游 浩， 申永军， 杨绍普

(石家庄铁道大学 机械工程学院， 石家庄 050043)

基于粒子群算法的被动分数阶汽车悬架参数优化设计

游 浩， 申永军， 杨绍普

(石家庄铁道大学 机械工程学院， 石家庄 050043)

利用粒子群算法研究了被动分数阶汽车悬架参数的优化设计。分数阶汽车悬架系统是指运动微分方程中含有分数阶微分项的汽车悬架系统。建立了被动分数阶悬架系统的仿真模型，利用Oustaloup滤波器算法实现了该模型中分数阶微积分的近似计算。利用粒子群算法寻找一组最优的悬架参数来协调汽车操纵稳定性和乘坐舒适性的关系以到达最优的悬架性能。对比原悬架系统和优化后悬架系统在A、B、C、D共四级路面输入下的响应及其频率特性。研究结果表明,利用该方法对被动分数阶悬架参数进行优化设计，在保证汽车操纵稳定性的前提下乘坐舒适性得到明显改善。

汽车悬架；分数阶微积分；粒子群算法；Oustaloup滤波器

悬架对汽车操纵稳定性和乘坐舒适性起着决定性作用，至20世纪30年代Olley提出了被动悬架系统以来，随着汽车技术的不断进步，汽车悬架经历了从被动悬架、半主动悬架到主动悬架的变迁[1-4]。其中被动悬架不仅结构简单、性能可靠，而且成本低，因此运用最为广泛。弹簧-阻尼系统是被动悬架的主要组成部分，如何调整它的参数来协调汽车操纵稳定性和乘坐舒适性的关系以达到最优效果，是被动悬架参数优化设计的关键问题。申永军等[5]利用最优控制理论和最小二乘法的结合研究了汽车被动悬架参数的优化设计。谢能刚等[6]基于Nash均衡模型的多目标求解方法对汽车被动悬架参数进行了优化设计。

1936年，Gemant[7]率先提出用分数阶微分来描述黏弹性材料的力和变形的关系。1991年，Makris提出了用分数阶Maxwell等[8]模型来描述黏性阻尼器的力学模型，研究结果表明其比整数阶模型更加准确的描述了黏性阻尼器的力学特性。1995年，Oustaloup等[9]提出了CRONE悬架系统，该悬架系统中悬架变形和力的关系可用分数阶微分来描述。2015年，刘晓梅等[10]建立了磁流变阻尼器的分数阶Bingham模型，研究结果表明其比整数阶Bingham模型更加准确的描述了磁流变阻尼器的力学特性。这都说明在传统被动悬架系统的动力学模型中加入分数阶微分项是合理的。此外，黏性阻尼器和磁流变阻尼器是汽车悬架系统中常见的隔振器件，当汽车悬架系统中含有此类隔振器件时，利用分数阶微分能够更加准确的描述悬架系统的动力学特性。本文将运动微分方程中含有分数阶微分项的悬架系统称为分数阶悬架系统，并且研究了利用粒子群算法对被动分数阶汽车悬架参数进行优化设计的过程。

1 分数阶汽车悬架系统的动力学建模

含分数阶悬架系统的二自由度1/4汽车模型如图1所示。根据牛顿第二定律得到其运动微分方程

(1)

图1 二自由度1/4汽车模型Fig.1 The 2-DOF model of quarter-vehicle body

采用滤波白噪声生成随机路面输入，其时域数学模型为[11]

(2)

式中:q(t)为路面随机位移；η1为下截止空间频率，通常取0.011 m；v为车速；η0为参考空间频率，η0=0.1 m；Gq(η0)为参考空间频率下的功率谱密度即路面不平度系数，与路面等级有关；w(t)为均值为0、方差为1的Gauss白噪声。

2 分数阶汽车悬架的优化策略

2.1 分数阶微分的处理

17世纪末期，Hospital等率先提出了分数阶微积分的概念。经过300多年的发展，分数阶微积分理论逐步走向成熟。分数阶微积分有多种不同的定义方式，本文使用Caputo定义[12]

(3)

式中,Γ(y)为Gamma函数，满足

(4)

在0初始条件下，分数阶微分的Laplace变换满足

Γ{Dpf(t)}=spF(s)

(5)

目前常用的分数阶微积分算法大致分为三种[13-15]：近似解析法、数值解法、滤波器算法。本文利用Oustaloup滤波器算法来实现分数阶微积分的近似计算，它的基本思想是在选定的频率段(ωb,ωh)内做分数阶算子sp的近似替换。根据该思想构造Oustaloup滤波器为

(6)

式中,M为滤波器的阶次，滤波器的零点和极点分别为

(7)

(8)

图2 频率响应曲线Fig.2 Frequency response curve

2.2 分数阶汽车悬架参数优化

Kennedy等[16]在鸟群模型[17]的启发下，提出了粒子群算法。在该算法中，每个粒子都由一组位置和速度向量来表示。其中位置向量表示所求问题的可行解，速度向量表示粒子在搜索空间中的运动方向。粒子当前位置的优劣，由与其所对应的目标函数来进行评判。粒子在搜索空间中通过不断的更新当前的位置和速度来寻找自己的最优位置即个体最优位置，从而找到粒子群的最优位置。利用粒子群算法的寻优能力可以找到一组最优的悬架参数，来协调汽车操纵稳定性和乘坐舒适性的关系以到达最优的悬架性能。分数阶悬架参数的优化设计，即调整悬架的刚度和阻尼系数。因此，可将式(1)改写成

(9)

式中,Δk和Δc为刚度和阻尼系数的调整值。根据式(6)和式(9)在Matlab/Simulink中建立被动分数阶汽车悬架的仿真模型如图3所示，图中当k3=k1，c2=c1时，表示的是原被动悬架系统；当k3=Δk+k1，c2=Δc+c1时，表示的是参数调整后的被动悬架系统。

图3 被动分数阶汽车悬架的仿真模型Fig.3 The simulation model of passive fractional-order vehicle suspension

悬架的性能可用车身垂直加速度、悬架变形以及轮胎动载荷等三个性能指标进行定量评价，通常情况下这三个性能指标相互矛盾。其中车身垂直加速度影响汽车的乘坐舒适性，悬架变形影响车身姿态，轮胎动载荷影响汽车的操纵稳定性。分数阶汽车悬架参数优化的目标是在保证汽车操纵稳定性的前提下提高乘坐舒适性，同时保证悬架变形在允许的范围内以及车身静载变化时不会出现过大的悬架变形。因此，目标函数可选为

(10)

满足约束条件

(11)

乘坐舒适性系数

(12)

本文的主要目标是寻找一组最优的调节参数(Δk,Δc)来协调汽车操纵稳定性和乘坐舒适性的关系以达到最优效果，即目标函数取最小值。因此，粒子群的搜索空间为2维。设粒子群中包含T个粒子，粒子i的当前位置为Xi=(xi1,xi2)，粒子i在搜索空间中的飞行速度为Vi=(vi1,vi2)，粒子i的最优位置为pbesti=(pbesti1,pbesti2)，粒子群的最优位置为gbest=(gbest1,gbest2)，粒子当前的迭代次数为n。为了防止粒子因速度过大而超出设定的搜索范围，设置粒子的速度满足-vmax≤vij≤vmax，如果超出范围则取边界值。

粒子i的最优位置更新公式

(13)

粒子群的当前最优位置由式(14)确定

L[bgest(n)]=min{L[pbest1(n)],…,L[pbestT(n)]}

(14)

粒子在搜索空间中的速度更新公式

H(n)=gvij(n)+d1r1[pbestij(n)-xij(n)]+

d2r2[gbestj(n)-xij(n)]

(15a)

(15b)

位置更新公式

xij(n+1)=xij(n)+vij(n+1)

(15c)

式中：j=1, 2；g为惯性权重；d1和d2是加速常数；r1和r2是[0,1]内的随机数。

粒子群中每个粒子的位置Xi(i=1, 2,…,T) 都对应着一组调节参数(Δk,Δc)，通过不断的迭代来寻找粒子群的最优位置gbest=(gbest1,gbest2)使目标函数取最小值。设置最大迭代次数N为计算的终止条件。若输出结果满足式(11)所表示的约束条件时，则结果即为所求；若输出结果不满足式(11)所表示的约束条件时，则需要重新调整加权系数ρ1、ρ2、ρ3和ρ4。利用粒子群算法对被动分数阶汽车悬架参数进行优化的流程如图4所示。

图4 被动分数阶汽车悬架参数优化流程Fig.4 The optimization process of passive fractional-order vehicle suspension parameters

3 分数阶悬架参数的优化实例

取一组悬架参数：m1=240 kg，m2=36 kg，k1=1.5×104N/m，k2=1.5×105N/m，c1=1 500 N·s/m，k=

1 000，p=0.5。b1的选择与悬架的动行程范围有关，b2的选择与轮胎强度及其抓地能力有关，本文取b1=1.2，b2=1.1；粒子群算法的参数设置为，T=36，d1=3.5，d2=3.5，g=1，-150≤vi1≤150，-15≤vi2≤15，N=500；Δk的搜索范围为[-k1,k1]，Δc的搜索范围为[-c1,c1]；设定汽车车速为v=20 m/s，路面采用国家标准D级路面，即Gq(η0)=1 024×10-6m3，路面仿真结果如图5所示。D级路面相当于碎石路面，是普通小轿车能行驶的最差路况，本文所选车型的悬架动行程为±0.08 m。通过大量的试算，取ρ1=3.5、ρ2=1.3、ρ3=1和ρ4=0.2。经过计算可知，最优调节参数(Δk,Δc)=(-6 473,-587)，乘坐舒适性系数b3=0.80，目标函数值的变化如图6所示。D级路面下，原悬架系统和优化后悬架系统的车身垂直加速度、悬架变形、轮胎动载荷的仿真结果如图7、图8和图9所示。为了进一步比较优化前后悬架系统的性能，在同一优化参数下研究了A、B、C、D共四级路面输入下的系统响应，其响应统计特性如表1所示。为了比较优化前后悬架系统的频率特性，将振幅为0.006 m的正弦波作为悬架系统的输入，以稳定后的车身垂直加速度、悬架变形以及轮胎动载荷的方均根值为评价指标，得到优化前后悬架系统的频率响应如图10～图12所示。

图5 D级路面仿真结果Fig．5ThesimulationresultofD⁃classroad图6 目标函数值变化情况Fig．6Thechangeofobjectivefunctionvalue图7 优化前后车身垂直加速度Fig．7Comparisonofvehiclebodyverticalaccelerationsbetweenoriginalandoptimalparameters

图8 优化前后悬架变形Fig．8Comparisonofsuspensiondeformationbetweenoriginalandoptimalparameters图9 优化前后轮胎动载荷Fig．9Comparisonoftiredynamicloadbetweenoriginalandoptimalparameters图10 优化前后车身垂直加速度方均根值Fig．10RMSofvehiclebodyverticalaccelerationswithoriginalandoptimalparameters

图11 优化前后悬架变形方均根值Fig．11RMSofsuspensiondeformationwithoriginalandoptimalparameters图12 优化前后轮胎动载荷方均根值Fig．12RMSoftiredynamicloadwithoriginalandoptimalparameters

表1 悬架系统性能指标方均根值对比

由图6～图12以及表1可以看出：

(1)迭代次数大约在220次时，目标函数已达到最小值并且满足约束条件，所以输出的最优调节参数(Δk,Δc)是有效的。

(2)与原被动分数阶汽车悬架相比，优化后被动分数阶汽车悬架的车身垂直加速度明显降低，并且在人体较敏感的4～8 Hz频率内降低的尤为明显，汽车的乘坐舒适性得到明显改善。

(3)在一小段频率范围内优化后悬架变形减小；在大部分频率范围内优化后悬架变形增大，但是仍处于悬架动行程范围内。

(4)大约以8 Hz为界，小于8 Hz时，优化后轮胎动载荷减小；大于8 Hz时，优化后轮胎动载荷增大，但是这种恶化不足以影响轮胎的强度及其与路面的附着能力，基本不影响汽车的操纵稳定性。

研究结果表明，对于不同等级的路面A、B、C、D，利用本文方法对被动分数阶汽车悬架参数进行优化设计，在保证汽车操纵稳定性的前提下乘坐舒适性得到明显改善。

4 结 论

本文以2自由度1/4车模型为基础，基于粒子群算法研究了被动分数阶汽车悬架参数的优化设计。研究结果表明：当滤波器阶次M=9时，利用Oustaloup滤波器算法对模型中分数阶微积分进行近似计算，在选定的频率段 (0.001 rad/s,1 000 rad/s) 内，该算法具有较高的计算精度；优化后汽车悬架的车身垂直加速度方均根值降低了20%，乘坐舒适性得到明显改善；优化后悬架变形和轮胎动载荷有所恶化，但不影响汽车的操纵稳定性。本文为被动分数阶汽车悬架参数的优化设计提供了一种简单、易行的方法。

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Parameters design for passive fractional-order vehicle suspension based on particle swarm optimization

YOU Hao, SHEN Yongjun, YANG Shaopu

(School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043, China)

In this paper, the optimal design of passive fractional-order vehicle suspension parameters was studied based on the particle swarm optimization. A vehicle suspension system whose motion differential equation contains fractional-order derivatives was called as a fractional-order vehicle suspension system. The simulation model of passive fractional-order vehicle suspension system was built, and the approximate solution of fractional-order derivatives in this system was obtained by using the Oustaloup filter algorithm. Then, in order to achieve optimal performance of the passive fractional-order vehicle suspension, the relationship between the riding comfort and driving stability was coordinated by using particle swarm optimization to find a set of optimal suspension parameters. Finally, the responses of original and optimized passive fractional-order suspension systems were compared when the vehicle was running on different road levels from A to D respectively, and their frequency characteristics were also compared. The study results indicate that the ride comfort is improved greatly on the premise of guaranteeing driving stability, when the passive fractional-order vehicle suspension parameters are optimized by using this method.

vehicle suspension; fractional-order derivatives; particle swarm optimization; Oustaloup filter algorithm

国家自然科学基金(11372198)；河北省高等学校创新团队领军人才计划(LJRC018)；河北省高等学校高层次人才科学研究项目(GCC2014053)；河北省高层次人才资助项目(A201401001)

2016-04-12 修改稿收到日期： 2016-06-14

游浩 男，硕士生，1990年生

申永军 男，博士，教授，1973年生

U463.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.035