邵伟河

在课堂上教师惜时如金，喜欢多讲一些知识点，面面俱到，唯恐哪里落下，但效果往往不尽如人意，常有“此题讲了十几遍了，还是做不对”的怨言。究其原因，教师的思维与学生的思维不在同一战线上，没有形成合力，甚至反之，其效果如何可想而知。教师要善于懂得学生的思维，且善于切入学生的思维，并给予他们足够的时间，让他们真正思考起来或许有意外的惊喜与收获，下面结合实例谈谈。

带着一个很老的例题，几个解法，准备一节课的时间，进入课堂。

如图1，AD为△ABC的角平分线，AB>AC，求证：■=■。

说明：本题是旧浙教版教材当中的角平分线定理，条件与结论简洁明了，很会激发学生的求知欲。现已删掉，本人觉得很可惜，上课时常拿出来给学生练练。初二学生可练，初三学生也可练，甚至初一学生也可练，关键是看教师的教学目的是什么，定位了该题的功效。

2009学年接的初一学生，一直带到初三毕业，真正的知根知底。初一的时候，由于学了高、面积与角平分线的概念，出于对这方面知识的巩固与拓展，故出示了该题。经教师的引导启发下用面积的方法解决了此题，对初一学生来说，该题已够难了。时隔两年，已到初三了，因刚学了新浙教版《相似三角形》这一章，出于对平行相似概念的理解与巩固，故技重施再次出示该题，不拘泥于任何方法，任凭学生天马行空，展开想象的翅膀。经学生充分思考后得出：

生1：如图2，过B作BE∥AC交AD延长线于E，因BE∥AC，可证：△ADC～△BDE，∴■=■，又BE∥AC，AD平分∠BAC，∴∠BEA=∠DAC，∠BAD=∠DAC，∴∠BEA=∠BAD，∴BE=AB，■=■。

师：你是怎么想的？

生1：四条线段成比例，首先看有没有两个三角形相似，但现成的没有，而添平行线可构三角形相似，自然想到添平行线法。右侧比例式不动，过B作BE∥AC，交AD延长线于E，可得△BDE～△ACD。

师：利用了平行线构造了Z字形的相似模型，解决了这个问题，非常好！

经统计想到此方法的学生占多数。

师：还有其他解法吗？

生2：如图3，因为AB>AC，∴在AB上截取AE=AC，联结ED，过B作BF∥ED交AD延长线于F，可证：△AED≌△ACD，∴ED=DC，∠ADE=∠ADC，又ED∥BF，∴△AED～△ABF，∴△ACD～△ABF，∴■=■，又DE∥BF，∴∠ADE=∠BFD，且∠ADE=∠ADC=∠BDF∠BDF=∠BFD，∴BF=BD，∴■=■。

分析：在生1添平行線思路的启发下，构造了A字形相似模型，利用全等、等腰三角形进行线段、角的等量代换，证得结论成立。

生3：如图4，因为AB>AC，∴在AB上截取AE=AC，可证：△AED≌△ACD，∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，作EF∥BC，∴∠EFD=∠ADC，∴∠ADE=∠EFD，∴ED=EF，因为EF∥BC，∴△AEF～△ABD，∴■=■，∴■=■。

分析：与生2相比较，在△ABC内部作平行线构造A字形相似模型，生2与生3方法有异曲同工之妙。

生4：如图5，过点B作DE⊥AE于E，过点C作CF⊥AE于F，可证：△BED～△CFD，△ABE～△ACF，∴■=■，■=■，∴■=■。

分析：生4另辟思路，作垂线，构造两对三角形相似，通过两次相似，证得结论成立，为师眼前一亮，其他同学也为之叹服，受其鼓舞继续积极投入思考当中。

生5：如图6，在AD上取点E，联结CE，过B作BF∥CE，可证：△BFD～△CED，∴■=■，可证：■=■，∴■=■。

分析：在生4的启发下，更一般性地在AD上取一点E，通过添平行线构造Z字形相似模型，思路更显通性通法。但（BF/CE）=（AB/AC），为什么相等？等式的出现有点唐突，一再追问，说不出所以然，勉强认为△ACE～△ABF，但这两个三角形真的会相似吗？又是属于哪种判定呢？似乎条件又不够。但与所求证的结论比较，（BF/CE）=（AB/AC）一定成立，思路僵住了。可望又不可及，学生被其强烈地吸引着，终于被生6打破了僵局。

生6：如图7，在AD上取一点H，联结CH，使得CH=CE，∴∠CEH=∠CHE，又因为CE∥BF，∴∠F=∠CEH，∴∠F=∠AHC，且∠BAF=∠DAC，∴△ABF～△AHC，∴■=■，■=■，∴结论成立。

此时学生纷纷鼓掌，为生6巧妙解法折服。正在这时生7提出质疑：你怎么保证做出的CH=CE呢？若∠CED是钝角又怎么办？

生6：用圆规以C为圆心，CE为半径画弧交AD即可。

太精彩了，学生的智慧得到了充分发挥。

师进一步启示：“刚才同学们所用的方法都是从相似的角度来思考，能否不用相似来试试。”话音刚落——

生8：过C作CE∥AD交BA延长线于E，∴∠DAC=∠ACE，∠BAD=∠EAD平分∠BAC，∴∠ACE=∠E∴AC=AE，又∵AD∥CE，■=■，∴■=■。

分析：真是太聪明了！居然从△ABC的图形上部入手，还是添平行线法，实际上用了平行线分线段成比例的定理获得结论成立。当然，过B作AD的平行线也可，方法类同。至此证明此题所用的方法有六种之多，均采用平行相似的方法，唯独没想到面积之法，作为教师既欣喜又着急，欣喜的是用平行相似的方法学生居然想出那么多，真是意料之外，可见集体的智慧是不可忽视的，着急的是面积之法怎么想不到。

师终于按捺不住：“刚才大家所用的均是从平行相似的方法来解决的，能否不用这个方法来试试。”

经这么一提醒，终于有学生从面积的方法来解决——

生9：过D作DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，

■=■，■=■=■，∴■=■，∴结论成立。

当然，本题也可用三角函数来解决，由于课堂时间有限，这里不再介绍。就这么一节课，让我感慨万千：

第一，方法之多。学生为什么会想出那么多方法，备课之前本人也没有想到那么多，值得深思。我们的教学是否必要面面俱到，这样是否束缚了学生的思维，作为教师更应该为学生营造一个良好的学习氛围与平台，宽松民主的课堂环境至关重要。鼓励每一位学生大胆、积极发言，百家争鸣，思维的火花在碰撞中激发。每一位教师都很珍惜课堂时间，我们应该把更多的时间让给学生，保证学生充分思考的时间。

第二，选题要精简。本例题的条件与结论简洁明了，避开烦琐冗长的熬述，起点低，让每一位同学均可跃跃欲试，将会激发学生强烈的解题欲望。

第三，遗憾的面积法。问学生怎么没想到面积法，学生齐声回答：“最近一直在学相似三角形。”是啊，学生最近所学的是相似三角形，首先想到的是相似方法，这也是很自然的，也就是所谓的“最近发展区”。其实我们思考问题均是从最近发展区考虑，当然学生固有的经验知识也不可忽略。

第四，纵有方法之多，万变不离其宗，均围绕平行线、角平分线做文章。

经提炼：（1）角平分线与平行线的组合模型：

AC平分∠BAD，AD∥BE？圯AC=BC，如图10（学生2采用就是这种方法）

■

AE平分∠DAC，AE∥BC？圯AB=AC（如图11），（学生8采用的就是这种方法）

（2）相似模型：

■

（3）指导思想：把分散的线段集中在同一直线上或平行线上，利用平行线分线段成比例解决。

本题涉及七种方法，其中前六种把平行相似的方法发挥得淋漓尽致，学生自觉不自觉地运用了上面相似模型及平行线与角平分线组合模型。尽管生5的方法有点复杂，证明时也遇到障碍，但其从生4的启发下，创造性地从上通法考虑，值得点赞，说明学生已有一定的通性通法的思考意识，思维上了一个层次。生8从图形上部添辅助线，眼前为之一亮且方法简洁。事实说明：给予学生足够的思考时间，学生会有各种意想不到的妙想，集体的智慧是很强大的。

（作者单位：浙江省宁海力洋镇中学）