李汝雁 郭要红

安徽师范大学数学计算机科学学院 (241000)

一道IMO试题的推广

李汝雁 郭要红

安徽师范大学数学计算机科学学院 (241000)

2014年第55届IMO试题4如下：

题目点P和Q在锐角△ABC的边BC上，满足∠PAB=∠BCA，且∠CAQ=∠ABC，点M、N分别在直线AP、AQ上，使得P为AM的中点，且Q为AN的中点.证明：直线BM与CN的交点在△ABC的外接圆上.

文[1]刊登了试题的一个证明，本文用三角法给出该试题的一个推广.

图1

如图1，设∠NCQ=α，∠MBP=β，直线NC与直线MB相交于T.则∠QNC=∠AQC-α=∠A-α,∠BMP=∠APB-β=∠A-β.

故α+β=A，所以∠BTC=180°-(α+β)=180°-∠A，即点T在△ABC的外接圆上.

当k=1时，即AP=PM时，AQ=QN，点P、Q分别为AM、AN的中点，本文定理即为试题，所以定理是试题的推广.

[1]姚一隽.第55届IMO试题解答[J].中等数学，2014(9)：20-24.