冯迎飞

【中图分类号】G623.5

在我们的生活中有很多问题需要用数学知识来解决。排队就是我们生活中最常见的问题，如到银行取钱，到医院看病，到火车站买票等。有时候排队的人很多，要花费很多时间，如何使投入资源少，而顾客对服务又满意，这就需要研究排队问题。可以建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决相关问题，使顾客等待的时间最少。今天我想谈谈利用初中数学知识研究生活中的排队问题，使学生认识到数学来源于生活，而又服务于生活，提高学生学习数学的兴趣，增强应用意识，提高实践能力。

问题1：某服务机构开设了一个窗口办理业务，按先到达先服务的方式服务。该窗口每2分钟服务一位顾客，已知当窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口开始工作1分鐘后，又有一位新顾客到达，且预计以后每5分钟都有一位新顾客到达。

1）设 表示窗口开始工作时已经在等待的6位顾客， 表示窗口开始工作后按先后顺序到达的新顾客，完成表格：

顾客

到达时间

服务开始时间

服务结束时间

等待时间

2）根据表格，哪一位顾客是第一个到达服务机构而不需要排队的？求出他到达的时间。

3）在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客共花了多长时间？

4）求平均等待时间是多少分钟？

解：1）完成表格如下：

顾客

到达时间 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26

服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26

服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28

等待时间 0 2 4 6 8 10 11 8 5 2 0 0

2）由表格可知： 是第一位到达不需要排队的顾客，他到达的时间是21分钟。

3）前面已经服务了10位顾客，共花费了20分钟。

4）（0+2+4+6+8+10+11+8+5+2）÷10=5.6（分钟）

拓展：上面问题中，若问题的条件变复杂（如当窗口开始工作时已经有很多顾客在等待），使用列表方法就很麻烦，能否用代数式表示上面的数量，由上面的具体问题归纳如下。

问题2：在问题1中，当窗口开始工作时，已经有10位顾客在等待，且当新顾客 离开时，排队消失，即 为第一位不需要排队的新顾客。

1） 在第一位不需要排队的“新顾客” 到达之前，已经服务了多少位顾客？共花费了多长时间？

2） “新顾客” 到达时间是什么？“新顾客”到达后不需要排队的条件是什么？并求出 的值。

解：1）（10+n）位，共花费时间是2（10+n）分钟

2）（5n+1）分钟，“新顾客”不排队的条件是等待时间小于或等于0，即窗口服务开始时间小于等于“新顾客”到达时间，

因此有：20n+20≤5n+1，解得n≥

同时还要：2n+20-2>5n+1-5，（即前一位新顾客等待时间大于零），

解得n<

所以

所以n=7，则n+1=8，即第八位顾客不需要排队。

通过以上两个问题，用列表和列代数式让学生感受到由具体问题归纳出一般解题方法，从而使学生能举一反三，触类旁通，同时体会到利用数学知识可以解决生活中的实际问题，把实际问题通过建立数学模型来解决，而本题利用不等式模型解决此类问题，使学生感受到数学的应用价值。

例1：蚌埠市博爱医院儿科诊室外有5位患者在候诊，主任医师到来后，开始为第1位患者诊断，每5分钟诊断完一位患者，在主任医师开始工作2分钟后，又有一位新患者到达，且预计以后每10分钟有一位新患者到达，设 表示主任医师开始工作时已经在等待的患者， 表示主任医师工作后按先后顺序到达的“新患者”，当“新患者” 离去时，排队现象消失，即 为第一位到达后不需要排队的新患者（这里假设主任医师开始为第一位诊断的时间为0）

1）用关于n的代数式表示：①第一位到达后不需要排队的新患者 到来之前，共诊断了几位患者，共用多长时间，② 到达的时间

2）根据①②得到的代数式及它们之间的数量关系求n+1值

解：1）①共诊断了（n+5）位患者共用时间为5（n+5）分钟

② 到达时间为（10n+2）分钟

2）由①②可得：

解得 ，又n为整数，所以n=5，因此n+1=6.

例2：某徽商银行为了提高服务质量，对顾客进行了调查，结果显示：当工作人员还未开始工作时，有a个人已经在排队等候，开始工作后，排队的人数平均每分钟增加b个人。假设每个窗口每分钟服务速度是k个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象，若同时开放两个窗口时，则有15分钟恰好不会出现排对现象，根据以上信息，若银行承诺5分钟后不会出现排队现象，则至少要同时开放的窗口个数是多少？

解：设要同时开放n个窗口才能满足要求，由题意得：

解得

当k=2.5b，a=60b时，由题可得n≥5.2

因此，至少开放6个窗口才能满足要求。

本题通过建立数学模型，由已知可列出方程和不等式来解决实际问题，培养学生运用数学知识的能力，体验成功的快乐。

教师在课堂教学中，不能仅仅停留在对基础知识的理解，就题论题的层面上，而是要充分发挥典型问题的作用，让学生在课堂教学中感悟知识的生成，数学思想和数学方法的灵活运用，本案例就运用了类比，转化和建模的数学思想方法，教师往往通过一个知识点或一道典型例题为载体，提炼出数学规律和方法，使学生能居高临下找到解题的关键，进一步拓展思维能力和运用数学知识解决实际问题的能力.

参考资料.七年级数学教材下册（沪科版）