陈斯祺

摘 要：危岩是一种全球性高频率的地质灾害，其中滑塌式危岩破坏是危岩主要的破坏类型之一。该文针对滑塌式岩石破坏类型，通过考虑自重、裂隙水压力和地震力3种组合荷载构建滑塌式危岩力学模型，采用断裂力学的方法推导其Ⅰ-Ⅱ型复合应力强度因子。根据最大周向应力理论，使用三角形万能公式计算变形得出其理论断裂角。

关键词：断裂力学 Ⅰ-Ⅱ型复合应力强度因子 断裂角 滑塌式危岩

中图分类号：TU45 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）01（c）-0009-0

岩石是由一种或多种矿物在地质作用下天然产生的复杂结构体。大多岩体工程中的岩石属于压剪状态，其岩石裂缝的应力场应为压剪应力场。滑塌式危岩破坏的本质是压剪破坏，因此对于滑塌式危岩破坏的研究具有必要性和迫切性。众多国内外学者都致力于对岩石破坏的机理进行了相应的研究。Nara Y等[1]以处于亚临界裂纹扩展状态的花岗岩为研究对象，他发现裂隙水将加速花岗岩裂纹扩展的速度并影响花岗岩的结构强度。Zygouri V等[2]对Skolis山和Acrocorinthos的岩石进行了研究，研究表明浅层地震会引起大范围的岩石崩塌。Chen H K等[3]提出了处于激励效应下的不稳定岩石的破坏准则并建立了对其安全性的评估方法。Johari A等[4]采用联合分布随机变量的方法对处于临界状态的岩石的稳定性进行了可靠的评估。Li Y等[5]使用FLAC3D软件模拟了节理裂隙水压力作用下岩体的裂隙发育，结果表明裂隙水对节理岩体的强度和稳定性有明顯的降低作用。Liang L等[6]在龙马溪地区对页岩进行取样，研究表明水性液体对页岩形成的裂纹扩展具有显著的正向影响。迄今为止，学者多以试验和数值分析的方法对岩石裂缝进行研究，对于岩石裂缝的理论分析略有欠缺。该文采用断裂力学的方法对滑塌式危岩进行理论推导，其结果对于防灾减灾和工程安全评估等方面具有一定的理论意义和经济价值。

1 应力分量的坐标变换

如图1所示，建立滑塌式危岩模型。其中为危岩体重心，为主控结构面的孔隙水压力，为单位长度水平地震力，为单位长度竖向地震力，为单位长度的岩体重力。

在图1中的裂纹尖端选取单元体，在岩石自身重力作用下形成压剪应力（如图2）。

在单元体平行于轴的直线上，设其外法线与坐标轴的夹角分别为、，则有：

，，，

将已知参数带入边界条件方程：

（1）

（2）

可得：

，

在单元体平行于轴直线上，同理可得：，。综上可得：

（3）

建立新、旧坐标系如图3所示，旧坐标系的应力张量为，新坐标系的应力张量为。新坐标系轴在旧坐标系2个坐标轴上的投影（即与2个坐标轴的夹角余弦）分别为、；新坐标系轴在旧坐标系2个坐标轴上的投影（即与2个坐标轴的夹角余弦）分别为、。

推导已知：

（4）

（5）

（6）

将（3）（4）（5）代入（6），则有：

（7）

由上式应力张量可知：

（8）

2 推导Ⅰ型应力强度因子

设，，根据Westergaard提出的应力函数[7]为：

（9）

因为，，所以：

（10）

同理可得：

（11）

（12）

将Westergaard应力函数偏微分，可得：

（13）

同理可得：

（14）

（15）

将（13）（14）（15）整理，可知：

（16）

如图4所示，在无限体内有一个长为的中心贯穿裂纹，在其无穷远处受双向均匀应力作用。其边界条件为：当，a时，>；当，。

由（16）式可知，当，时，；当，时，。可将其应力函数假设为：

由于其裂纹关于轴对称，因此假设其应力函数为：

由于上述应力函数是在，的特殊情况下推导的。对于大多数情况下，因此可将上式中用代替，则有：

（17）

将原坐标点移新坐标点，设新坐标系中任意一点的复数坐标为，则两坐标系的换算关系如下：

（18）

即：

（19）

将（19）式带入（17）式：

（20）

当时，令

（21）

由于当→0时，为一常数。因此，可令常数为：

（22）

联解（20）（21）（22），可得：

（23）

3 推导Ⅱ型应力强度因子

设，，根据Westergaard提出的应力函数[7]为

（24）

因为，，所以：

（25）

同理可得：

（26）

（27）

将Westergaard应力函数偏微分，可得：

（28）

同理可得：

（29）

（30）

将（28）（29）（30）整理，可知：

（31）

如图5所示，在无限体内有一个长为的中心贯穿裂纹，在其无穷远处受双向均匀剪应力作用。其边界条件为：当，a时，>；当，。

由（16）式可知，当，时，；当，时，可将其应力函数假设为：

由于其裂纹关于轴对称，因此假设其应力函数假设为：

由于上述应力函数是在，的特殊情况下推导的。对于大多数情况下，因此可将上式中的用代替，则有：

（32）

将原坐标点移新坐标点，设新坐标系中任意一点的复数坐标为，则两坐标系的换算关系如下：

（33）

即：

（34）

将（34）式带入（32）式：

（35）

当→0时，令

（36）

由于当→0时，为一常数。因此，可令常数为：

（37）

联解（35）（36）（37），可得：

（38）

4 推导不稳定岩石的Ⅰ-Ⅱ复合应力强度因子和断裂角

令Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的裂尖应力强度因子为：

（39）

联解（23）（38）（39）可得如下关系：

（40）

由于水平地震力和竖向地震力不能同时考虑，因此可分别在其前面添加一个系数和，构建如下函数：

（41）

设危岩其重心点的坐标为，为主控结构面的孔隙水压力的最大值，为轴方向的分量总和，为轴方向的分量总和，则有：

（42）

（43）

设为常数，根据Ⅰ型裂纹的Westergaard应力函数，可得：

（44）

设为常数，根据Ⅱ型裂纹的Westergaard应力函数，可得：

（45）

联解（8）（28）（32）（33）可得：

（46）

根據最大周向应力理论（准则）[8]，可以求其解断裂角。

（47）

令，带入（47），则有：

（48）

根据一元二次方程可解得：

当时，其断裂角大于180°，裂纹将向反方向扩展，显然与实际情况不符，应当舍去。

因此，可得理论断裂角θ0为：

（49）

5 算例分析

重庆市万州危岩w15属滑塌式危岩，其高度为9.5 m，长度为4 m，厚度为20.5 m，裂缝长度为18.5 m，将其荷载拟定为重庆市地方规范手册中的工况三（自重+裂隙水压力+地震力）。通过该文推导的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的应力强度因子公式可得其KⅠ应力强度因子为976.254，应力强度因子为814.264。与《应力强度因子手册》的计算结果进行对比，发现其相对误差为2.68%。

6 结语

该文通过考虑重力、裂隙水压力和地震力的影响，建立了岩石工程中常见的滑塌式危岩力学模型。此外，通过断裂力学得到了Ⅰ-Ⅱ复合应力强度因子。根据最大周向应力理论，通过三角形万能公式计算得出了理论断裂角。对防灾减灾和工程安全评价具有一定的理论指导意义和经济价值。

参考文献

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[2] Zygouri V，Koukouvelas I K.Evolution of rock falls in the Northern part of the Peloponnese， Greece[C]//IOP Conference Series：Earth and Environmental Science.2015.

[3] Chen H K，Zhou Y T，Wang Z.Study on Damage Characteristics of Unstable Rocks under Excitation Effect[J].Applied Mechanics and Materials，2013（459）：575-581.

[4] Johari A，Momeni M，Javadi A A.An Analytical Solution For Reliability Assessment Of Pseudostatic Stability Of Rock Slopes Using Jointly Distributed Random Variables Method[J].Iranian Journal of Science and Technology Transactions of Civil Engineering， 2015（39）：351-363.

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[6] Liang L，Xiong J，Liu X.Experimental study on crack propagation in shale formations considering hydration and wettability[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering，2015（23）：492-499.

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[8] Erdogan F，Sih G C.On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear[J].Journal of basic engineering，1963， 85（4）：519-525.