王宇

【摘要】从哲学角度更加全面地给出数学的定义和定理的分类.文中给出数学研究与哲学方法论的联系，并给出发现问题在数学学习研究中的重要性.

【关键词】数学哲学；真理；发现问题；直觉

哲学给人的总体感觉是很难看懂其真正含义，哲学教材中大量的逻辑运算、数学公式和数学模型，使非哲学专业的人士见而生畏，认为这些成果仅局限于哲学领域与自然科学没有关联，尤其与数学领域的研究更是风马牛不相及.作为一名数学专业教师，以前从未真正考虑过应如何研究数学，什么样的研究方法最合理？因此在具体的研究教学工作中常会走一些弯路，甚至举步维艰.在认真拜读了许多哲学专著后，我对数学学科的认识有了质的飞跃，意识到哲学指导下的数学研究和教学才是真正应该秉承的方法，以下是本人对哲学和数学之间的关系做出的一些思考和总结。

一、数学的定义和真理

由于数学的定义是数学学科作为整体对象引入的问题，任何一门科学都不可能以自身为研究对象，所以这个问题需要从哲学的角度回答，但单纯以哲学的角度给出定义也不全面，因为数学学科与哲学学科毕竟在研究对象、研究方法上都不相同，因而还要结合数学自身的特点给出定义.从哲学的角度回答我赞同以下两种答案：1.林泉水在《数学对象的性质》中称数学是一门演算的科学；2.罗竹凤在《汉语大词典》中称数学是研究现实世界的空间形式和量的关系的科学.从数学学科的角度回答我赞同王青建在《数学是什么？》中称数学是研究数与形的科学.因此我认为数学的定义是一门演算的科学，是研究数与形的科学，特别是研究现实世界的空间形式和量的关系的科学。

有关数学真理的探究应该从数学起源开始，以希尔伯特为代表的新康德主义过分强调经验是数学的唯一源泉，他肯定地说：“每个数学分支中那些最原始、最古老的问题肯定起源于经验，是由外部现象所引起的.”坎贝尔认为：“数学理论假说的每一个重要术语，都直接地、分别地与经验确定的量值相关，数学理论的提出不只是实验定律的外延，理论家必须在可供选择的数学关系中挑选，这些可供选择的数学关系既蕴涵着定律，又呈现出与定律有某种类似的数学形式，”杜威认为：“主观经验是一切认识的本源，客观世界和主观世界不过是经验的不同表现而已.”我认为数学的来源，一部分来源于经验，主要是古代数学所研究的大部分内容，而另一部分高于经验，很难在自然界找到原形，现代数学大多数属于此类.如果经验真的是一切数学来源的话，数学也就失去了旺盛的生命力.由此可知，数学的真理可分为两种：一种真理的证明必须以经验事实为根据，而另外一种完全不需要来源于经验，可以纯粹从逻辑规律出发运用一些数学思维方式得到，故数学中的真命题可分为分析命题和综合命题，前者不需用经验材料证明真伪，仅靠逻辑方法即可证明其真假，而后者只能依靠经验材料证明真伪。

二、数学研究与哲学方法论的联系

尽管哲学与数学是两门不同的学科，它们的研究对象、研究目的、研究方法都大不相同，很多哲学家都明确指出“哲学不是数学，若用研究数学的方式去研究哲学将是非常可怕的，会导致哲学家们陷入迷途”，维特根斯坦在《哲学研究》中指出：“哲学不是理论，哲学的任务在于描述，即使思想在逻辑上变得明晰起来的学问，哲学的思考不同于科学的思考，哲学不提出任何理论，在哲学思考中不应有任何假设性的东西，因此哲学的任务不是得出结论，而是陈述众所公认的事。”

数学研究最重要的应该是如何发现问题，它不仅是研究数学的起点，也是研究数学的一条生命线，希尔伯特指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题的匮乏则预示着它发展的衰亡和中止”，由于数学也属于一门科学分支，显然提出问题在数学中的地位可见一斑.希尔伯特还提出数学问题应具备的三个特点：

1.清晰性和易懂性.清晰性确保可以有清晰的思路、具体的步骤解决它；易懂性，使得所得的結果真实有意义。

2.困难而又不是无从下手.所选问题的难度应当能够使科学研究者看得见方向但又必须始于足下的努力才能接近。

3.意义重大

深悟这三个重要特点，在以后的数学研究中寻找问题时能够更加精确地把握问题的重要性和可行性，另外，在选题过程中要避免盲目的“直觉”，邦格指出：“直觉的几种严重的局限性，首先，直觉要在一定的条件下才能呈现；其次，直觉有易谬性，因为它的来路不是很合乎推理常规，所以易错；再次，直觉只能起启发作用，没有证实功能；最后，直觉往往是粗糙的。”

综上所述，在哲学方法论的指导下，今后的工作中要以哲学方法论为指导，找出有意义、更加可行的课题继续深入研究，在教学中也适当地引导学生学习哲学方法论、数学史，数学哲学等有益于拓展学习研究能力的内容。