蒋建新

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)



时标上一类Lotka-Volterra模型的周期解的存在性

蒋建新

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

利用迭合度理论得到了时标上一类Lotka-Volterra模型的周期解存在的充分条件，所得结果对一些已有的结论进行了推广.

时标；迭合度；周期解

近年来，生物学家在对种群动力学的研究中提出了大量的微分方程模型，其中非常著名的模型是Lotka-Volterra生态模型[1-4].随后Higer创立了时标上动力方程的研究[5]，由于时标分析理论不仅能够统一连续性和离散型，从而具有重要的应用价值,如作者蒋建新、丁彦林等作者在时标上分别研究了具有时滞Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性和企业集群模式下的企业之间竞争的数学模型[6-7]， 因此时标上的动力方程研究是当前数学界非常关注的课题.作者Arditi和Ginzburg在文献[8]中研究了一类Lotka-Volterra模型：

本文将在此基础上研究时标上Lotka-Volterra模型：

(1)

其中:x(t)表示t时刻捕食种群，y(t)表示t时刻被捕食种群，a(t),b(t),c(t),d(t),m(t),f(t)≥0都是定义在T上的ω-周期函数，这里T表示时标.

(2)

若令T=Z，则方程组(1)变为差分方程组(3).

(3)

1 预备知识

为了方便起见,引进以下记号:

为了叙述方便，首先给出一些基本的定义.

时标T是指R的一个非空闭子集，对任意T，定义向前跳跃算子σ和graininess函数μ为:σ(t)=inf{s∈T∶s>t},μ(t)=σ(t)-t.当σ(t)=t时称t是右稠密的；当σ(t)>t时称t是右稀疏的.类似地可定义向后跳跃算子以及左稠密、左稀疏.

定义1[9]设函数f∶T→R，∀t∈T，∀ε>0，∃t的邻域U(t)⊂T，使得:

则称f△为函数f的delta导数.

称函数f∶T→R是rd-连续的，如果它在T上的右稠密点是连续的，且在T上左稠密点左极限存在.当设函数f是rd-连续时，存在函数F(t)，使得F△(t)=f(t)，此时定义：

关于时标上各种计算，请参考文献[9]，本文不在一一列出.

为了应用迭合度延拓理论，引进以下记号：令X,Y是实Banach空间,设L∶DomL⊂X→Y为零指标Fredholm算子,且P∶X→X,Q∶Y→Y是连续算子使得

ImP=KerL,KerQ=ImL,X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ成立.用LP表示L在DomL∩KerP上的限制,定义映射：KP∶ImL→KerP∩DomL,J∶ImQ→KerL.

(1)对任意的λ∈(0，1)，x∈∂Ω∩DomL,都有Lx≠λNx，

引理2 若a,b∈T，α,β∈R，且f,g∈Crd(T)，则:

引理3 令t1,t2∈Iω,t∈T，如果g∶T→R是ω-周期函数,则有:

证明：下证第一个不等式,∀t∈Iω,

(1) 若t=t1，则不等式显然成立.

同理可证第一个不等式也成立.

2 主要结果

为了得到方程组(2)的周期解存在性,首先给出迭合度理论的一些知识.设∀t∈T有:

φω={(u,v)∈C(T,R2)∶u(t+ω)=u(t),v(t+ω)=v(t)}

下面给出本文的主要定理.

证明：令X=Y=φω,定义:

ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q).

令Lx=λNx，Ly=λNy，λ∈(0,1)则有:

(4)

假定(x(t),y(t))T⊂X是式(4)对于给定的λ∈(0,1)的解，则对式(4)在[κ，κ+ω]积分,得:

(5)

(6)

将式(5)和式(6)分别写为:

(7)

(8)

由式(4)和式(7)可得:

(9)

同理,由式(4)和式(8)可得:

(10)

由于(x(t),y(t))T⊂X，故存在ξi,ηi∈Iω，i=1,2,使得

(11)

由式(7)和式(11)有

同理，由式(8)和式(11)有：

显然这里H1,H2,H3,H4,K1,K2都与λ无关.记K=K1+K2+K3,其中K3>0且满足:

K3≥|l1|+|l2|+|L1|+|L2|.考虑代数方程：

(12)

其中μ∈[0,1],显然方程组(12)的解(x*,y*)当μ∈[0,1]时满足:

l1≤x*≤L1,l2≤y*≤L2

令Ω={(x(t),y(t))∈X∶‖(x(t),y(t))‖

当(x(t),y(t))∈∂Ω∩KerL=∂Ω∩R2,‖(x(t)‖+‖y(t))‖=K，由式(12)有:

从而Ω满足引理1的条件(2)，从而有deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0，因此方程组(1)至少有一个ω-周期解.

由定理1的证明易得:

推论1:方程组(2)和(3)至少存在一个周期解.

3 结束语

本文主要利用Gaines和Mawhin提出的Mawhin迭合度理论来得到方程组(1)周期解存在的条件.本文与文献[8]相比较，本文通过时间尺度将连续和离散模型统一起来研究，这样对微分方程和差分方程的解的存在性及稳定性的研究提供了方便，因此应用范围相对更广.

[1] AL NOUFAEY K S,MARCHANT T R,EDWARDS M P.The diffusive Lotka-Volterra predator-prey system with delay[J].Mathematical Biosciences,2016,270:30-40.

[2] ZU LI,JIANG DA-QING.Periodic solution for a non-autonomous Lotka-Volterra predator-prey system with random perturbation[J].Applied Mathematics and Computation,2015,269:288-300.

[3] BAO XIONG-XIONG,WANG Zhi-Cheng.Existence and stability of time periodic traveling waves for a Lotka-Volterra competition system[J].Journal of Differential Equations,2013,255:2402-2435.

[4] LIU QUN.Analysis of a stochastic non-autonomous food-limited Lotka-Volterra cooperative model[J].Applied Mathematics and Computation,2015,254:1-8.

[5] HILGER S.Analysis on measure chain-a unified approach to continuous and discrete calculus[J].Results Math,1990,18(1/2):18-56.

[6] 蒋建新.时标上一类具有时滞Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性[J].乐山师范学院学报，2016(3):13-18.

[7] 丁彦林，李永昆，庞一成.时间尺度上带有反馈控制的企业集群竞争模型的持久性[J].重庆师范大学学报，2016(2): 103-107.

[8] ARDITI R,GINZBURG L R.Coupling in predator-prey Dynamics: ratio-dependence[J].Theoret Biol,1989,139:311-326.

[9] BOHNER M,PETERSON A.Dynamic equation on time scales: An introduction with applications[M].Boston:Birkhauser,2001.

[10] GAINES R E,MAWHIN R M.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M].Berlin:Springer-Verlag,1977.

责任编辑：时 凌

Existence of Periodic Solutions for a Lotka-Volterra System on Time Scales

JIANG Jianxin

(School of Mathematics,Wenshan University,Wenshan 663000,China)

By using the Mawhin′s continuation theorem of coincidence degree theory,the sufficient conditions of the existence of periodic solution for a Lotka-Volterra system on time scales are obtained.In particular,the criteria generalize some known results.

time scales;coincidence degree;periodic solution

2017-02-24.

云南省教育厅科研项目(2013Y585)；文山学院校级项目(14WSY03).

蒋建新(1981-)，男，硕士，讲师，主要从事微分方程理论及其应用的研究.

1008-8423(2017)02-0143-05

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.007

O175.12

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