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一元一次不等式中的常见错误

2017-09-04张倩

初中生世界·七年级 2017年7期
关键词:不等号张倩移项

熟练地求解一元一次不等式,不仅是初中生数学计算能力的重要体现,而且对后续的用一元一次不等式解决问题、解一元一次不等式组都有着深远影响.下面我们一起来看看一元一次不等式中的常见错误.

一、一元一次不等式的概念

例1 下列不等式是一元一次不等式的是( ).

A.x2-9x≥7x-6 B.x+[1x]>0

C.x+y<0 D.[13](x+2)>4x-1

【错解】B.

【分析】A选项中未知数x的最高次数为2,

B选项中[1x]的分母含有未知数,C选项中含有x、y两个未知数,因而它们都不是一元一次不等式,只有D符合一元一次不等式的三个特征:①只含一个未知数;②未知数的最高次数是1;③不等式的两边都是整式(单项式或多项式).

【正解】D.

二、移项法则

例2 解一元一次不等式:2x+6≥3x-27.

【错解】2x+3x≤6-27.

【正解】2x-3x≥-6-27.

【分析】常见的错误是只移项而不变号.所谓的移项,其实是在不等式的两边同时加上某一项的“相反项”.比如:让不等式右边的项“3x”消失,是在不等式的两边同时加上了“-3x”,从而右边消去3x,而左边出现了“-3x”的项.根据不等式的性质1,可以知道,这种变化不等号的方向不变,因此有了移项变号,不等号方向不变的结论.

答案为x≤33.

三、去分母法则

例3 解一元一次不等式:[1-x4]>1-[1-2x2].

【错解】1-x>1-2-4x.

【正解】1-x>4-2(1-2x).

【分析】去分母是根据不等式的性质2,不等式两边的每一项都要同乘或同除某个数,因此,对于不含有分母的项“1”也要乘4.另外,题中的“1-x”“1-2x”是整体作为分子,在去分母的时候也要看做一个整体,换句话说,去分母的时候要加括号.

答案为x<-[15].

四、系數化为1

例4 解一元一次不等式:14-2x>6.

【错解】x>4.

【正解】x<4.

【分析】移项、合并同类项之后,得-2x>-8.系数化为1,是根据不等式性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.因为-2<0,所以在不等式两边同时除以-2的时候,不等号的方向要改变.

五、一元一次不等式解的表示

例5 解不等式:[2x-13]-[5x+12]≤1,并将解集在数轴上表示出来.

【错解】x≥-1,解集在数轴上表示为.

【正解】x≥-1,解集在数轴上表示为.

【分析】不等式解集在数轴上的表示,要注意:①确定临界点,在表示“≤”或“≥”时,用实心圆点(如正解图中‘-1点处),在表示“<”或“>”时,用空心圆点(如错解图中‘-1点处);②确定方向,在表示“<”或“≤”时,向左(数轴负方向)画(如错解图中方向),在表示“>”或“≥”时,向右(数轴正方向)画(如正解图中方向).

六、含有字母的一元一次不等式

例6 如果关于x的一元一次不等式(a+1)x>a+1的解集为x>1,那么a的取值范围是 .

【错解】任何数.

【正解】a>-1.

【分析】观察(a+1)x>a+1和x>1可知:不等号的方向没有改变.根据不等式的性质2可知:对不等式的系数a+1是有要求的,条件为a+1>0,进而得到a>-1.

例7 已知a,b为常数,若一元一次不等式ax+b>0的解集是x<[13],则bx-a<0的解集是 .

【错解】x>-3.

【正解】x<-3.

【分析】观察ax+b>0和x<[13],可知:a<0,不等式解集为x<[-ba].进而有[-ba]=[13],且b>0.所以bx-a<0的解集为x<[ab].又因为[-ba]=[13],可知[ab]=-3,终得x<-3.理清a,b的符号及数量关系是解题关键.

七、一元一次不等式的整数解

例8 写出一元一次不等式[5x-13]-x<1的所有正整数解 .

【错解】x=1,2.

【正解】x=1.

【分析】解[5x-13]-x<1得x<2.而x是取不到2的,因而其正整数解只有x=1.

例9 若一元一次不等式3x-m≤0的正整数解为1、2、3,则m的取值范围是 .

【错解】9

【正解】9≤m<12.

【分析】先求出含有m的一元一次不等式解集:x≤[m3].再根据其正整数解为1、2、3,可知3≤[m3]<4.其中[m3]可以取到3,因为当[m3]=3时,不等式解集为x≤3,满足题意;而[m3]不可以取到4,因为当[m3]=4时,不等式解集为x≤4,其正整数解为1、2、3、4,不满足题意.进而得到9≤m<12.确定[m3]的范围,临界值能否取到是解题关键.

在学习的过程中,出现种种错误并不可怕,只要认真分析,仔细辨别,及时纠正,那么在以后的学习中定能取得进步.

(作者单位:南京师范大学附属中学江宁分校)

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