时统业

(海军指挥学院 信息系,南京 211800)

对数η-凸函数的积分不等式

时统业

(海军指挥学院 信息系,南京 211800)

对数η-凸函数是对数凸函数的推广,对数η-凸函数积分不等式的研究可以从对数凸函数积分不等式的研究中得到启示.从对数η-凸函数的定义出发,结合一些分析技巧,建立了涉及对数η-凸函数的积分不等式,得到其算术平均值的上下界.在特殊情况下得到对数凸函数的Hermite-Hadamard型不等式.

对数η-凸函数; 对数凸函数; 积分不等式

Abstract: Log-η-convex functions are the generalization of log-convex functions.The study of integral inequalities for log-η-convex functions can be inspired from the study of integral inequalities for log-convex functions.Based on the definition of log-η-convex functions and using some analytic skills,the integral inequalities are established,and the upper and lower bounds of the arithmetic mean involving log-η-convex functions are obtained.In particular cases,Hermite-Hadamard type inequalities for log-convex functions are obtained.

Key words: log-η-convex function,log-convex function,integral inequality

0 引言

作为通常凸函数的推广,文[1]引入-凸函数的概念．

定义1[1]设区间I⊆ℝ,二元函数η:ℝ×ℝ→ℝ,f:I→ℝ,若对任意x,y∈I,t∈[0,1]有

则称f是区间I上的-凸函数．

引理1[2]若f:[a,b]→ℝ是-凸函数且在(a,b)内可微,则对任意x∈[a,b],y∈(a,b),有

当η(x,y)=x-y时,-凸函数即为通常的凸函数．有关-凸函数的性质可见文[1～4]．文[2]给出了如下-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式:

对数凸函数[5]是凸函数的推广．文[6]给出了如下对数凸函数的Hermite-Hadamard型不等式:

其中第二个、第三个和第四个不等式的成立与f(x)的凸性没有关系,L[f(a),f(b)]是f(a)与f(b)的对数平均,即

定义2[7]设f:I→(0,+∞),η:lnf(I)×lnf(I)→ℝ．若对任意x,y∈I,t∈[0,1]有

则称f是对数-凸函数．

在定义2中取t=1,可知对任意x,y∈I有η(lnf(x),lnf(y))≥lnf(x)-lnf(y),从而对任意x,y∈I有

为方便起见,记η(lnf;a,b)=η(lnf(a),lnf(b))+η(lnf(b),lnf(a))．

显然f是对数-凸函数当且仅当lnf是-凸函数．若对任意x,y∈I,都有η(lnf(x),lnf(y))=lnf(x)-lnf(y),则对数-凸函数即为对数凸函数．若f:[a,b]→ℝ是-凸函数,在lnf([a,b])×lnf([a,b])上有上界,则f在[a,b]上可积[6]．易知,若在lnf([a,b])×lnf([a,b])上小于等于0,则f在[a,b]上恒为常数,且对任意x,y∈[a,b],有η(lnf(x),lnf(y))=0．

1 主要结果

定理1 设f是[a,b]上的对数-凸函数,在lnf([a,b])×lnf([a,b])上有上界,则有

推论1 设f是[a,b]上的对数-凸函数,正数Mη是在lnf([a,b])×lnf([a,b])上的上界,则有

注1 若对任意x,y∈[a,b],都有η(lnf(x),lnf(y))=lnf(x)-lnf(y),则对数-凸函数即为对数凸函数,此时式(1)即为引言中提到的对数凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

定理2 设f是[a,b]上的对数-凸函数,且在lnf([a,b])×lnf([a,b])上有上界,则有

推论2 设f是[a,b]上的对数-凸函数,正数Mη是在lnf([a,b])×lnf([a,b])上的上界,则有

证明由于在(0,+∞)上单调增加,且,再利用定理2即可．

定理3 设f是[a,b]上的对数-凸函数,在lnf([a,b])×lnf([a,b])上有上界,且

定理4 设f是[a,b]上的对数-凸函数,正数Mη是在lnf([a,b])×lnf([a,b])上的上界,则有

定理5 设f是[a,b]上的对数-凸函数,f在点处可导,且,在lnf([a,b])×lnf([a,b])有上界,则有

注2 若对任意x,y∈[a,b],都有η(lnf(x),lnf(y))=η(lnf(x)-lnf(y)),则对数-凸函数即对数凸函数,此时由定理5可得

这是文[8]给出的对数凸函数的一个结果．

[1]Gordji M E,Delavar M R,De La Sen M.Onφ-convex functions[J].J.Math.Inequal.,2016,10(1): 173～183

[2]Delavar M R,Dragomir S S.On η-convexity[J].Math.Inequal.Appl.,2017,20(1): 203～216

[3]Gordji M E,Dragomir S S,Delavar M R.An inequality related toη-convex functions(II)[J].Int J Nonlinear Anal Appl,2015,6(2): 26～32

[4]Delavar M R,Sen M.Some generalizations of Hermite-Hadamard type inequalities[J].SpringerPlus,2016,1(5): 1～9

[5]吴善和.对数凸函数与琴生型不等式[J].高等数学研究,2004,7(5): 61～64

[6]Dragomir S S,Mond B.Integral inequalities of Hadamard type for log-convex functions[J].Demonstratio Math.,1998,31 (2): 354～364

[7]Delavar M R,Sajadian F.Hermite-Hadamard type integral inequalities for log-η-convex functions[J].Mathematics and Computer Science,2016,1(4):86～92

[8]张小明,褚玉明.解析不等式新论[M].哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2011: 181～184

Integral Inequalities for Log-η-Convex Functions

SHI Tongye
(Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China)

O178; O174.13

A

1672-5298(2017)03-0001-05

2017-06-14

时统业(1963−),男,河北张家口人,硕士,海军指挥学院信息系副教授.主要研究方向: 基础数学