潘 浩，王 慧，吴洋洲

（北京航天动力研究所，北京，100076）

常平座轴承与十字轴间隙对整机固有频率的影响分析

潘 浩，王 慧，吴洋洲

（北京航天动力研究所，北京，100076）

考虑到火箭发动机常平座轴承与十字轴之间存在间隙，在仿真分析中，必须定义接触来模拟这些非线性行为，而有限元软件ABAQUS在进行模态分析时，会自动忽略非线性行为，如果用耦合约束代替接触，计算得到的结果往往不理想。针对发动机存在的这种间隙结构，采用瞬态动力学方法，计算发动机在时域上的位移响应，通过傅里叶变换给出频域内的频响函数曲线，根据峰值频率从而确定固有频率，输出整机结构的关键点，得到固有频率相对应的振型。

火箭发动机；间隙结构；瞬态动力学分析；共振频率

0 引 言

在防止发动机与箭体或与伺服机构发生耦合共振的设计过程中，发动机整机扭转频率是一个重要的指标参数。而在火箭发动机模态分析中，常平座轴承与十字轴之间的间隙将影响常平座的连接刚度，这对整机的扭转频率有着重要的影响，这种存在间隙的非线性结构，为发动机的模态分析带来了困难。

目前的有限元软件在模态分析、谐响应分析以及随机振动分析中，只能进行线性计算，任何非线性行为，包括材料的非线性、连接方式的非线性等都将被忽略。因此，必须简化处理，即用绑定、耦合等代替接触，这一定程度上导致结构连接刚度偏大，出现偏差。

在以往的发动机建模中，通常是将常平座简化为质量点，这种处理方式并不能正确模拟发动机整机的一阶扭转频率。考虑到常平座上下轴承与十字轴之间存在间隙，采用动力学方法来模拟振动中的接触过程。本文对间隙结构定义接触，用瞬态动力学法计算时域上的结构位移响应，经过傅里叶变换得到频域内的频响函数曲线，从而确定结构的共振频率[1,2]。

1 瞬态动力学有限元法

瞬态动力学分析是应工程需要而产生的一种非线性动态求解方法，用于确定承受任意随时间变化载荷的结构动力学响应，通过傅里叶变换将时域的结构响应转换为频域上的信号，找到峰值频率，从而确定结构的固有频率。相比传统的线性模态分析法，此方法可以找到非线性结构的固有频率，与模态试验条件下的实际情况更为接近。

在ABAQUS中求解瞬态响应的计算方法有两种：一种是直接瞬态响应分析法；另一种是模态瞬态响应分析法。直接瞬态响应分析法是通过求解整个模型的阻尼耦合方程，得出各时间对应的响应；而模态瞬态响应分析法则是采用模态叠加法得到各时间对应的响应。由于模态瞬态响应法需要先求解模态振型，要求系统为线性系统，而本文要分析的结构模型为存在接触关系的非线性系统，故本文将采用直接瞬态响应法。

在直接瞬态响应分析中，通过直接数值积分方法求解耦合方程来计算结构响应。运动方程为

定义一个固定积分时间t∆，通过中心差分法计算离散点处的速度和加速度

将外力用3个相邻的时间点表示，则方程形式变形为

合并同类项，运动方程为

其中，

上述求解过程如同一系列静力分析求解过程，每一个时间步以新的载荷向量执行一次，求解方程组，从而得到下一时刻的瞬态结果。

2 发动机整机模态分析

模态分析是将线性定常系统振动微分方程中的物理坐标变化为模态坐标，使方程组解耦为单自由度的独立方程，从而求出系统的模态参数。本文采用ABAQUS有限元分析软件，进行模态分析，其中对常平座的建模采用了以下3种简化方式：

a）将常平座简化成质量点，约束3个方向的平动自由度，放开3个转动自由度；

b）将常平座简化成质量点，约束3个方向的平动自由度和绕轴向的转动自由度，放开另外两个方向的转动自由度；

c）建出常平座上下两个轴承的实体模型，十字轴采用梁单元模拟，十字轴和轴承进行耦合约束，放开各自在伺服机构作动方向的转动自由度，约束其它的自由度。

发动机整机有限元模型如图1所示。

表1为3种方案计算结果以及模态试验获得的一阶扭转和一阶弯曲频率，其中一阶弯曲方向为发动机摇摆部分垂直于氢氧涡轮泵连线方向，试验值是采用锤击法获得。

表1 3种方案计算值与试验值对比

由表1可以看出，一阶弯曲频率结果较为接近，说明常平座对一阶弯曲频率影响不大，近似认为发动机一阶弯曲频率真实值为16 Hz左右，而一阶扭转频率各结果相差较大，其中方案一计算结果较小，方案二计算结果较大。分析原因，方案一没有考虑常平座对发动机整机的轴向扭转限制，导致整机扭转频率过低；方案二用刚性连接代替了常平座的变形协调作用，导致连接刚度增大，造成整机的扭转频率过大；方案三的模型更接近实际情况，但计算结果较试验值偏大，这是因为实物装配好后，十字轴与常平座上下轴承之间存在间隙，在进行模态试验时，由于这些间隙的存在，降低了常平座自身刚度，而有限元模态分析在模拟十字轴与常平座上下轴承之间的连接关系时，采用的是耦合自由度法，其连接刚度相对实际情况也会增大。因此为了更好地模拟一阶扭转频率，必须考虑间隙结构对扭转频率的影响。

3 瞬态动力学分析

3.1 含间隙结构的常平座模型

考虑常平座上下轴承与十字轴之间的间隙，即轴与轴承之间的间隙为0.2 mm，十字轴轴套与耳座的间隙为0.15 mm，其有限元模型如图2所示。

3.2 激振力大小对整机固有频率的影响

定义轴与轴承、轴套与耳座为接触关系，切向摩擦系数为0.2，法向为硬接触。在有限元软件ABAQUS中设置3个分析步骤：a）对整体施加x负方向的重力，大小为10 N/t（设置此分析步的目的是因为直接加载大载荷会导致计算结果不收敛）；b）对整体施加x负方向的重力，大小为9 800 N/t；在模态试验中，一般会选取多个点作为激励点，以保证试验测得的模态频率和振型不会丢失，由于本文分析的振型为一阶扭转振型，将激励点选在推力室身部，激振力的方向与推力室相切，且只对这一点施加载荷；c）在发动机推力室身部施加随时间变化的z向载荷集中力，载荷大小分为4种工况：F1=5 000 N，F2=500 N，F3=50 N，F4=0.01 N，持续时间为0.2 s，幅值曲线定义如表2所示，计算4种工况下发动机的位移响应。

表2 激振力幅值曲线

以激振点位移输出响应为例，图3为4种工况下激振点Z向位移随时间的变化曲线，图4为各工况位移在0～20 Hz上的频响函数曲线，且为了便于比较，将工况3幅值扩大15倍，工况4幅值扩大10倍，每条曲线的峰值频率代表发动机结构的一阶固有频率。

由图4可以看出，在0～20 Hz内，激振点有4个峰值，即4阶固有频率，将每种工况对应的峰值频率见表3。

3.3 预紧力对整机固有频率的影响分析

以第3.2节有限元计算模型为例，将b）中的重力大小改为98 N/t，方向不变，即初始预紧力缩小了100倍，c）中激振力大小为5 kN，重新计算，得到前3阶固有频率分别为4.76 Hz、9.52 Hz和14.28 Hz，其频响函数曲线如图5所示。

3.4 获取固有频率对应的模态振型

为了得到固有频率对应的整机振型，以及减小误差，采用单输入多输出的方法，输出点结合发动机测点布局，输出主要组件母线上的部分点（机架显示十字梁，发动机摇摆部分显示氢氧涡轮泵、推力室和喷管），其空间测点布局如图6所示。

以第3.2节a）中激振 力为5 kN时的瞬态动力学仿真结果为例，输出图6中各点3个方向的位移响应，并进行傅里叶变换，得到各点各方向的频响函数，在Dasp数据分析软件中，将各点各方向的频响函数作为约束条件，输入到空间图中，从而生成结构图。将所有的频响函数进行集总平均，得到一条平均后的模态指示函数曲线，如图7所示（每一个峰值对应其中的一阶固有频率），对前3阶频率进行定阶，用实模态多自由度法进行拟合，得到发动机前3阶固有频率、模态阻尼，以及相应的振型，见表4和图8～图10，其中一阶弯曲方向为发动机垂直于氢氧涡轮泵连线方向。

表4 发动机前3阶模态及阻尼比

4 对比分析

比较整机模态分析结果与瞬态动力学分析结果，后者频响函数曲线在5.8 Hz附近有一响应峰值，对照振型图，即瞬态动力学分析结果比模态分析多出了一阶转动频率。观察振型图，在该频率下，发动机摇摆部分整体绕轴向转动，组件之间并没有发生相对扭转，分析原因，当发动机摇摆部分绕轴向有微小转动时，由于常平座上下轴承与十字轴、十字轴轴套与耳座之间存在间隙，十字轴并不能与常平座轴承充分接触，常平座对整机绕轴向的约束较小，刚度较低。但十字轴与常平座上下轴承之间存在摩擦力，相比模态分析中方案一，由于受摩擦力的限制，对绕轴向的刚度起到一定程度的增强作用，因此整机转动频率5.8 Hz介于模态分析方案一和方案三结果之间。当外激励方向沿发动机切向，激励频率接近该阶频率时，系统同样会发生共振[3]。从表4可以看出，一阶转动阻尼比较大，可以认为十字轴与上下轴承之间的摩擦力是产生阻尼的主要因素。

当发动机摇摆部分绕轴向转角继续增大时，十字轴与轴承充分接触，常平座对整机的扭转约束完全体现，从图8所示的振型图可以看出，推力室头部存在变形，即发生相对扭转，此振型对应模态分析的一阶扭转振型。表5给出了模态分析方案三结果、瞬态动力学分析结果和试验结果以及与试验值的对比。

表5 3种方法固有频率/阻尼比对比

由表5可知，相比模态分析方案三，瞬态动力学分析结果与试验值更为接近，且一阶扭转频率比方案三小得多，说明间隙的存在会导致结构之间连接刚度降低[4,5]。而3种方法获得的一阶弯曲频率相差不大，均与近似理论值16 Hz接近，说明间隙结构对发动机一阶弯曲频率影响不大，即间隙主要影响发动机一阶扭转频率。

对比瞬态动力学 3种工况下的频响函数曲线及表3可以看出，3种工况下峰值频率基本相同，但在某些激振力下，发动机整机部分阶次的峰值频率不明显，甚至不出现如工况4在17.58 Hz附近没有峰值，说明用瞬态动力学求解间隙结构固有频率时，激振力的大小会影响共振频率，应选用不同的激振力进行加载，以免发生固有频率缺失的情况。

根据文献[6]，装配结构存在间隙时，模态频率随载荷变化而明显发生变化，激振力较小时频率较低，激振力较大时频率较大，且当载荷增大到一定程度时，频率值趋于稳定。而本文4种工况激振力下，得到的频率基本一致，这是由于在初始重力即预紧力作用下，常平座十字轴与轴承的接触刚度已经确定，因此4种激振力作用下得到的模态频率基本相同。

对比第3.2节与第3.3节计算结果，在重力减小，即初始预紧力减小的情况下，得到的固有频率也都相应降低。分析认为，预紧力较小导致常平座轴承与十字轴接触刚度相应减小，从而使扭转和弯曲频率降低。

在 Dasp分析软件中定阶拟合第 4阶固有频率（17.58 Hz左右）时，得到的模态频率为22 Hz，与17.58 Hz相差较大，且振型依然为发动机摇摆部分沿垂直于氢氧涡轮泵连线方向的一阶弯曲。结合线性模态分析结果，这是因为发动机沿氢/氧涡轮泵连线方向一阶弯曲频率以及垂直于连线方向的一阶弯曲频率较为接近，Dasp软件在拟合模态时，各阶模态参数之间的相互影响较大，会出现个别阶的模态振型不协调。理论和试验表明，单点共振法测模态频率适用于各阶固有频率相隔较远，不需要进行模态分离的结构，这种方法对各阶固有频率相互接近的情况，测得结果误差较大[7]，甚至会丢失某阶频率。

5 结 论

本文对存在间隙结构的发动机整机模型进行了线性模态分析和瞬态动力学分析，并对这两种方法得到的结果进行对比，结论如下：

a）发动机常平座轴承与十字轴之间的间隙对一阶扭转频率影响较大，而对一阶弯曲频率影响较小，并且间隙的存在将导致结构连接刚度降低；

b）用瞬态动力学分析方法得到的固有频率，由于考虑了结构的非线性，相比线性模态分析，其结果与试验值会更加接近，但对于固有频率相互接近的情况，得到的结果误差较大；

c）用瞬态动力学分析方法求解间隙结构固有频率时，应加载不同的激振力分别求解，保证不会丢失某阶频率，但激振力大小对模态频率大小几乎没有影响；

d）对含间隙配合的非线性结构，预紧力会影响结构接触刚度，并且预紧力较小时，接触刚度较低；

e）线性模态分析求解方便快捷，但对于存在间隙的结构，其结果误差可能较大，而瞬态动力学分析对计算机配置要求较高，计算时间长，且数据处理过程繁琐，效率低，采用哪种方法应综合考虑。

[1] 李承德. 锤击振动试验的模态分析法[J]. 汽车技术, 1981(02): 22-24, 36.

[2] 李承德. 锤击振动试验的模态分析法下[J]. 汽车技术, 1981(3): 27-30.

[3] Lacarbonara W, Rega G, Nayfeh A H. Resonant non-linear normal modes, Part I: analytical treatment for structural one-dimensional systems[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2003, 38: 851-872.

[4] 王德帅. 考虑轴承磨配间隙飞高速电主轴静动态特性分析[D]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学, 2014.

[5] 白争锋. 考虑较间间隙的机构动力学特性研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2011.

[6] 马晨光, 刘昌洪. 含较大间隙结构频率的影响机理研究[D]. 北京: 北京力学会第21届学术年会暨北京振动工程学会第22届学术年会, 2015.

[7] Bishop R E, Gladwell G M L. An investigation into the theory of resonance testing[D]. London: Philosophical Transactions of the Royal Society of London: Series A, 1963.

Impact Analysis of Clearances Between the Gimbal Mount Assembly and Cross Shaft on Natural Frequencies of the Rocket Engine

Pan Hao, Wang Hui, Wu Yang-zhou
(Beijing Arospace Propulsion Institute, Beijing, 100076)

Considering that there are clearances between the gimbal mount assembly and cross shaft of engine, contact must be defined to simulate these non-linear behaviors in the simulation analysis. However, these non-linear behaviors will be ignored automatically when modal analysis is performed with finite elements software ABAQUS. If the contact is replaced by coupling constraints, the calculated results are not always perfect. Transient dynamic analysis is used to compute the displacement response of engine in time domain about the structure of engine with clearances in this paper. Then we can find the natural frequencies based on the peak of frequency-response curves obtained by fourier transform. We can also find the modes of vibration corresponding to natural frequencies according to the output of key points of the rocked engine.

Clearances; Transient dynamic analysis; Resonant frequency

V43

A

1004-7182(2017)02-0035-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170208

2016-01-25；

2016-11-22

潘 浩（1990-），男，助理工程师，主要研究方向为液体火箭发动机总装设计