王 越，刘 锋，曾连荪

(上海海事大学 信息工程学院，上海 201607)

基于多播的4用户BC网络自由度研究

王 越，刘 锋，曾连荪

(上海海事大学 信息工程学院，上海 201607)

提出一种基于多播的4用户Broadcast Channel(BC)系统模型。该系统采用“循环模式”为接收端分配期望消息，采用基于零空间交的迫零方案，将同一个接收端的多个干扰消息置于对应零空间的交空间中，以实现同时迫零多个干扰消息。对于同一个接收端只有一个干扰消息的情况，该迫零方案同样适用。对于该4用户系统，给出了最优天线配置方案及系统自由度的一般化结果。采用MATLAB对该系统进行仿真分析，结果表明，系统自由度的理论值与仿真结果是一致的，所提出的迫零方案是可行的。

BC；多播；迫零；零空间的交

Abstract: In the presence of multicast, this paper puts forward a multicast based multi-user Broadcast Channel(BC) model of the system. The system adopts the allocation of ‘cycle model’ expectation messages for the receiving end, at the same time, based on the zero-forced solution of nullspace intersection, will put the multiple interference messages at the same receiving end into the space of nullspace intersection, in order to eliminate that interference messages. For the situation that the same message receiver has only one interference message, the zero-forced solution is also feasible. For the 4-user system, the paper proposes the optimal antenna configuration scheme and system degrees of freedom the generalization of the results. Based on the system using MATLAB simulation analysis, the results show that the degree of freedom of the theoretical value and the simulation results are consistent, and the zero-forced scheme proposed is feasible.

Key words:BC; multicast; zero-forced; mullspace intersection

0 引言

众所周知，通过采用MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)空间复用技术在两条独立的链路中传输不同的数据码流，可以成倍地提高数据的吞吐量。尽管如此，使用MIMO技术的系统仍然受到消息之间的相互干扰，使得系统性能受到影响，对于无线网络系统的容量的研究是十分困难的，因此考虑从另一个角度——自由度来衡量系统的容量大小。有关MIMO的单播网络研究已经有非常多了，如Broadcast Channel[1](BC)、Multiple Access Channel[2](MAC)、Interference Channel[3](IC)、X Channel[4](XC)等，但是有关多播网络的研究相对比较少。文献[5]提出多播的概念，并且导出网络的可达区域以及外界；文献[6]针对MIMO系统信道的联合稀疏特性，提出一种基于分布式压缩感知(DCS)的MIMO-OFDM系统信道估计方法；在多播网络，干扰消息主要来自网络内部和网络之间，因此，对多播网络的干扰处理并获得更大的自由度的研究是非常必要的。本文提出并使用基于零空间交[7]的迫零方案来实现消除干扰。该方案的主要思想是：针对多播网络的同一个接收端存在多个干扰消息，通过收发端合理的天线配置，使得多个干扰消息对应的零空间可以取得交空间，再将多个干扰消息同时置于这个交空间中，这样就可以使得干扰消息迫零，从而可以在接收端解码出期望信号。

本文主要研究的是基于多播的4用户BC网络模型。不同于以往的简单单播BC信道模型，本文的模型采用“循环模式”为每个接收端分配期望消息，同时，采用基于零空间交的迫零方案，实现同时迫零多个干扰消息。最后，本文给出了模型的天线最优配置方案及一般化的自由度结果，并使用MATLAB对系统进行了仿真分析。

1 系统模型

本文研究的基于多播的4用户BC网络如图1和图2所示。

图1 1个干扰消息的4用户BC网络系统模型

图2 2个干扰消息的4用户BC网络系统模型

系统发送4个消息，每个接收端均接收到2或3个期望消息和2或1个干扰消息。由于在每个接收端都存在若干干扰消息，因此考虑使用某种方法，消除接收端的这些干扰消息。本文提出迫零方案——零空间交，使接收端的干扰消息全部迫零，以实现消除干扰消息。

期望消息与干扰消息的简要说明：{W1,W2,W3,W4}是发送端需要发送的4个消息。接收端1共收到4个消息，其中有4-N个期望信号，其他N个消息都是干扰消息。其他接收端的情况以此类推。

针对本文提出的模型，接收端信号采用“循环模式”，假设发送端信号为{W1,W2,… ,WK}，则将W1发送给从第1个接收端开始的共4-N个接收端；将W2发送给从第2个接收端开始的共4-N个接收端；依此类推，即可得到本文提出的采用“循环模式”系统模型，见图1和图2。

图1和图2网络输入输出关系为：

Yj=HjX+Zj

(1)

Yj代表的是维度为(4-N)×1的第j(j=1,2,3,4)个接收端的输出信号；Hj代表的是发送端到接收端j的维度为(4-N)×4的信道矩阵；X表示BC信道模型的发送信号；Zj代表的是(4-N)×1维信道的加性高斯白噪声。

针对本文提出的多播系统模型，可以提出一种自由度的定义：多播网络系统的自由度就是系统接收端解码消息总数。

2 方案分析与设计

为了便于分析，先从每个接收端只有1个干扰消息的4用户模型开始向一般模型逐步分析。

2.1 1个干扰消息的4用户

图1中，发送端发送4个消息，每个接收端根据“循环模式”分别从发送的4个消息中接收3个期望消息，并消除干扰消息。其中，发送端至少配置4根天线，接收端均配置3根天线。

针对1个干扰消息的4用户模型，采用迫零方法来处理干扰消息，从而实现解码得到期望消息。可设波束成形向量F=[f1f2f3f4]4×4。对接收端1开始具体分析，其输入输出关系为：

Y1=H1X=H1FS

(2)

其中，H1表示接收端1与发送端之间的信道矩阵，且维度为3×4；S表示发送端发送的消息信号的矩阵表示，并且有S=[W1W2W3W4]H，且维度为4×1。

再对H1进行奇异值分解，可以得到：

(3)

进一步可以得到：

(4)

由于接收端1的干扰消息只有W2，对其迫零需要满足以下约束条件：

(5)

同理，可以实现对接收端2的干扰消息W3迫零，对接收端3的干扰消息W1迫零，从而实现获取期望信号，只要满足条件：

(6)

通过上述简单分析，就可以得到满足条件的波束成形向量F，实现对各个接收端的一个干扰消息的迫零，进而得到期望信号。同时，可以得出1个干扰消息的4用户系统模型的自由度为4×3=12。

建构主义教学使学习在与现实情境相类似的情境中发生，避免抽象地谈概念，学习者则在这种情境中主动构建知识的意义。传统教学往往去情境而重抽象。

2.2 2个干扰消息的4用户模型

2个干扰消息的4用户模型与1个干扰消息的4用户模型类似，区别在于每个接收端需要消除两个干扰消息，同时发送端至少配置5根天线，接收端均配置2根天线，见图2。

仍然采用迫零方法来处理干扰消息，从而解码出期望消息。波束成形向量以及输入输出关系不变，只是维度发生变化。

假设有矩阵A，并得到其零空间为Null(A)，则由零空间Null(A)构造的任意向量与原矩阵A相乘一定为0。根据该结果，可以推广得到：要实现迫零某个干扰信号，只要将该干扰信号置于信道矩阵构成的零空间中即可。针对当前模型具体来说就是，每个接收端要实现对干扰消息的迫零，就必须将干扰消息置于对应信道矩阵的零空间中。即，对于接收端3和4的干扰消息W1置于H3和H4构成的零空间的交空间中；对于接收端1和4的干扰消息W2置于H1和H4构成的零空间中；对于接收端1和2的干扰消息W3置于H1和H2构成的零空间中；对于接收端2和3的干扰消息置于H2和H3构成的零空间中。

首先给出一个关于零空间交的引理。

由上述引理可以导出一条重要结论：若(m+p)×n矩阵C的秩为r=rank(C)，则它的右奇异向量{v1,v2,…,vn}中，与n-r个零奇异值对应的右奇异向量{vr+1,vr+2,…,vn}构成零空间的交Null(A)∩Null(B)的标准正交基。如果零空间的交存在，则必有n-r≥1。而矩阵C是满秩的，有r=min(m+p,n)，由此可以得到关系式：

(7)

(8)

再对Qi(i=1, 2, 3, 4)奇异值分解，即Qi=Ui∑iViH。 根据引理及其导出的结论，可知：矩阵Qi的秩r=2，它的右奇异向量v1,v2,v3,v4,v5中，与1个零奇异值对应的右奇异向量v5构成零空间的交的标准正交基。因此可得知波束成形向量满足条件：

(9)

根据上述分析可以找到当前信道模型的波束成形向量，使得每个接收端的干扰消息迫零，同时可以得到当前模型的自由度为8。

3 天线配置

考虑到实际工程中应尽量节省成本，下面分析如何最优配置天线以实现迫零干扰，同时简要分析一般模型的自由度大小。

3.1最优天线配置

4用户系统模型见图1和图2。对于接收端，可以配置天线数量与期望信号数量相同，即每个接收端均配置4-N根天线。下面分析发送端的天线数量的最优配置问题。

定理对于基于多播的4用户BC网络，每个接收端都配4-N根天线，则使用基于零空间交的迫零方案，发送端至少配置4N-(N2-1)根天线，即可在每个接收端收到4-N个期望消息，并迫零N个干扰信号，同时系统模型的自由度为16-4N。

证明不妨从信道维度来分析天线的具体配置问题，并假设发送端至少配置L根天线，可以实现在每个接收端获取对应的4-L个消息，同时消除N个干扰消息。已经知道Hi(i=1, 2, 3, 4)表示发送端到接收端的信道矩阵，其维度可用(4-N)L表示。

与上述4用户的系统模型分析类似，在每个接收端要从存在N个干扰消息的接收信号中获得4-N个期望消息，就必须将干扰消息置于对应信道矩阵零空间的交空间中。即，对于接收端1至N的干扰消息W1置于{H1,H2,…,HN}构成的零空间；对于接收端2至N+1的干扰消息W2置于{H2,H3,…,HN+1}构成的零空间；以此类推。同时，可以确定由对应信道矩阵构成的零空间的维度为N(4-N)L。

再根据引理及其导出结论：n≥m+p+1 ，可以确定n和m+p表示上述零空间的维度，即n=L且m+p=N(4-N)，因此可以得出L≥N(4-N)+1。即得证基于当前模型的发送端最优天线配置为N(4-N)+1根。

又因为每个接收端均解码出4-N个消息，因此可以确定该系统模型的自由度为16-4N。

3.2干扰处理分析

上一小节已经详细分析了4用户模型的天线配置以及如何实现最优化配置，接下来将分析如何实现在接收端消除干扰，以便获取相应的期望信号。具体的分析如下。

不妨用Q1表示干扰消息W1对应的组合信道矩阵；Q2表示干扰消息W2对应的组合信道矩阵，以此类推。最后可以得到波束成形的列向量与组合信道矩阵Qi(i=1, 2, 3, 4)之间的关系：

(10)

(11)

通过上述分析，可以找到使得干扰消息迫零的波束成形向量F，进而每个接收端可以解码出期望信息同时消除干扰消息。

4 仿真与分析

使用MATLAB对系统模型的可行性以及系统自由度与干扰消息数之间的关系进行了仿真分析。同时，假设每个信道为不相关的瑞利衰落信道。发送端的发送功率为P，发送端在满足总的功率限制下，对每个用户的发送功率平均分配。每个用户接收端的噪声方差都相同且设为σ2。假设发送端可获知它所发送的所有用户的无差错的等效信道状态信息，每个用户也能获得接收端到其信道的状态信息。

用户i的消息经过一列处理之后，在接收端的接收信噪比为:

(12)

其中Pe表示每个接收端的期望信号，Pi表示每个接收端的干扰信号。 故用户i的期望信号速率为：

Ri=log2(1+SINRi)

(13)

因此，可以得到系统的总和速率为:

(14)

基于上述对和速率(Sum Rate)的分析，可以使用MATLAB对系统的和速率做仿真，仿真结果如图3所示。

图3描述的是2干扰4用户系统的和速率与信噪比之间变化关系，在使用本文给出的最优天线配置及迫零方案的情况下，每个接收端的干扰消息数量相同且从1个增加到2个干扰消息，对应的自由度大小从12减少到8。从图中可以看出，固定用户数的情况下，系统自由度随着干扰消息数N增加而线性减少，这个结果同样与理论公式相一致。

图3 2干扰4用户系统的和速率与信噪比关系

从图3不难得出，如果期望获取更大的系统自由度，可以控制每个接收端的干扰消息数量，使其尽可能少。

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Research on degree of freedom of 4-user BC network based on multicast

Wang Yue, Liu Feng, Zeng Liansun

(College of Information Engineering, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

TN92.5

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.18.022

王越，刘锋，曾连荪.基于多播的4用户BC网络自由度研究[J].微型机与应用，2017,36(18)：73-76.

2017-02-28)

王越(1990- )，通信作者，男，硕士研究生，主要研究方向：MIMO。E-mail:wyue_email@163.com。

刘锋(1976- )，男，博士，讲师，主要研究方向为无线通信。

曾连荪(1962-)，男，博士，教授，主要研究方向：定位导航系统。