王德超，舒力，曹建明

（长安大学 汽车学院，陕西 西安 710064）

平面液膜非线性动力学边界条件的研究

王德超，舒力，曹建明

（长安大学 汽车学院，陕西 西安 710064）

发动机喷油嘴的雾化效果决定了发动机的燃油经济性，因此，很多学者根据喷油嘴的初始条件、扰动方程、运动学和动力学边界条件等因素从理论上来研究喷油嘴的雾化效果。文章主要通过表面张力引起的附加压强进行一系列的推导，得到平面液膜的非线性动力学边界条件。

平面液膜；流体；动力学边界条件

CLC NO.: U463.8 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2017)10-59-03

1、前言

1.1 瑞利波和泰勒波

平面液膜的表面波在两个方向上有波动，分为瑞利波（Reighley Wave）和泰勒波（Talar Wave），如图1和图2所示。沿液体喷射的x向的是瑞利波（图1），沿z向的是泰勒波（图2）。由于泰勒波的振幅要比瑞利波的小得多，因此目前大多数学者都假设没有泰勒波，而仅研究瑞利波。在这种情况下，对于平面液膜，沿z向液膜是一个半厚度为a的未经扰动的平面，如图2（a）所示。其中：平面a+ξ为瑞利波的波峰面，平面a−ξ为瑞利波的波谷面。在我们目前的研究中，仅考虑瑞利波，而假设没有泰勒波。

图1 平面液膜的瑞利波

图2 平面液膜的泰勒波

2、平面液膜的动力学边界条件

2.1 由表面张力引起的附加压强

2.1.1 附加压强

有量纲形式的平面液膜流动动力学边界条件[1]为：

R1和R2分别表示气液交界曲面上沿x向和z向的曲率半径，如图3所示。曲面DEFG为气液交界面，过O点做曲面DEFG的法线N，沿法线N做两个相互垂直的平面A1B1C1和A2B2C2，两平面与曲面DEFG相交于两条相互垂直的曲线A1B1和A2B2，曲线A1B1和A2B2的曲率半径分别为R1= OC1和R2= OC2。

图3 气液交界曲面上的曲率半径

2.1.2 曲率半径R和曲率K

曲率与曲率半径成反比，即：

如图3所示，平行于x轴的平面A1B1C1的曲率半径即为沿x向的曲率半径R1= OC1。

式中：∆α为弧线MM1上两端点M和M1切线的夹角，当M→M1时，∆α→dα，见图4（a）。∆s为弧线MM1的长度，当M→M1时，∆s→ds，见图4（b）。

图4 沿x向的曲率半径

式中：j=1,2。j=1表示波峰位置，j=2表示波谷位置。

如图3所示，平行于z轴的平面A2B2C2的曲率半径即为沿z向的曲率半径R2= OC2。

2.2 理想流体

无粘性、不可压缩的理想流体可由伯努利方程得到压力差的动力学边界条件[2]。

方程（10）即为拉普拉斯方程。对于液相和气相均为非粘性不可压缩的理想流体，动力学边界条件的等号左侧可以应用伯努利方程的拉格朗日积分求得。

式中：φ为速度势函数，《流体力学》[3]中的一个标量函数。

可以看出，对于无粘性、不可压缩的理想流体，允许直接运用伯努利方程求出压力，而不必运用纳维-斯托克斯方程组求出扰动压力，简单省力。

将方程（14）和（16）代入方程（10），得

方程（17）即为平面液膜有量纲形式的非线性动力学边界条件，适用于无粘性不可压缩的理想流体。

方程（18）即为平面液膜量纲一形式的非线性动力学边界条件，适用于无粘性不可压缩的理想流体。

将方程（18）的非线性项采用麦克劳林级数展开，取前二项，得：

3、结语

通过以上推导，得出了理想流体平面液膜的非线性动力学边界条件。对于液相和气相均为无粘性、且不可压缩的理想流体，均可以采用本文的方法直接求取动力学边界条件。若想研究粘性不可压缩或者粘性可压缩流体，则必须应用纳维-斯托克斯方程组求解，推导得到色散关系式。

[1] 曹建明.液体喷雾学[M].北京:北京大学出版社,2013;43-47.

[2] Seyed A.Jazayeri, Xianguo Li. Nonlinear instability of plane liquid sheets. J. Fluid Mech. (2000), vol. 406, pp. 281–308.

[3] 景思睿,张鸣远.流体力学[M].西安:西安交通大学出版社, 2001; 127-131.

Study on Dynamic Boundary Condition of plane liquid sheets

Wang Dechao, Shu Li, Cao Jianming
( Automobile Faculty, Chang’an University, Shaanxi Xi’an 710064 )

The atomization effect of the engine injector determines the fuel economy of the engine. Therefore, many scholars have studied the nozzle of the nozzle according to the initial conditions such as the initial condition of the injector, the disturbance equation, the kinematics and the kinetic boundary conditions. Atomization effect. In this paper, a series of deduced by the additional pressure caused by the surface tension are used to obtain the nonlinear dynamic boundary conditions of the planar liquid film.

planar liquid film; fluid; dynamic boundary condition

U463.8

A

1671-7988(2017)10-59-03

10.16638/j.cnki.1671-7988.2017.10.021

王德超，就职于长安大学汽车学院。