张现强

摘 要：基于椭圆型方程的新型混合变分形式，该文给出了一种新的非协调混合有限元方法。由于速度空间只需满足平方可积性质，因此混合元配对变得简单易取。该方法分别采用分片常数元和非协调的Crouzeix-Raviart元来逼近速度和压力。通过验证离散的LBB条件证明了有限元逼近解的存在惟一性，以及有限元逼近在某种意义下是最优的。与传统的混合元配对格式比较，新方法只需较少的自由度便可达到同样的数值精度。

关键词：椭圆型方程 混合变分形式 混合有限元 非协调元

中图分类号：O241.82 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）04（a）-0248-03

A New Nonconforming Mixed Finite Element Method for Elliptic Equations

Zhang Xianqiang

（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan Ningxia， 750021， China）

Abstract： In this paper， we develop and analyze a nonconforming mixed finite element method for the Poisson equation based on a new mixed variational formulation. The velocity is approximated by piecewise constant element and the pressure by nonconforming Crouzeix-Raviart element. It is shown that this pair of finite elements is stable and yields optimal accuracy in some sense.

Key Words： Elliptic equation； Mixed variational formulation；Mixed finite element； Noncomforming element

該文考虑如下的二阶椭圆方程边值问题：

（1）

这里为一个有界凸多边形区域，表示外力。 此方程广泛应用于物理学、力学等领域， 其混合有限元方法的研究一直是个热点问题[1-6]。传统的混合变分形式要求速度具有较高的正则性，而在实际中仅需要具有-正则性。 基于此，文献[7-8]中给出了一种新型混合变分形式， 并证明了其解的存在唯一性。由于压力空间不再是传统的空间，而是空间，因此混合元的选取变得简单容易。针对Poisson方程，文献[7]讨论了由分片常数速度元和分片线性压力元构成的协调有限元对。文献[8]采用最低等阶协调有限元对求解并利用速度的局部Gauss积分之差对其离散格式加以稳定。随后，文献[9]研究了稳定化最低等阶非协调混合有限元方法。

与协调有限元法相比，非协调Crouzeix-Raviart元可以降低对连续性的要求，具有计算简单、收敛速度快、利于并行求解的优点，且更易满足离散的LBB条件，实际计算效果常常优于协调有限元[10]。该文的主要工作是将[7-9]中的方法加以推广，对椭圆型提出和建立了一个稳定的非协调有限元格式。

该文结构如下： 第2节介绍模型问题的变分形式及其非协调元离散方法。第3节分析离散问题的稳定性和收敛性。该文采用通常的Sobolev空间的定义、范数、半范数和记号。文中C为一般常数，在不同的地方具有不同的含义。

1 混合变分形式及其非协调元离散

定义空间：

引入通量，则方程（1）的一个新的变分形式为： 求，使得：

（2）

其中：

由文献[8]中的引理1和引理2，应用Babuska-Brezzi理论[1，3]， 我们可得问题（2）解的存在唯一性。

设是的一个拟一致正则三角形剖分，网格步长为。记为内部单元边的集合。对于任意的边，的中点记为。我们定义非协调元离散空间为：

这里表示区域上的线性多项式空间，为区域上的常数空间。显然。

问题（2）的非协调混合有限元离散逼近格式为：求，使得：

（3）

其中：

这里，算子定义为：

对任意的，定义范数：

定义为标准的投影算子，即：

定义为标准的Crouzeix-Raviart插值算子，即：

由插值理论[10]可知：

≤ （4）

≤ （5）

≤ （6）

≤ （7）

引理：在空间中是连续的， 且：

（8）

在空间中也是连续的，且存在不依赖于的常数，使得：

≥ （9）

因此， 问题（3）存在唯一解。

证明：利用Cauchy-Schwarz不等式，我们知道和是连续的，且（8）是显然的。故我们只需证明（9）。由文献[3]可知：对任意的，存在，使得：

≤

由的定义以及为分片常数可知：

，利用（4）式，有：

≥

≥

由此即得到（9）式的结论.由（8）式，（9）式和混合元理论（[1-5]）知， 离散问题（3）有唯一解。

2 收敛性分析

由定理1， 我们有：

引理：设和

分別为（2）和（3）的解，则：

≤ （10）

证明：由第二Strang引理[1-5]可知：

（11）

其中：

（12）

（13）

另一方面，注意到当时，，故：

。 （14）

利用Green公式和（1）式可得：

（15）

其中为函数在单元边界上的跳跃。注意到在单元边界的中点上连续。利用（13），（15）式和迹不等式可得：

（16）

其中投影算子定义为：

结合（6）， （7）和（11）- （16）知引理成立。

4 结语

在科学与工程计算的研究领域中，许多问题可以用椭圆型方程进行描述。传统的混合元格式对速度需要散度空间，且论证复杂，给实际的计算带来了诸多困难。基于实际问题对通量较低的正则性要求，该文在椭圆型方程的一种新型稳定化混合变分形式的基础上，采用非协调混合有限元的方法对其求解，证明了有限元解的存在唯一性，以及有限元逼近在某种意义下是最优的。

参考文献

[1] Brezzi F， Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods[M]. New York： Springer-Verlag，1991.

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[10] Crouzeix M， Raviart P A. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations I[J]. RAIRO Anal Numer，1973（7）： 33-75.