高智娟，肖建斌，张彦林

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

QK(p,q)空间到Zygmund空间的Riemann-Stieltjes算子

高智娟，肖建斌，张彦林

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

通过选取QK(p,q)空间中的测试函数，利用算子理论和解析函数的性质，讨论了从QK(p,q)空间到Zygmund空间的Riemann-Stieltjes算子，并给出了该算子是有界算子和紧算子的充要条件.

QK(p,q)空间；Zygmund空间；Riemann-Stieltjes算子；有界性；紧性

0 引 言

解析函数空间上的算子理论是研究函数论中经典问题的重要工具.XIAO J.[1]首次提出Riemann-Stieltjes型算子，此算子是一种积分型算子和复合型算子,近些年来得到了广泛研究，其中LI S X.[2]研究了单位圆盘上加权Bergman空间和α-bloch空间之间的Riemann-Stieltjes型算子的有界性和紧性问题，文献[3-4]讨论了从混合模空间和Hardy空间到Zygmund型空间的Riemann-Stieltjes型算子的有界性和紧性问题.而对于QK(p,q)空间和Zygmund型空间，LIU Y M.[5]刻画了在单位球上乘子和径向导数算子的乘积在混合模空间到Zygmund型空间的有界性和紧性特征，YU Y Y.[6]给出了Bloch型空间和QK(p,q)空间之间的广义复合算子的本性模估计.本文讨论了QK(p,q)空间到Zygmund空间的Riemann-Stieltjes算子，并给出了刻画该算子是有界算子和紧算子的充要条件.

1 预备知识及引理

以D表示复平面上的单位圆盘，H(D)表示D上所有的解析函数.设K是定义在[0,+∞)上的右连续不减的非负函数，且满足

(1)

其中，χA(x)表示集合A的特征函数.p>0，q>-2，QK(p,q)空间定义如下

其中，f,g∈H(D),φ(D)⊂D.本文中C表示正常数，不同的地方可以不一样.

2 主要定理及证明

1)当p

(2)

且

(3)

2)当p=q+2时，式(2)成立且

(4)

3)当p>q+2时，式(2)成立且

(5)

所以式(2)成立，即对于以上情况式(2)都成立.

(6)

所以

再证充分性.由闭图像定理，只需证明对任意f∈QK(p,q)，有Jg,φf∈Z.本文只证明p

1)当p

(7)

且

(8)

2)当p=q+2时，式(7)成立且

(9)

3)当p>q+2时，式(7)成立且

(10)

(11)

(12)

令f(z)=1，f(z)=z，结合φ是D上的解析自映射可得

(13)

(14)

因此，由式(11)—式(14)及文献[9]中的引理1得到

所以式(7)成立，对于以上情况，式(7)都成立.

1)当p

由定理1的证明知fn(z)∈QK(p,q)，fn在D的任意紧子集上一致收敛于0，且

结合φ是D上的解析自映射及式(7)得到式(8)成立.

2)当p=q+2时，取函数

则fn(z)∈QK(p,q)，与1的情形类似证明，可得式(9)成立.

3)当p>q+2时，取fn(z)=1，可得式(10)成立.证毕.

3 结束语

Riemann-Stieltjes型算子作为复合算子的推广，研究其在两个解析函数空间之间的有界性和紧性是有意义的，本文讨论了Riemann-Stieltjes型算子在QK(p,q)空间到Zygmund空间上的有界性与紧性，将进一步研究其在QK(p,q)空间到小Zygmund空间上的有界性和紧性问题.

[1]XIAOJ.Riemann-StieltjesoperatorsonweightedBlochandBergmanspacesoftheunitball[J].JournaloftheLondonMathematicalSociety, 2004,70(1):199-214.

[2]LIS.VolterracompositionoperatorsbetweenweightedBergmanspacesandBlochtypespaces[J].JournaloftheKoreanMathematicalSociety, 2008,45(1):229-248.

[3]LIUY,LIUH.Volterra-typecompositionoperatorsfrommixednormspacestoZygmundspaces[J].ActaMathematicaSinica, 2011,54(3):381-396.

[4]刘永民,郭健.Hardy空间到Zygmund型空间的Riemann-Stieltjes算子[J].数学学报,2014,57(4):693-708.

[5]LIUY,ZHOUJ.OnanOperatorMuRfromMixedNormSpacestoZygmund-TypeSpacesontheUnitBall[J].ComplexAnalysisandOperatorTheory, 2013,7(3):593-606.

[6]YUY,LIUY.TheEssentialNormofaGeneralizedCompositionOperatorBetweenBloch-TypeSpacesandQKTypeSpaces[J].ComplexAnalysisandOperatorTheory, 2012,6(6):1231-1240.

[7]KOTILAINENM.OncompositionoperatorsinQKtype spaces[J]. Journal of Function Spaces, 2007,5(2):103-122.

[8]DUREN P L. Theory of Hp spaces[M]. New York: Academic press, 1970:71-92.

Riemann-Stieltjes Operator fromQK(p,q) Space to Zgymund Space

GAO Zhijuan, XIAO Jianbin, ZHANG Yanlin

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

By choosing testing function ofQK(p,q) space and using operator theory and the properties of analytic function, this paper discusses Riemann-Stieltjes operator fromQK(p,q) space to Zgymund space, and the necessary and sufficient conditions for the boundedness and compactness of the operators are obtained.

QK(p,q) space; Zgymund space; Riemann-Stieltjes operator; boundedness; compactness

10.13954/j.cnki.hdu.2017.03.019

2016-10-18

国家自然科学基金资助项目(11571104)；浙江省大学生科技创新活动计划(新苗计划)资助项目(2016R407079)

高智娟(1992-)，女，河北唐山人，硕士研究生，复分析及其应用.通信作者：肖建斌教授，E-mail：xjb@hdu.edu.cn.

O177.2

A

1001-9146(2017)03-0091-05