华南师范大学数学科学学院(510631) 曾玉婷 吴康

三角形的垂足三角形无穷序列问题探讨

华南师范大学数学科学学院(510631) 曾玉婷 吴康

除去直角三角形之外的三角形均有其垂足三角形,怎样的三角形存在垂足三角形无穷序列?怎样的三角形不存在垂足三角形的无穷序列?

垂足三角形 无穷 序列

1.引入

若△ABC为锐角三角形(不妨设A≥B≥C),其垂足三角形为△DEF,则[1]

若△ABC为钝角三角形(不妨设A≥B≥C),其垂足三角形为△DEF,则[2]

若△ABC为直角三角形,则它没有垂足三角形.

下文中的三角形△ABC,约定A≥B≥C.

定义垂足三角形序列链长如下:对于△A0B0C0,△A1B1C1,△A2B2C2,...,△AkBkCk,若满足 △Ai+1Bi+1Ci+1是 △AiBiCi的垂足三角形,其中i=1,2,...,k,且△AkBkCk没有垂足三角形,则k称△A0B0C0为的垂足三角形序列链长(下文简称为“链长”).由定义可知,直角三角形链长为0.

2.问题提出

问题1怎样的三角形存在垂足三角形无穷序列?

先解决一个简单的

问题2怎样的三角形链长为1?

分析 问题即怎样的三角形的垂足三角形是直角三角形?

解 记△ABC的垂足三角形为△DEF.

(1)若△ABC为锐角三角形,则满足(∗),此时D≤E≤F,依题意得,即有,解得

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),此时E ≥F,要使△DEF为直角三角形,则

问题3怎样的三角形链长为2?

分析:问题即怎样的三角形的二阶垂足三角形为直角三角形?也即怎样的三角形的垂足三角形符合问题2的解?

解 记△ABC的垂足三角形为△DEF.

(1)若△ABC为锐角三角形,则满足 (∗),此时D ≤E ≤ F,依题意得,从而有解得

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),分两种情形讨论.

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),分两种情形讨论.

(2)若△ABC为钝角三角形,则满足(∗∗),分两种情形讨论.

3.结论汇总如下表

链长为0链长为1链长为2 1.1最大角为3π 8,最小角大于π 4的锐角三角形1.最小角为π1.2最大角小于3π 4 4,最小角为π 8的钝角三角形的锐角三角形1.3最大角为5π 8,其余两角小于π 4的钝角三角形2.1最小角为π8,其余两角大于π 4的锐角三角形8的钝角三角形2.钝角为3π2.2最大角为7π直角三角形4的钝角三角形2.3第二大角为3π 8的钝角三角形3.1第二大角为3π 8的锐角三角形3.第二大角为π 3.2最大角为5π 8,第二大角大于π 4的钝角三角形4的钝角三角形3.3第二大角为π8的钝角三角形

4.问题解答

观察上表可得出如下结论:

(1)链长越长,三角形种类越多,并且链长为k时,三角形的解的种类为3k种;

(2)链长不同的三角形的解规律性不强;

(3)三角形的解中的角度分母为4,8(弧度制表示下).

以下考虑问题1:怎样的三角形存在垂足三角形无穷序列?

解 三角形的角在弧度制表示下,分母非2n的形式(如此类三角形存在垂足三角形无穷序列,理由如下:

设△ABC的垂足三角形为△DEF,两个三角形角度间关系为(∗)或(∗∗)两种形式,不论哪种角度关系,只要三角形的角在弧度制表示下,分母非2n的形式,经过(∗)或(∗∗)并不能消去分母中非2的因数,即不会得到的角,也即不会得到直角三角形从而终止序列.由此,可得以下定理:

定理1△ABC存在垂足三角形无穷序列的充分条件是该三角形的内角表示为γ·π时,γ/=其中为既约分数.

推论1 当三角形的内角表示为γ·π时,若γ为无理数时,则该三角形存在垂足三角形无穷序列.

定义1 旁心变换是指:若△A0B0C0的旁心三角形为△A1B1C1,令f(△A0B0C0)= △A1B1C1,其中f称为从△ABC到旁心三角形△A1B1C1的变换,简称为旁心变换.若△A1B1C1的旁心三角形为△A2B2C2,此时有f(△A1B1C1)=△A2B2C2,f2(△ABC)=△A2B2C2.

由 定 义 1 可 知:f−1(△A1B1C1)= △A0B0C0,f−2(△A2B2C2)= △A0B0C0.其中 f−1称为旁心逆变换.

由于任意三角形有旁心三角形,所以旁心变换是可以无穷尽做下去的,但旁心逆变换是求垂足三角形的过程,而直角三角形没有垂足三角形,因此定义旁心变换双向无穷序列.

定义旁心变换链长双向无穷若 ...,△A−2B−2C−2,△A−1B−1C−1,△A0B0C0,△A1B1C1,△A2B2C2,...满足△Ai+1Bi+1Ci+1是△AiBiCi(i∈Z)的旁心三角形,则称此为△A0B0C0旁心变换双向无穷序列.

定理2△ABC存在旁心变换双向无穷序列的充分条件是该三角形的内角表示为γ·π时,γ/=其中为既约分数.

推论2 当三角形的内角表示为γ·π时,当γ为无理数,该三角形存在旁心变换双向无穷序列.

[1]凌明灿,吴康.怎样的锐角三角形与其垂足三角形相似[J].数学通报,2014(4):60.

[2]吴康,黄邦德.钝角三角形的垂足三角形[J].中学数学研究,2006(11):33-35.