曹 燕

告诉你“代数式”背后的故事

曹 燕

如果我问你，在这个世界上，你最熟悉的人是谁，你肯定会告诉我，当然是妈妈，其次是爸爸.可为什么妈妈是你最熟悉的那个人呢？可能你会说出很多的理由.但根本原因是，人们在认识人物和事物的时候，总是从最特殊的开始，而妈妈就是你最特殊的那一个，在认识特殊的基础上再逐步认识一般的.在数学的学习过程中，同样如此.从特殊到一般是认识事物的一般规律，在数学上称之为归纳.“代数式”的内容作为数学中非常重要的知识，我们也要遵循“从特殊到一般，再从一般回到特殊”的规律来认识它.

一、从特殊到一般

我们在第二章学习的有理数，属于“数”的范畴，接着学习的第三章代数式，属于“式”的范畴，从数到式就是“从特殊到一般”规律的体现.

小学里我们已经学习了三角形的面积公式，三角形的面积等于底乘以高除以2.所以，你只要告诉我一个三角形的底是多少，高是多少，我就可以利用上面的公式计算出此三角形的面积.如一个三角形的底为5，高为4，那么这个三角形的面积为×5×4=10.显然，三角形有无数个，每次都要根据不同的底与高进行不同的计算表达，不是我们数学所希望出现的和追求的.因为数学讲究的是最优、最简、最美.此时，字母代替数，也就是我们所说的代数式“粉墨登场”了，不同三角形的底的长度是一个具体的数，我们可以用一个一般的字母a来表示，不同三角形的高的长度是一个具体的数，我们可以用一个一般的字母h来表示，于是三角形的面积就等于ah，这个代数式就可以代表所有三角形的值，如果用S来表示三角形的面积，那么S=ah就是所有三角形的面积计算公式.可见字母表示数，是用一个代数式代替无数个具体的数的计算式子，从特殊走向一般，简洁明了，作用非常巨大.

在有理数的学习中，我们需要验证小学里算术中学习的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律对有理数是否仍然适用，你还记得是如何验证的吗？如有理数范围内加法的交换律，我们是通过5+3=？，3+5=？，5+（-3）=？，（-3）+5=？，（-5）+3=？，3+（-5）=？，（-5）+（-3）=？，（-3）+（-5）=？这几组特殊的算式逐一进行计算，发现两种不同的算法得到的结果5+3=3+5，5+（-3）=（-3）+5，（-5）+3=3+（-5），（-5）+（-3）=（-3）+（-5）是一样的，通过从特殊到一般的归纳，我们就得到了加法交换律a+b=b+a.其他的运算律也用相同的方法获得.

可见，从特殊到一般不仅是日常生活中认识事物的一般规律，同样是数学学习中认识数学的一般规律，这种方法需要同学们引起高度的重视.在今后的数学学习过程中，当你研究了一些特殊的问题之后，不妨想想能不能把这个特殊情况推广到一般的情形，这叫特殊问题一般化.从上面的研究我们可以看出，从特殊走向一般是一次质的飞越，许多规律和发明创造就孕育其中.

二、从一般回到特殊

如果说用字母表示数产生代数式是从特殊的数到一般的式的飞跃，那么，从代数式到代数式的值就是从一般再回到特殊.

例 已知，用下图中所示的字母表示阴影部分的面积为 .

若R=5cm，a=3cm，则图中的阴影部分的面积为 （其中π取3.14）.

解析：图形由正方形与圆组成，圆半径为R，正方形边长为a，已经完成了用一般字母表示具体数的飞跃，所以，第一个问题就可以直接用一般的代数式表示出阴影部分的面积为πR2-a2.很显然，由于半径用R来表示，是不确定的值，满足圆半径R的值有无数个；同样，边长用a来表示，也是不确定的值，满足正方形边长a的值也有无数个，代数式πR2-a2表示的就是一个大圆中挖去一个小正方形余下的阴影部分的面积.而下一个问题告诉我们，R=5，a=3，都是具体特殊的数，说明圆的大小与正方形的大小都是唯一确定的，此时要求阴影部分的面积，实际上就是求当R=5，a=3时，代数式πR2-a2的值，只要把R=5，a=3代入代数式，就可以求出其值为69.5.从上面的分析过程可以看出，当代数式中字母的具体数值确定的时候，求代数式的值本质上就是用具体的数代替代数式中的字母，进而变成数的计算问题，这样，式的问题又回到了数的问题.可见，求代数式的值实际上就是从一般回到特殊.通过字母表示数产生代数式，从特殊到一般，当字母的值确定后，从代数式回到代数式的值，又从一般到特殊，正好完成了“特殊——一般——特殊”的循环.

在今后的学习数学过程中，当你遇到要研究一个一般的问题，你又无法解决时，不妨先从特殊的情况入手进行尝试，从一般回到特殊，也叫一般问题特殊化考虑，相信你会有更大的收获.

最后需要告诉同学们的是：“从特殊到一般，从一般到特殊”是认识生活问题、认识数学问题非常重要的一种方法.初中阶段我们的数学学习才刚刚开始，在今后的学习中，同学们一定要牢记这种方法，并在认识数学、解决问题的过程中不断去尝试和掌握，相信这种方法会让你终身受益！

（作者单位：江苏省宜兴市陶都中学）