归系数的t统计值及F统计量均超过了临界值，通过了显著性检验.说明教育投入的增长率对GDP的增长率的影响是显著的；复相关系数为0.8529，系统方差的解释能力增强；D.W.值为1.932，与2相当接近，误差修正模型的残差项不存在序列自相关.

图2为误差修正模型的残差趋势图，从图中显示，误差修正模型不仅消除了残差项序列自相关性，而且对历史数据的拟合值也非常理想.

表2 误差修正模型的计算结果

图2 为误差修正模型的残差趋势图

从上述分析中可以看出，教育投入和GDP增长之间存在着双向Granger因果关系，但不是简单的线性关系，用误差修正模型分析较为理想.模型告诉我们：从1978年至2014年期间，每增加1%的Δlog(gdpt)相应的增加0.4248%的Δlog(jytrt)，表明教育投入在一定程度上促进了经济的增长，但作用不是十分显著.

4 结束语

线性回归分析方法是计量经济学中常用的统计分析方法，但仅仅凭是否通过t检验和F检验来确立方程，往往产生“伪回归”现象.导致模型的分析和预测失效.产生“伪回归”现象主要是由随机误差项的异方差性和序列自相关性造成的.通过差分和函数变换（如取对数）可消除异方差的影响；建立误差修正模型不仅可消除了残差项序列自相关性，而且对历史数据的拟合值也非常理想，使模型的预测功能更强.

〔1〕李子奈，叶阿忠.高等计量经济学[M]．北京:清华大学出版社，2000.

〔2〕高铁梅.计量经济分析方法与建模——EViews应用及实例[M].北京:清华大学出版社,2006

〔3〕于俊年.计量经济学软件——EViews的使用[M].北京:对外经济贸易大学出版社,2006.

〔4〕付云鹏，郭云峰，马树才.基于区间模糊数的模糊线性回归模型及其应用[J].河北科技师范学院学报,2013(01).

O212.1

A

1673-260X（2017）11-0001-02

2017-07-06