误差思想在数学高考中的应用*
2017-11-20关丽娜钟德光郑伟庭
●关丽娜 ●钟德光 ●郑伟庭
( 深圳大学数学与统计学院,广东深圳518060) ( 广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006) ( 平山第三中学,广东惠东516300)
误差思想在数学高考中的应用*
●关丽娜 ●钟德光 ●郑伟庭
( 深圳大学数学与统计学院,广东深圳518060) ( 广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006) ( 平山第三中学,广东惠东516300)
文章从简单的二阶矩阵不满足乘法交换律的例子入手,说明构造“误差”矩阵的原因,再由这种误差思想引入偏右( 偏左) 对称函数、偏右( 偏左) 等比数列等定义. 接着,探索了这些定义的一些简单性质,并利用这些性质解决了一些数学高考压轴题.
误差思想; 严格偏右( 偏左) 对称函数; 正项偏右( 偏左) 等比数列
先从一个关于矩阵的简单例子讲起.关于矩阵的简单的初步认识可参见高中《数学(选修4-2)》.考察二阶矩阵
我们说两个矩阵A,B相等指的是
a11=b11,a12=b12,a21=b21,a22=b22.
对于矩阵A,B,经典的减法运算定义如下:
经典的乘法运算定义如下:
对实数乘法运算,我们都知道它是满足交换律的.但是对于矩阵的乘法运算,它一般是不满足交换律的,即并非所有矩阵都满足A·B=B·A,如:
则
显然,A·B≠B·A.既然并非所有矩阵都满足交换律,那么可以构造一个如下的矩阵C,
C=A·B-B·A.
为什么要引入矩阵C呢?因为并不是所有矩阵A,B都满足交换律,所以考虑它们偏离满足交换律的程度,也就是引入了一个“误差”矩阵C.显然当C为零矩阵时,A,B就满足乘法交换律了.千万别小看这种误差思想,流行理论中著名的普阿松括号积[1]就是这样构造的.普阿松括号积在流形上的微积分中具有重要的作用,许多重要概念与它有直接联系,比如局部1参数群.因此构造普阿松括号积的思想(即误差思想)也深受高考命题者的关注.另外,因为不等式是高中数学的重要内容之一,而误差思想又涉及不等式,所以它自然而然深受命题者的青睐.
其实误差思想在高中数学中有很多应用,如以下命题:
命题1设函数f在实数R上有定义,且设A为一个给定的实数.设f在(-∞,A)上单调递减,在[A,+∞)上单调递增,且对于所有的x∈R,有f(x)=f(2A-x).若x1,x2为方程f(x)=c(其中f(A)>c)的两个零点,则x1+x2=2A.
显然并不是所有定义在实数R上的函数f都是对称函数,这很容易举出例子来.但是受误差思想的启发,我们可以构造一个关于函数f的误差函数Ff:
Ff(x)=f(x)-f(2A-x).
显然,当对所有的x∈R,若Ff(x)=0,则f就是对称函数了.可见函数Ff是对称函数f的推广.虽然并非所有定义在实数R上的函数f都是对称函数,但是庆幸的是,当Ff与f满足一定条件时,f具有类似于命题1的性质:
命题2设函数f在实数R上有定义,且设A是一个给定的实数.设f在(-∞,A)上单调递减,在[A,+∞)上单调递增,且对于所有x∈R,Ff在(A,+∞)上为正函数.若x1,x2为方程f(x)=c(其中c>f(A))的两个零点,则x1+x2<2A.
证明不妨设x1
f(x2)-f(2A-x2)>0.
又因为f(x2)=f(x1)=c,所以
f(x1)-f(2A-x2)>0,
即
f(x1)>f(2A-x2).