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摘 要：复数的概念（第一课时）关键问题是：为什么引入复数、怎么引入复数（虚数单位i的引入）、什么是复数、复数怎么分类，从教材结构分析教材是按照关键问题呈现，但复数比之前学过的数更抽象，尤其是虚数单位i引入，会引发学生认知上冲突、心理上排斥，如果在教学中按部就班呈现，使得数学课堂顯得“冰冷”，失去让学生体会数学感性一面，本文展示从研究历史来更好地理解概念，在教学中更好地让学生体会概念产生“火热”一面。

关键词：复数的概念 数系扩充史 教学感悟

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0124-02

《复数的概念》是五年制高职《数学（第四册）》第17章复数及其应用的起始课，教材章首语简要说明虚数引入是由解方程产生，并简要介绍复数在一些实践应用。对复数的概念（第一课时）关键问题是：为什么引入复数、怎么引入复数、什么是复数（虚数单位i的引入）、复数怎么分类，分析教材中复数概念呈现方式：复数产生背景→探究历史名题→介绍虚数i→复数的相关概念→思考交流→对概念理解应用。教材是按照关键问题呈现，但复数概念比较抽象，尤其是虚数单位i引入，会引发学生认知上冲突，笔者在实际教学中尝试引导学生回顾数系扩充史来引入复数的概念。

1 研究历史理解概念

从历史发展来看，早在公元3世纪，丢番图在《算术》中就遇到了二次方程无解的问题，但此后的数学家都一致认为当判别式小于零时方程是无解的。复数历史的真正开端是16世纪，意大利数学家卡丹在解决著名问题：“将10分成两部分，使它们的乘积等于40”时首次给出了形如“5+和5-两个解，但他认为这是不可能的情形。二十几年以后，另一位意大利数学家邦贝利解三次方程时也发现一组“不可能的情形”这令邦贝利非常吃惊。为了更进一步探索，他提出设想解决了矛盾，还由此给出了虚数运算法则。但是，邦贝利的发现并没有改变虚数的“命运”，直到德国著名数学家莱布尼茨在研读邦贝利的《代数学》一书时，对邦贝利的讨论并不满意，因此对其进行了更加深入的研究时，又一次遇到了“不可能”的情形，随后，莱布尼茨利用上述方法从理论上证明了卡丹公式在“不可能”的情形下也是成立的，虚数并不是求根的障碍。

研究历史，能使我们对虚数单位的产生过程获得深刻认识，历史上数学家并不是直接面对x2=-1来扩充实数系的，而是因注意到两个数的和的存在让我们没有理由去怀疑两个加数的存在，于是只有一种可能，那就是还存在除了实数之外的数。这促使数学家们创造出了虚数单位i，这也是数学家研究动机的源头。

2 历史让概念不再冰冷教学实践

张奠宙教授指出，一般把数学成果分为3种不同的形态：第一种是数学家建构数学思想、发现数学定理时的原始形态；第二种是公开发表的，写在论文里、教科书上的学术形态；第三种是数学教师在课堂教学中的教育形态。对于数学教师，其主要责任是如何把数学的原始形态、学术形态转化为学生容易理解的教育形态，以揭示“冰冷美丽”背后“火热的思考”的数学本质”[2]。笔者通过研究历史对复数概念引入设计了如下问题情境。

问题1：回顾将10分成两部分，使得二者的乘积为40，求这两个数。

问题2：思考这问题在实数范围无解，但却存在这两数的和、积是确实的实数，请大家思考这意味着什么？

教师引导学生研究上述两问题本质是揭示引入新数必要性，上述两问题解决了为什么引入复数。紧接是怎样引入复数，实质是让学生理解对虚数单位i引入必要性。

以下是虚数单位i的引入的教学实录。

师：实际从数系扩充史中我们不难发现这样现象，当生活中和数学内部出现原有数系无法表达数时，我们会引入一个新的数……（数的发展回顾与小结）

师：现在，我们回到刚才的问题存在这两数的和、积是确实的实数，而解方程时却发现这样问题没有实数解，这个问题如何解决呢？

生1：说明应该引入一个新数。

师：什么新数？（用什么表示）

生：……

师：上述问题简单化实质是一个什么样数平方后是负数？（看学生反应）

师：转化式子是？2=-4，？2=-9，？2=-100，…。要是一个新数平方为这样负数，如果我们每个式子创造一个新数是不可能，我们想如何找到这些问题的共同点？

生：……

生2：就是要使这个数的平方等于-1。（但不知用什么表示好）

师：为什么把上述式子归结为？2=-1？

生2：？2=-1×4，？2=-1×9，？2=-1×100，…，只要引入一个新数，使得新数的平方等于-1，这些式子就都可表示，只是这样数怎么表示不知道。

师：很好，这也是16世纪数学家思考过问题（PPT显示：数学家欧拉用i表示这个数。数学史料及时介入）；现在，我们知道-1可以开平方根了，-1的平方根是多少？

生3：i（-i稍后得出，开始学生不知道有）。

师：也就是说-1的平方根为±i，或说方程x2=-1，x=±i。

师：回到前面的问题，如x2=-4，则x=？

生4：x=2i。

师：是2i？

生5：还有-2i。

师：对，由此可看出虚数单位i可以与实数2相乘。

师：虚数单位i不仅与实数可以相乘，而且也可与实数进行加减乘除四则运算，实数与虚数单位i的基本的乘法与加法运算自然就产生了一个新的数——复数。（随后引导学生学习什么是复数、复数的代数形式、复数的分类、复数概念应用）

3 教学反思

借助数学史中名题：两个数的和积存在这两个数怎能不存在，教师抓住时机让学生在自由言说中发现引入新数的必要性，这是本次课难点也是本次课亮点地方，教师这样做对于突破教学难点起到了很大的作用，同时让学生看到了数学是充满生机和不断发展的，这是本次课的亮点地方。

基于历史的概念教学不仅让数学知识不再冰冷，还能培育学生核心价值观。中共18大以来，社会主义核心价值观是当前中国文化的主流要求，各级部门要求将其贯穿到社会的所有部分，当然应该在教育的整个过程体现。数学文化用文化的力量调动学生的学习兴趣，用科学的价值启发学生的创新精神，用先进思想培育学生的情操，用人文情怀影响学生的正确观念，用数学史（包含中国数学史）中代表性人物与思想熏陶学生的核心素养。这些都与核心价值观的要求无论在外在目的与内在的重心是一致的。

参考文献

[1] 张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究，2006（2）：2.

[2] 张奠宙.关于数学知识的教育形态[J].数学通报，2001（4）：2.

[3] 陈锋，薛莺.从课堂“微探究”谈初中数学有效教学[J].中学数学教学参考（中旬），2013（4）：10.

[4] 张奠宙，张荫南.新概念用问题驱动的数学教学[J].高等数学教育，2004，7（3）：8-10.endprint