张 骞, 周 蕾, 袁永新

(湖北师范学院数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

求解矩阵方程的一种迭代法

张 骞, 周 蕾, 袁永新

(湖北师范学院数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

考虑一类矩阵方程AXB+CYD+E的解, 其中X是未知的对称矩阵,Y是未知的反对称矩阵. 当矩阵方程是相容时, 建立了共轭梯度法去求解矩阵方程, 并且证明通过有限次的迭代可以得到矩阵方程的解. 同时通过选择一些特殊的初始矩阵, 可以得到它的最小范数解.

矩阵方程; 共轭梯度法; 对称解; 反对称解

0 引言

设矩阵A,C∈Rm×n,B,D∈Rn×p,E∈Rm×p是已知的, 找到矩阵X∈SRn×n,Y∈SSRn×n满足下面矩阵方程

(1)

1 主要结果

下面我们将给出求解方程(1)的一种迭代算法.

算法Ⅰ.

1) 输入矩阵A,B,C,D,E和任意的初始矩阵X1∈SRn×n,Y1∈SSRn×n.

2)R1=E-AX1B-CY1DPX,1=ATR1BT,PY,1=CTR1DT

3) 如果Rk=0或者Rk≠0,QX,k=0,QY,k=0停止; 否则进行(4).

显然, 对所有的Xk,QX,k∈SRn×n,Yk,QY,k∈SSRn×n.

引理1 由算法Ⅰ产生的{Ri}, 有

(2)

tr[(E-A(Xi+aiQX,i)B-C(Yi+aiQY,i)D)TRj]=

引理2 由算法Ⅰ产生的{Ri},{QX,i},{QY,i}有

(3)

证明 我们用数学归纳法证明引理2.

对i=j=1,由式(2)可得

假设对i=s-1时, 关系式(3)成立, 下面证明i=s时结论也成立.

所以, 对任意i=s, 关系式(3)都是成立的.

-as[tr(QX,sPX,j)-tr(QY,sPY,j)]=

所以

由数学归纳法可知, 引理2得到了证明.

引理3 设(X*,Y*)是方程(1)的任意一个解, {Xk},{Yk}是由算法Ⅰ得到的, 则

(4)

证明 我们用数学归纳法来证明这个引理.

当k=1时,

所以

当k=s时, 式(4)成立, 下面我们证明k=s+1也成立.

因为

同理可得

所以

可得

由数学归纳法可知, 引理3得到了证明.

定理1 假设方程(1)是相容的, 那么对于任意的初始矩阵X1∈SRn×n,Y1∈SSRn×n. 在误差范围内,方程(1)的解可以通过算法Ⅰ进行有限次迭代得到.

引理4[13]设x是方程Ax=b的一个解, 如果x∈R(AT), 则x是方程Ax=b唯一的最小范数解.

由引理4和方程(1), 可得

假设S,H是任意的矩阵, 我们可得

我们选择X1=ATHBT+BHTA,Y1=CTSDT-DSTC,则由算法Ⅰ产生的{Xi},{Yi}满足

由引理4和上面的讨论, 我们可以得到下面的结果.

定理2 假设方程(1)是相容的, 如果我们选择初始矩阵

X1=ATHBT+BHTA,Y1=CTSDT-DSTC

其中S,H是任意的矩阵, 特别S=H=0, 则由算法Ⅰ, 通过有限步迭代可以得到方程(1)唯一的最小范数解.

2 数值例子

例. 设

1) 求矩阵方程AXB+CYD=E最小范数解, 其中X1∈SR4×4,Y1∈SSR4×4.

令初始矩阵X=Y=0,由于计算过程中会产生误差, 我们令误差‖Rk‖≤10-10.时, 迭代停止. 由算法Ⅰ, 迭代51次后可得到

此时误差‖R51‖=3.4864e-011. 所以在误差范围内, 通过算法Ⅰ得到了问题(1)的解.

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An iterative method for solution of the matrix equationAXB+CYD=E

ZHANG Qian, ZHOU Lei, YUAN Yong-xin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

We consider the solution ofAXB+CYD=E, whereXis a unknown symmetric matrix,Yis a unknown skew-symmetric matrix. When the matrix equation is consistent, we propose a conjugate gradient method to solve the equation and prove that a solution (X*,Y*) can be obtained within finite iterative steps. Furthermore, we show that the minimum-norm solution of the equation can be obtained by choosing a special kind of initial matrices.

Matrix equation; conjugate gradient method; symmetric solution; skew-symmetric solution

2016—10—11

张骞(1989— )，男，河南省项城市人，硕士研究生，主要研究方向为代数学.

O246

A

2096-3149(2017)01- 0061-06

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.01.013