朱忠华

摘要：变限积分函数是微积分中一类具有特殊形式的函数，它是联结众多知识点的纽带，是学生学习的重点和难点，在微积分中有广泛的应用。本文介绍了积分上限函数的概念及其特有的求导性质，并结合实例深入讲解变限积分函数的求导以及其在微积分各主要内容中的应用。

关键词：变限函数；不定积分；定积分；导数；连续

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）38-0211-03

一、前言

一元函数微积分[1-3]部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）。在这六个概念中，除了不定积分，其他五个概念都是某种形式的极限，所以它们由极限联系了起来。为了要说明不定积分与其他概念的联系时，引入了积分上限函数，得出了牛顿—莱布尼兹公式，从而揭示了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系，不但解决了定积分的计算问题，同时微积分的六个重要概念也就相互联系了起来[4]。

二、变限积分函数的定义与性质

1.定义。对于闭区间[a，b]上连续的函数f（x），设x为[a，b]上的任一点，定积分f（t）dt显然存在，当x在[a，b]上任意变动时，对于每一个取定的x的值，

f（t）dt就有一个对应的值，这样就在[a，b]上定义了一个新的函数，称为变上限积分，又称为积分上限函数，一般记为Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。

这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释：Φ（x）表示一个以f（x）为曲边的曲边梯形的面积，当x给一个确定的值，Φ（x）有一个确定的值，所以又称Φ（x）=f（t）dt为面积函数。

记Ψ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]称为变下限积分，又称为积分下限函数。Φ（x），Ψ（x）统称为变限积分函数。因Ψ（x）=f（t）dt=-f（t）dt也可化为积分上限函数，所以本文主要讨论积分上限函数的情况。

积分上限函数，这是一类特殊的函数，具有与普通函数相同的特征；又由于它的上限是变化的，变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质。特殊性决定了它的重要性，变限积分内容也是各类考试经常要考到的一个重要知识点，本文就只介绍它的求导的性质，证明略。

2.变限积分函数的求导性质。

定理1：如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则变上限函数Φ（x）=f（t）dt在[a，b]内连续、可导，且

Φ′（x）=f（t）dt=f（x）。

注：其中区间a可为-∞，b可为+∞。

由复合函数的求导，积分上限函数的求导可得如下一般形式：

推论1：[f（t）dt]′=f（t）dt=f（g（x））·g′（x）

此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x或只含x的表达式g（x）；第二，被积函数f中只含积分变量t，不含参变量x。

求导计算举例：

例1：设Φ（x）=dt，求Φ'（x）.

解：在的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得

dt=dt+dt

=-2+2x.

注：由此题，可得对变限积分函数的求导更一般的结论：

推论2：[f（t）dt]′=[f（t）dt+∫f（t）dt]′=f（g（x））·g′（x）-f（h（x））·h′（x）.

例2：设f（x）可导，求∫tf（2x-t）dt.

分析：在学习积分上限函数时，要注意区分积分上下限变量与积分变量，不要混淆。这里被积函数f中除含积分变量t外，还含参变量x，不能直接使用变限积分函数的求导性质，通常要通过变量替换消去被积函数f中参数x，则令u=2x-t即可.

解：令u=2x-t，则tf（2x-t）dt=（2x-u）f（u）du

=2xf（u）du-uf（u）du

∴（tf（2x-t）dt）=2f（u）du+2x[2f（2x）-

f（x）][-2xf（2x）·2-xf（x）]

=2f（u）du-xf（x）.

处理这类问题的关键是：变限积分作积分变量替换同普通定积分一样，必须对变限积分的上下限作相应地替换，即仍然遵循定积分的“不换元不换限，换元必换限”的原则。

三、变限积分函数求导应用的典型例题

掌握好变限积分的求导运算是非常重要的，当我们碰到变限积分的题目时，不是想办法去求出这个变限积分的函数表达式，而是应该想到用求导性质去解决具体的问题，下面分情况来讨论变限积分求导的应用。

1.讨论变限积分函数的极限问题。

例3：求.

解：是未定型，用洛比達法则，

原式====-.

注：通常这类或的未定型极限都可用洛比达法则来计算，在计算过程中可用等价无穷小量来进行因式替换，简化计算。

2.讨论变限积分函数的连续性问题。

例4：讨论f（x）=，x>0 2，x=0，x<0的连续性.

解：（1）当x>0时，f（x）显然是连续。

（2）当x<0时，对任何t，cost是连续的，可得

costdt是x的连续函数，

故f（x）=是连续的.

（3）当x=0时，f（x）===1，

而f（x）=2=f（0），因此f（x）在x=0处不连续，但它是右连续的

3.讨论变限积分的隐函数与参数方程求导问题。

例5：已知edt+costdt=0，求.endprint

解：隐函数方程，两边对x求导，得

e·y′+cos（xy）·（y+xy′）=0，整理得y′==。

4.讨论变限积分函数的单调性与奇偶性等问题。

例6：设f（x）为奇函数，在（-∞，+∞）内连续且单调递增，F（x）=（x-3t）f（t）dt

求证：（1）F（x）为奇函数；（2）F（x）在[0，+∞]上单调递减.

证：（1）∵F（-x）=（-x-3t）f（t）dt

（-x+3u）f（-u）d（-u）

=-（x-3u）f（u）du=-（x-3t）f（t）dt=-F（x）

故F（x）为奇函数。

（2）∵F（x）=xf（t）dt-3tf（t）dt

∴F（x）=f（t）dt+xf（x）-3xf（x）=f（t）dt-2xf（x）

=f（t）dt-f（x）dt-xf（x）

=f（t）dt-f（x）dt-xf（x）

=[f（t）-f（s）]dt-xf（x）

∵f（x）在（-∞，+∞）内为增函数与奇函数，

∴f（t）-f（x）<0，xf（x）>0

∴[f（t）-f（x）]dt<0，-xf（x）<0

于是：F（x）=[f（t）-f（x）]dt-xf（x）<0，

x∈（0，+∞）

故：F（x）在[0，+∞]上单调递减。

5.讨论含变限积分方程的根的情况。

例7：已知函数f（x）=dt+dt，求

f（x）零点的个数.

解：f′（x）=-+2x=0，得驻点x=.

当x<时，f′（x）<0，f（x）单调减少；当x>时，f′（x）>0，f（x）单调增加.

因f（1）=0，所以f（x）在x>时存在唯一零点且

f（）<0.

又f（x）=+∞，f（）<0，所以f（x）在x<时也存在唯一零点.

综上，f（x）有且仅有2个零点。

6.求被积函数为变限积分函数的定积分。

例8：设f（x）=dt，求f（x）dx.

解：因f（0）=0，f（π）=dt，f′（x）=，

所以f（x）dx=[xf（x）]-xf′（x）dx

=πf（π）-dx=πf（π）+sinxdx=πf（π）+sinxdx-πf（π）=[cosx]=2.

7.求解積分方程。

例9：设函数f（x）具有连续的一阶导数，且满足

f（x）=（x-t）f′（t）dt+x，求f（x）的表达式.

解：f（x）=xf′（t）dt-tf′（t）dt+x，且f（0）=0，

两边求导得，f′（x）=2xf′（t）dt+xf′（x）-

xf′（x）+2x=2xf′（t）dt+2x

=2x[f（x）-f（0）]+2x=2xf（x）+2x

即f′（x）-2xf（x）=2x，求解一阶线性微分方程，得

f（x）=e（-e+C），又f（0）=0，得C=1，所以f（x）=e-1.

注：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解，注意初值条件隐含在积分方程内。

9.在证明不等式题中的应用。

例10：设函数f（x），g（x）在区间[a，b]上连续，且

f（x）单调增加，0≤g（x）≤1.

证明：（I）0≤g（t）dt≤x-a，x∈[a，b]；

（II）f（x）dx≤∫f（x）g（x）dx.

证明（I）：因0≤g（x）≤1，所以x∈[a，b]时，有

0dt≤g（t）dt≤1dt，

即0≤g（t）dt≤x-a，x∈[a，b].

证明（II）：令F（x）=f（t）dt-f（t）g（t）dt，x∈[a，b]，F（a）=0

因设函数f（x），g（x）在区间[a，b]上连续，所以

F（x）在[a，b]上可导，且F′（x）=[f（a+g（u）du）-f（x）]g（x）。

由（I）知，a+g（u）du≤x，又已知f（x）单调增加且g（x）≥0，所以F′（x）≤0，从而F（x）在[a，b]上单调减少，F（b）≤F（a）=0，即∫f（x）dx≤∫f（x）g（x）dx.

以上例题中的例7、例9、例10都是近几年考研的试题。总之，变限积分函数是一个非常重要而又特殊的一类函数，它的求导性质必须熟练掌握并能进行各方面的应用。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].高等教育出版社，2006.

[2]华东师大数学系编.数学分析[M].高等教育出版社（第三版），1994.

[3]万学海文考试研究中心.2015考研数学真题大解析数学二[M].中国时代经济出版社，2013.

[4]卢亚丽，李艳华，等.变限积分函数求导方法研究[J].河南教育学院学报，2004，13（1）.endprint