张香成， 周甲佳， 徐志朋，李 倩， 赵 军, 2, 关 罡， 于秋波

(1. 郑州大学 力学与工程科学学院，郑州 450001；2. 郑州大学 土木工程学院，郑州 450001；3.郑州大学 综合设计研究院有限公司,郑州 450001)

磁流变阻尼器受控框架结构的空间杆系计算模型

张香成1， 周甲佳1， 徐志朋1，李 倩1， 赵 军1, 2, 关 罡3， 于秋波3

(1. 郑州大学 力学与工程科学学院，郑州 450001；2. 郑州大学 土木工程学院，郑州 450001；3.郑州大学 综合设计研究院有限公司,郑州 450001)

为了分析加入磁流变阻尼器(MRD)框架结构的多维减震性能和扭转振动特性，基于杆系模型建立了MRD受控框架结构的空间杆系计算模型。以十层钢筋混凝土(RC)框架结构为例，采用Matlab软件开发了无控和MRD受控RC框架结构的空间杆系计算模型程序，在地震荷载作用下分别进行了动力时程分析，对未控和有控下框架典型节点X、Y、Z向的位移、加速度时程响应和结构的空间扭转振动响应进行了对比。结果表明，MRD可有效减小RC框架结构的多维位移和加速度时程响应，若阻尼器位置设置不当，将会增大结构的扭转振动响应。结果验证了MRD受控框架结构的空间杆系计算模型及其Matlab程序的正确性和有效性。

磁流变阻尼器；杆系模型；空间结构；多维减震；动力分析；扭转振动

磁流变阻尼器(Magnetorheological Damper,MRD)具有结构简单、功耗小、响应迅速、连续顺逆可调和阻尼力大等特点，因此在土木结构减震控制中具有广阔的应用前景[1-2]。

对于设置MRD的框架结构而言，建立其计算模型并进行仿真分析是检验减震控制效果的一种经济有效手段。然而，由于现有的通用有限元软件很难模拟MRD及其力学模型，因此国内外学者多采用Matlab中的Simulink工具箱或采用自编程的方法对设置MRD的结构进行建模和仿真分析。目前，MRD受控框架结构的计算模型主要有：弹性层模型[3-6]、弹性杆系模型[7]、弹塑性层模型[8]和弹塑性杆系模型[9-12]。弹性层模型和弹性杆系模型易于编程，计算速度快，小震作用下计算结果稳定可靠；弹塑性层模型考虑了强震下MRD受控结构因发生损伤而引起的刚度退化现象，计算结果更加精确；弹塑性杆系模型则能计算MRD对结构中各杆件的开裂、屈服位置以及结构损伤发展过程的影响。然而上述模型均将MRD受控结构简化为平面模型，因此不能描述MRD受控结构的多维减震性能及其扭转振动特性，也不能反映结构的多维受力状态。

为了分析设置MRD的框架结构的多维减震性能和扭转振动特性，本文基于杆系模型建立了MRD受控框架结构的空间杆系计算模型。以十层钢筋混凝土(Reinforced Concrete, RC)框架结构为例，采用Matlab软件开发了无控和MRD受控RC框架结构的空间杆系计算模型程序，在地震作用下分别进行了动力时程分析，对未控和有控下框架典型节点X、Y、Z向的位移、加速度时程响应和结构的空间扭转振动响应进行了对比分析。

1 框架结构的空间杆系模型

1.1 考虑剪切效应的空间杆单元矩阵

由空间杆模型分析知，杆单元两端各有六个位移分量，沿坐标轴方向的线位移u、v、w和绕坐标轴方向的角位移θx、θy、θz，见图1。

图1 空间杆单元的节点位移Fig.1 Node displacements of spatial beam element model

基于杆单元平截面和等截面直杆假定，在外力作用下，杆件的挠度由两部分组成：由弯曲产生的弯曲挠度和由剪切产生的剪切挠度。考虑剪切效应的空间杆单元的刚度矩阵[k]e和质量矩阵[m]e见文献[13]。

1.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵和单元质量矩阵

空间杆单元的[k]e和[m]e均为局部坐标系下的单元矩阵，在总矩阵组装前需将二者转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵[K]e和单元质量矩阵[M]e。

[K]e=[T]T[k]e[T]，[M]e=[T]T[M]e[T]

(1)

式中：[T]为单元的坐标转换矩阵。

(2)

基于整体坐标系X、Y、Z和局部坐标系x、y、z的方向余弦关系可以推倒得到[t]。

(3)

1.3 框架结构的阻尼矩阵

本文采用Rayleigh正交阻尼模型，该模型将阻尼矩阵表达为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即

[C]=α[M]+β[K]

(4)

2 减震结构运动方程和智能控制装置

2.1 减震结构运动微分方程

在地震作用下，MRD受控结构的运动微分方程为

(5)

2.2 半主动控制装置和控制算法

结构中拟设置的MRD为Xu等[14]研制的大吨位MRD，在频率为0.1 Hz的正弦波激励下，该阻尼器0 A电流对应的最小阻尼力Fmin=10 kN，2.4 A电流对应的最大阻尼力Fmax=200 kN，如图2所示。

图2 频率0.1 Hz、不同电流下MRD的试验曲线Fig.2 Test curves of MRD at different electricity(0.1 Hz)

本文采用线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)控制算法计算MRD受控结构所需的最优控制力U。由于MRD阻尼力范围有限，因此，采用如下半主动控制策略对最优控制力U进行调整

(6)

2.3 MRD的位置矩阵

位置矩阵[H]的作用是将式(6)得到的阻尼力列向量正确分配到结构中。本文采用图3所示的方式布置阻尼器，当总阻尼力方向向左时，分配到框架相应节点的阻尼力分别为

(7)

若结构上设置m个阻尼器，位置矩阵[H]则是一个n×m的矩阵，n表示结构总自由度的个数。当图3所示的第k个MRD布置在整体坐标YOZ平面内时，则位置矩阵中对应于节点i和j的元素H(6i+2,k)=H(6j+2,k)=1/2；对应于节点p和q的元素H(6p+2,k)=H(6q+2,k)=-1/2；无阻尼力作用的其它节点元素则为0。

图3 阻尼力分配示意图Fig.3 Schematic of damping force distribution

3 程序设计

基于上述条件和方法，可采用Matlab分别编制未控和MRD受控框架结构的空间杆系模型的动力时程分析程序，程序流程如图4所示。

图4 程序流程图Fig.4 Program flow chart

4 算例分析

4.1 RC框架结构和MRD的位置

以图5所示的十层MRD受控RC框架结构为例，X向跨度分别为8.4 m、5.4 m、7.2 m，Y向跨度为7.2 m，一层层高为5 m，二～十层层高均为3.2 m。X向梁从左到右的截面尺寸分别为0.25 m×0.65 m、0.25 m×0.5 m、0.25 m×0.6 m，Y方向梁的截面尺寸为0.25 m×0.6 m，一～六层柱的截面尺寸为0.6 m×0.6 m，七～十层柱的截面尺寸为0.5 m×0.5 m。混凝土强度等级为C35，弹性模量为3.15×104N/mm2，泊松比为0.2，钢筋混凝土密度为2 700 kg/m3，受力钢筋采用HRB335级，RC框架结构的前两阶振型阻尼比假定为5%。由于算例为十层RC框架结构，变形主要集中在底部楼层[15]，因此将MRD布置在结构底部的一～六层，另外，为了验证空间杆系模型，使扭转变形更加明显，MRD不再对称布置，具体位置见图5。图中数字为节点编号值。

图5 MRD受控RC框架结构的三维计算简图Fig.5 Three dimensional calculation diagram of the RC frame structure equipped with MRD

根据图4中的程序流程，作者采用Matlab软件编制了未控和MRD受控RC框架结构的空间杆系计算模型程序，地震波选用El-Centro波(南北分量)和Kobe波(南北分量)，地震持时均为30 s，地震波步长0.02 s，地震加速度时程曲线的最大值均调整为400 gal。采用Wilson-θ法求解结构的运动微分方程，并取θ=1.4。经过程序试算，确定LQR控制算法中的权矩阵系数α=100、β=3×10-6。根据李云贵等[16-17]的研究结果，当房屋高度大于80 m时，宜考虑重力二阶效应，本文算例结构高度为33.8 m，因此忽略重力二阶效应的影响，并将底层柱下端视为固结。

4.2 计算结果分析

采用自编Matlab程序分别对未控RC框架结构和设置MRD的RC框架结构进行了时程分析，并对时程分析结果进行了绘图。

在El-Centro波、Kobe波作用下，未控和MRD受控RC框架结构88号节点X、Y、Z三个方向的位移时程结果对比见图6。由图6可以看出，无论是在El-Centro波还是在Kobe波作用时间内，结构加入MRD以后88号节点X、Y、Z三个方向的位移响应结果均明显小于未控结构该节点相应方向的位移响应，其中Y向的位移控制效果最为明显，这是因为Y向是结构的主控方向，设置的MRD较多。在图6(a)中El-Centro波作用下，未控结构88号节点X、Y、Z向最大位移分别为149.1 mm、113.5 mm、2.9 mm，而在结构中加入MRD以后，有控结构88号节点X、Y、Z向最大位移分别为81.9 mm、47.8 mm、1.6 mm，与未控结构相比，有控结构88号节点X、Y、Z向最大水平位移分别减小了45.07%、57.89%、44.68%。在图6(b)中Kobe波作用下，未控结构88号节点X、Y、Z向最大位移分别为190.6 mm、228.0 mm、4.2 mm，而在结构中加入MRD以后，有控结构88号节点X、Y、Z向最大位移分别为154.0 mm、68.9 mm、2.8 mm，与未控结构相比，有控结构88号节点X、Y、Z向最大水平位移分别减小了19.20%、69.78%、33.33%。

图6 未控和有控RC框架结构88号节点三向位移响应对比Fig.6 Contrast of X, Y and Z displacement response for node 88 of the RC frame structure with and without the control

在El-Centro波、Kobe波作用下，未控和MRD受控RC框架结构88号节点X、Y、Z三个方向的加速度时程结果对比见图7。由图7可以看出，在整个地震持时内，结构加入MRD以后88号节点X、Y、Z三个方向的加速度响应结果略小于未控结构该节点相应方向的加速度响应，加速度减弱效果不明显。在图7(a)中El-Centro波作用下，未控结构88号节点X、Y、Z向最大加速度分别为7.32 m/s2、6.30 m/s2、0.88 m/s2，而在结构中加入MRD以后，有控结构88号节点X、Y、Z向最大加速度分别为7.27 m/s2、4.70 m/s2、0.81 m/s2，与未控结构相比，有控结构88号节点X、Y、Z向最大水平位移分别减小了0.68%、25.40%、7.95%。在图7(b)中Kobe波作用下，未控结构88号节点X、Y、Z向最大加速度分别为9.12 m/s2、7.22 m/s2、0.32 m/s2，而在结构中加入MRD以后，有控结构88号节点X、Y、Z向最大加速度分别为8.74 m/s2、4.31 m/s2、0.31 m/s2，与未控结构相比，有控结构88号节点X、Y、Z向最大水平位移分别减小了4.17%、40.30%、3.13%。

图7 未控和有控RC框架结构88号节点三向加速度响应对比Fig.7 Contrast of X, Y and Z acceleration response for node 88 of the RC frame structure with and without the control

在El-Centro波、Kobe波作用下，未控和MRD受控RC框架结构8号、88号及中间所有节点的水平位移和加速度包络图见图8。从图8(a)中可以看出，在El-Centro波作用下，与未控RC框架结构相比，MRD受控结构各层的最大水平位移响应明显减小，以第六层56号节点为例，未控结构X、Y向的最大水平位移分别为111.76 mm、83.35 mm，有控结构X、Y向的最大水平位移分别为58.36 mm、33.21 mm，有控结构第56号节点X、Y的最大水平位移分别减小了47.78%和60.16%；与未控RC框架结构相比，设置MRD的结构的第一～六层最大水平加速度均明显增大，仅结构的第七～十层Y向的最大水平加速度有所减小。从图8(b)中可以看出，在Kobe波作用下，与未控RC框架结构相比，MRD受控框架结构各层的最大水平位移响应明显减小，仍以第六层56号节点为例，未控结构X、Y向的最大水平位移分别为139.96 mm、162.28 mm，有控结构X、Y向的最大水平位移分别为109.58 mm、50.40 mm，有控结构第56号节点X、Y的最大水平位移分别减小了21.71%和68.94%；与未控结构相比，加入MRD的RC框架结构各层X、Y向的最大水平加速度均有所减小，其中各层Y向的最大水平加速度均减小比较明显。

图8 未控和有控RC框架结构各层水平位移、加速度包络图Fig.8 The envelope diagram of horizontal displacement and acceleration response for each floor of the RC frame structure with and without the control

由式(5)可知，在结构中设置MRD后，会增加一个控制力矩阵，这相当于增大了结构的刚度和阻尼，无论是增大结构的刚度还是增大结构的阻尼，二者都能减小地震作用下结构的位移响应，因此加入MRD后，结构的位移控制效果非常明显，见图6和图8；然而，增加结构的阻尼虽然可以减小地震作用下结构的加速度响应，但增加结构的刚度却会增大地震作用下结构的加速度响应，因此，加入MRD后，结构的加速度减小效果并不明显(如图7)，甚至会出现图8(a)中局部加速度放大现象。

图9和图10分别为未控、有控结构顶层节点水平向位移响应对比图。从图9可以看出，无论是在El-Centro波还是在Kobe波作用时间内，未控结构88号和84号节点X向水平位移响应完全一致，结构85号节点Y向的位移响应稍大于88号节点Y向的位移响应，说明未控结构在X0Y平面内的扭转振动并不明显。

图9 未控RC框架结构顶层节点水平向位移响应对比Fig.9 Contrast of horizontal displacement of the top-level node for the uncontrolled RC frame structure

图10 有控RC框架结构顶层节点水平向位移响应对比Fig.10 Contrast of horizontal displacement of the top-level node for the controlled RC frame structure

从图10可以看出，无论是在El-Centro波还是在Kobe波作用时间内，有控结构84号节点X向的水平位移明显小于88号节点X向最大水平位移，结构85号节点Y向的水平位移明显小于88号节点Y向最大水平位移，这说明有控结构在XOY平面内的扭转振动相对于未控结构有所增加。从图5可以看出，未控结构的质量中心和刚度中心基本重合，因此在水平地震作用下的扭转振动并不明显；由于MRD在结构中的安装位置并不对称，加入MRD后引起结构的质量中心和刚度中心不再重合或不在一条直线上，虽然能有效减小结构各层的位移响应，但却直接导致受控结构的扭转振动大大增加。这一结论也说明了本文建立的受控结构的空间杆系模型及其Matlab程序是正确的、可信的。限于篇幅，本文未对阻尼器的安装位置进行优化。

5 结 论

(1)作者建立了MRD受控结构的空间杆系计算模型，并采用Matlab编制了未控和MRD受控框架结构的动力时程分析程序。该模型和程序能有效模拟MRD受控框架结构的多维位移和加速度减震效果，同时也能反映受控结构的扭转振动情况。

(2)算例分析表明，加入MRD后，RC框架结构各层的三向位移均得到了明显减小。其中，在El-Centro波作用下，顶层88号节点X、Y、Z向最大水平位移分别减小了45.07%、57.89%、44.68%；在Kobe波作用下，MRD受控结构88号节点X、Y、Z向最大水平位移分别减小了19.20%、69.78%、33.33%。

(3)在El-Centro波作用下，加入MRD的RC框架结构的第一～六层最大水平加速度明显增大，第七～九层X向的最大水平加速度也有所增大，仅结构第七～十层Y向的最大水平加速度有所减小；在Kobe波作用下，加入MRD的RC框架结构各层X、Y向的最大水平加速度均有所减小，其中各层Y向的最大水平加速度均减小比较明显。

(4)阻尼器应尽可能的对称设置在框架结构中，否则将导致结构的质量中心和刚度中心不再重合或不在一条直线上，最终增大结构的扭转振动响应。

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A spatial beam element calculation model of the frame structure with magnetorheological damper

ZHANG Xiangcheng1, ZHOU Jiajia1, XU Zhipeng1, LI Qian1, ZHAO Jun1,2, GUAN Gang3, YU Qiubo3

(1. School of Mechanics and Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China;2. School of Civil Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China；3. Comprehensive Design and Research Institute Co., Ltd., Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

In order to analyze the multi-dimensional earthquake mitigation performance and the torsional vibration characteristics of a frame structure with Magnetorheological Damper (MRD), the spatial beam element calculation model of MRD controlled frame structure was established based on the beam elements model. Taking a ten-story Reinforced Concrete (RC) frame structure as an example, the spatial beam element calculation model programs of the RC frame structure with and without MRD were developed by Matlab software. The dynamic time history analysis was carried out under the earthquake load. The displacement, acceleration response of typical nodes inX,Y,Zdirection and the spatial torsional vibration response of structure was compared under an uncontrolled and controlled frame. The results show that: MRD can effectively reduce the displacement and acceleration time history response of the RC frame structure. If the damper position is not set properly, the torsional vibration response of the structure will be increased. The results verify the validity of the spatial beam element calculation models and the Matlab program of the MRD controlled frame structure.

magnetorheological damper; beam element model; spatial structure; multi-dimensional earthquake mitigation; dynamic analysis; torsional vibration

国家自然科学基金(51408555)；河南省高校科技创新团队(15IRTSTHN026)；河南省高等学校重点科研项目(16A560011)；郑州市科技攻关项目(153PKIGG096)

2016-02-17 修改稿收到日期： 2016-06-27

张香成 男，博士，讲师，1983年4月生

赵军 男，博士，教授，1971年11月生

TU352.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.027