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萨切里四边形与非欧几何

2017-06-05张晓林谢俊峰

初中生世界 2017年18期
关键词:锐角直角四边形

张晓林谢俊峰

萨切里四边形与非欧几何

张晓林谢俊峰

几何学是数学科学中历史最悠久,也是最成熟的一个分支.18世纪以前,欧几里得的欧氏几何一统天下,我们现在初中所学习的几何也属于欧氏几何的范畴.但到了19世纪,非欧几何的发现对几何学产生了深远的影响.本文从欧几里得的《几何原本》说起,与大家谈谈萨切里四边形与非欧几何的联系.

大家都知道,欧几里得(公元前约325~270)是古希腊一位著名的几何学家.他将前人积累的丰富资料以及自己的发现,进行系统而严密的整理,给出了几何系统的第一个逻辑结构,写下了人类历史上的光辉巨著——《几何原本》.《几何原本》是欧氏几何的基础,欧几里得先给出了关于点、直线、圆等概念的定义,然后列出了5条公理与5条公设(《几何原本》中有“公理”与“公设”之分,近代数学对此不再区分,都称“公理”).这本著作里的命题都是依据这些定义、公理和公设,用形式逻辑的方法推演出来的,其系统性与严谨性令人惊叹.这里给出了5个公设:

1.任何两点之间可以画一条直线;

2.有限的直线可以无限地延长;

3.以任何已知点为圆心,以任何长为半径,总可以作出一个圆;

4.所有的直角都相等;

5.如果一个平面上的两条直线与另一条直线相交,并且如果同侧内角的和小于两直角,则如果充分地延长这两条直线,它们必将在内角和小于两直角的一侧相交.如图,如果α+β<180°,则直线l1和l2必将在直线l3的右侧某一点相交.

前4个公设很容易陈述,而且的确是不证自明的.第五公设就不同了,它的叙述非常繁琐,并且不那么明了,似乎超出了直接的体验.因此,自从《几何原本》问世之后,人们就开始了对第五公设的争议与研究.许多数学家都曾尝试通过其他的公设和公理对第五公设予以证明,以消除对它的可靠性的怀疑,虽然都以失败告终,但这些研究却加深了人们对第五公设的认识,得出了许多与第五公设等价的命题,例如:过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行.这种说法看上去简单些,但本质上与第五公设没有任何差别.

随着用直接方法验证的失败,数学家们转向间接方法,就是先否定第五公设,然后试图导出矛盾.

18世纪初叶,意大利数学家萨切里(1667~1733)曾利用一个奇特的四边形试图用归谬法证明第五公设.这个奇特的四边形ABCD是个等腰双直角四边形,即AB=CD,∠B=∠C=90°,BC为下底边,AD为上底边,AB和CD为腰,∠A、∠D为顶角,这个平面上的简单的四边形被称为萨切里四边形,如下图.

在不使用欧几里得第五公设的条件下,很容易能证明∠A=∠D,但这两个顶角的大小却无法判定,于是,萨切里提出了三种假设:

1.(直角假设)∠A和∠D都是直角;

2.(钝角假设)∠A和∠D都是钝角;

3.(锐角假设)∠A和∠D都是锐角.

萨切里当时的思路是证明在这三种假设下,只有直角假设才是正确的,而承认其他两种假设将会导致矛盾.

在直角假设下,萨切里证明了第五公设成立,反之,在第五公设成立的条件下,显然有∠A和∠D都是直角.因此,欧几里得的第五公设等价于萨切里四边形中的直角假设.在钝角假设下,萨切里导出了矛盾.而对于锐角假设,他证明得到了许多有趣的命题,如三角形内角之和小于平角,过线外一点可以作很多条直线与已知直线平行……但并没有明确地导出矛盾.尽管得到了许多有趣的命题,但萨切里认为这些命题如此奇怪,无法令人接受.于是,他断言欧几里得第五公设是成立的,并于1733年发表了名著《欧几里得无懈可击》.就这样,萨切里走到了非欧几何这个伟大发现的门前却止步了.

不过,很快就有人指出,萨切里在锐角假设下所导出的命题只是与人们的观念和经验相矛盾,而没有逻辑上的矛盾.实际上,当承认锐角假设时,由此推出的一系列几何事实,就是罗巴切夫斯基几何的内容.1829年罗巴切夫斯基的《几何学原理》第一次公开发表了,1855年,他的最后一本著作《泛几何学》对非欧几何给出了全新的说明.

此外,当承认钝角假设时,由此推出的一系列几何事实,实际上是黎曼几何的内容.1854年,黎曼提出了一种全新的非欧几何的思想,黎曼几何.

这就是人们现在所称的两种非欧几何,通常它们的名称是罗巴切夫斯基(或双曲)几何和黎曼(或椭圆)几何.

尽管如此,萨切里的三种假设还是有功绩的,他的方法与思路给了人们很多启示.所以,人们还是认为萨切里为非欧几何的开山祖师之一.

(作者单位:江苏省扬州市田家炳实验中学)

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