浙江省湖州市双林中学(313012) 李建潮

一个数学问题的再加强

浙江省湖州市双林中学(313012) 李建潮

《数学通报》2008年8月号问题1746是:设I是△ABC的内心,R是△ABC的外接圆半径,r,r1,r2、r3分别是△ABC、△IBC、△ICA、△IAB的内切圆半径.求证:

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.

命题人的证明推导出了

本文进一步给出(6)式的加强:

命题在数学问题1746的条件下,有

当且仅当△ABC为正三角形时取“=”号.

证明将二维柯西 (Cauchy)不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(当且仅当bc=ad时取“=”号)用于(3)式,并注意到射影定理a=bcosC+ccosB,有

(当且仅当B=C时取“=”号),同理可证:

(当且仅当C=A,A=B时(9)、(10)分别取“=”号)(8)、(9)、(10)三式相加,得

其中(7)式取“=”号当且仅当△ABC为正三角形.

显然,由以下不等式:

还可以得到:

推论在数学问题1746的条件下,有

当且仅当△ABC为正三角形时取“=”号.其中(14)式即为(文[1]的)(6)式.

[1]陈远新,唐鸿.数学问题1746的加强[J].数学通报,2010,7.