陈 鑫

(北京信息科技大学 理学院, 北京 100192)

罗尔定理在微分方程边值问题中的应用

陈 鑫

(北京信息科技大学 理学院, 北京 100192)

以一个变系数的4阶线性齐次微分方程的边值问题为例,根据所给边界条件在不同的区间上多次使用罗尔定理证明所给区间内有多个零点,再运用数学归纳法证明该方程只有零解。对于已知边界条件个数多于方程阶数的线性齐次微分方程的边值问题,给出了只有零解的一般性结论。最后,将罗尔定理推广至n阶导数的情形,亦可得到类似的结论,进而,该方法可应用于讨论类似的n阶(n≥2)变系数线性齐次微分方程的边值问题。应用罗尔定理讨论线性齐次微分方程边值问题的解,拓宽了微分中值定理的应用范围。

罗尔定理; 变系数; 微分方程; 边值问题; 数学归纳法

0 引 言

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,它们是微分学中非常重要的基本定理,是导数应用的桥梁[1-2]。对于微分中值定理的探讨,主要集中在定理的证明方法、结论的应用以及推广上[3-8]。微分中值定理被广泛应用于求极限、研究函数性态、证明恒等式和不等式、判定代数方程根的个数等方面。本文将以一个变系数的4阶线性齐次微分方程的边值问题为例,应用罗尔定理讨论其解的情况,即证明该类微分方程只有零解,并给出一个一般性的结论。这是罗尔定理在讨论具有变系数的线性齐次微分方程解的方面的应用,并且可以推广至n阶情形。

1 问题的提出

在研究偏微分方程的特征值问题时,通常需要求解常系数或变系数的线性齐次微分方程[9],有时会遇到齐次边界条件的个数大于方程的阶数的情形。

如果线性微分方程是常系数的,例如

可以写出其通解

将边值条件代入y(x),y′(x),y″(x)和y‴(x)中,得到关于C1,C2,C3和C4的四元线性齐次方程组

C1+C2+C3+C4=0

C1-C2+iC3-iC4=0

根据线性齐次方程组解的性质可知

C1=C2=C3=C4=0

从而y(x)≡0。

但如果方程是变系数的,则很难写出通解形式,例如,考虑变系数的4阶线性齐次微分方程的边值问题:

(1)

其中:常数λ≠0;0

可以应用罗尔定理证明该方程只有零解,即y(x)≡0。

2 结论的证明

因为y(0)=y(1)=0,所以由罗尔定理可知,至少存在1点ξ1∈(0,1),使得y′(ξ1)=0;又因为y′(0)=0,故至少存在1点ξ2∈(0,ξ1),使得y″(ξ2)=0,亦即u(ξ2)y″(ξ2)=0;而y″(1)=0,即u(1)y″(1)=0,所以至少存在1点ξ3∈(ξ2,1),使得(u(x)y″)′(ξ3)=0;再由(u(x)y″)′(1)=0,可知至少存在1点ξ4∈(ξ3,1),使得(u(x)y″)″(ξ4)=0。将其代入式(1)的第1个方程,可得

由于λ≠0,v(x)>0,故y(ξ4)=0,即y(x)在(0,1)内至少有1个零点ξ4。

下面证明:如果y(x)在(0,1)内有n个不同的零点,则y(x)在(0,1)内必有n+1个零点。

不妨假设

其中α1,α2,…,αn为y(x)在(0,1)内的n个不同的零点,加上边界条件,则有

分别在区间(αi,αi+1),(i=0,1,2,…,n)上应用罗尔定理,可得至少存在βi∈(αi,αi+1),即

满足y′(βi)=0。又因为y′(0)=0,将上述过程应用于y′(x),则存在γi,(i=0,1,2,…,n),满足

使得y″(γi)=0,亦即u(γi)y″(γi)=0;而y″(1)=0,即u(1)y″(1)=0,进一步可知,存在ηi,(i=0,1,2,…,n),满足

使得(u(x)y″)′(ηi)=0。再由(u(x)y″)′(1)=0可知,存在ζi,(i=0,1,2,…,n),满足

使得(u(x)y″)″(ζi)=0.将其代入式(1),可得

由于λ≠0,v(x)>0,故y(ζi)=0,即y(x)在(0,1)内有n+1个零点。

由于y(x)满足方程 (u(x)y″)″(x)=λ2v(x)y(x),而该方程的解是唯1的,所以y(x)≡0。

3 结 论

从上面的讨论不难看出,对于一个形如(1)的变系数的线性齐次微分方程而言,如果已知的齐次边界条件个数大于方程的阶数,则应用罗尔定理可以证明方程只有零解。从罗尔定理应用的角度来看,罗尔定理不仅可以应用于讨论代数方程的根的情况,而且还可以应用于一类微分方程解的研究,罗尔定理的应用范围得到进1步的拓宽。

另一方面,由上述问题的证明过程,可以得到如下推广的罗尔定理。

定理 假设函数f(x)在[a,b]有直到(n-1)阶的连续导数,在(a,b)内f(n)(x)存在,对于[a,b]上满足a1

这个推广至n阶导数情形的罗尔定理可应用于讨论类似(1)的n阶(n≥2)变系数线性齐次微分方程的边值问题。

[1]同济大学数学系. 高等数学[M]. 7版. 北京:高等教育出版社, 2014:125-126.

[2]复旦大学数学系. 数学分析[M]. 2版. 北京:高等教育出版社, 1994:173-178.

[3]刘文武. 两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨[J]. 数学的实践与认识, 2005,35(8):242-247.

[4]王家军. 微分中值定理的另类证明与推广[J]. 大学数学, 2008,24(3):169-171.

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[9]CHEN Xin,CHENTOUF B,WANG Junmin. Exponential stability of a non-homogeneous rotating disk-beam-mass system[J]. J Math Anal Appl, 2015,432(2):1243-1261.

Application of rolle theorem in boundary-value problem of ODEs

ChenXin

(School of Applied Science, Beijing Information Science and Technology University, Beijing 100192, China)

A fourth-order linear homogeneous ODE with variable coefficients is considered as an example and Rolle’s theorem is applied many times in different intervals according to different boundary conditions. The conclusion that there are more than one null points in the given interval combined with the mathematical induction proves that the ODE has only zero solution. A further conclusion is that the linear homogeneous ODE only has trivial solution if it has more homogenous boundary conditions than its order. Finally the extension of Rolle’s theorem to thenth derivative is presented, which can be used to deal with the similar nth-order linear homogeneous ODEs with variable coefficients (n≥2). Another application of Rolle’s theorem in boundary-value problem of ODEs makes the application range of the differential mean value theorems more wide.

rolle’s theorem; variable coefficients; differential equation; boundary-value problem; mathematical induction

2016-10-31。

国家自然科学基金青年基金资助项目(71501016); 北京市教委科研计划项目(KM201511232018)。

陈 鑫(1978-),女,辽宁沈阳人,北京信息科技大学讲师,博士。

1673-5862(2017)03-0353-03

G642

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.018