梁竹+黎福庆

一、概念的引入

问题1：观察图中的房屋，有你熟悉的空间几何体吗？

生：图中有长方体、棱锥、棱柱等几何体。

师：（用几何画板动态演示从该房屋中抽取出一个长方体）长方体由哪些几何元素构成？

生：长方体由点、线、面这3个几何元素构成。

师：点、线、面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界。关于点和线，我们在初中已经详细研究过了，今天主要和大家探讨平面及其基本性质。

【评析】这么一栋漂亮的别墅竟然是由一些几何体组成的，这让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界。这些几何体到底是什么样的结构呢？接着，执教老师以学生熟悉的长方体为载体，提出新问题，这样设计教学有利于激发学生的学习兴趣，让学生感受到学习数学是必要的、有用的。

二、概念的生成

问题2：（1）生活中有哪些事物给了我们直线的形象？（2）直线有哪些基本特征？（3）如何表示直线？

生：黑板的边缘、空中划过的闪电都给我们以直线的形象。

师：数学中的直线就是从同学们刚才所举的例子中抽象出来的。那么，直线有哪些基本特征呢？

生：直线是直的，向两边无限延伸，无粗细之分。

师：如何表示直线？

生：在几何中用线段表示直线，但是直线两端可以无限延长；用符号表示直线，记作：直线AB或直线a。

【评析】学生已经学习过直线这一概念，这是他们已有的经验，在此基础上，执教老师引导学生将学习内容与学生的已有经验联系起来，把直线这一原始概念理解透彻。用研究直线概念的方法可以类比、迁移到对平面概念的研究，有助于学生理解抽象的平面概念。这一做法体现了“抱住”直线学习平面的理念。

问题3：（1）生活中哪些例子给了我们平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）如何表示平面？

生：桌面、黑板面、光滑的玻璃面、平静的水面等都给我们以平面的形象。

师：几何里所说的平面就是从同学们所举的例子中抽象出来的。那么，平面有哪些基本特征呢？

生：平面是平的，无限延展，没有厚薄之分。

师：真不错！这位同学考虑问题很全面。那么，我们如何表示平面呢？接下来，我们通过类比画线段表示直线的方法，画出矩形表示平面，但观察角度原因，当平面水平放置时，矩形的平面变成为平行四边形。同样地，类比直线的表示方法，我们可以将平面记作：平面ABCD，平面AC，平面α。

【评析】纵观平面概念的生成过程，执教老师通过类比直线的表示方法，帮助学生认识平面，使学生经历概念形成的过程，对概念理解达到概念学习的水平，同时将直观与抽象、比较与类比等思维方法贯穿于教学中。

三、性质的探究

师：我们知道，两点可以确定一条直线，那么多少个点可以确定一个平面呢？

生1：3个点。

生2：4个点。

师：同学们的看法不一样。这样吧，我们动手来做一个数学实验，看看到底几个点可以确定一个平面？

（一）实验1：用手指头将一块硬纸板固定在空中的某一个位置，保持平衡，至少需要几个手指头？

学生动手做实验，小组讨论，最后学生代表分析并展示结果。

师：哪位同学来谈一谈自己的看法？

生：至少需要3个手指头才能将硬纸板固定在空中的某一个位置并保持平衡。

师：如果把硬纸板看作一个平面，将一个手指头看作一个点，你能用一句话归纳你的发现吗？

生：三点可以确定一个平面。

师：任意三点都可以确定一个平面吗？

生：不行。如果这三点处于同一条直线上就无法确定一个平面。

师：这位同学抓住了问题的本质，三点不一定可以确定一个平面。那么，正确的表述应该是什么？

生：不在同一条直线上的三点可以确定一个平面。

师：很好。这实际上就是课本第42页的公理2（公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面）。如何用图形语言表示公理2以及公理2的作用？请你说说公理2在生活中的简单应用。

生：在生活中的简单应用有照相机、测量仪器的三角架定位、三角形所在平面的稳定性等。

【评析】公理2的内容不仅给出了确定一个平面的依据，即“过不在一条直线的三点有一个平面”，而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”。另外，公理2还可以判断直线与平面的位置关系，比如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内，为学生学习公理1作了铺垫。

（二）實验2：如果把硬纸板看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：（1）你能使笔上的一个点在平面内，而其他的点不在平面内吗？（2）你能使笔上的两个点在平面内，而其他的点不在平面内吗？

师：你能根据上述两点知道什么？

生：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

师：这是公理1的内容，我们如何用图形语言和符号语言表示这个公理呢？

生： 如图：

师：根据公理1的3种表示方法，请你总结出公理1的作用。

生：公理1为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在平面内画一条直线提供了理论依据。通过分析，我们知道，直线向两边无限延伸，无限延伸的直线放在平面内，说明平面也向四周无限延展。公理1的作用在于用直线的“无限延伸性”来检验平面的“无限延展性”。

师：请你举例说明公理1在生活中的简单应用。

生：比如工人用直棒检查墙面是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否平整。

（三）实验3：把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？

生：不是。

师：平面是向四周无限延伸的，对于两个不重合的平面，如果有一个公共点，那么一定有一条过该点的公共直线。那么，它们还有除了这条交线以外的公共点吗？

生：没有了。

师：请你归纳出关于以上描述的一个基本事实。

生：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

师：这就是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。我们如何用图形语言和符号语言来表示公理3？

生：α∩β，如下图所示

【评析】执教老师设计了3个实验，通过让学生操作，直观感知抽象的点、线、面的关系，降低了学习难度，调动了学生的学习积极性。

四、课堂小结

师：通过这节课的学习，你有什么收获？

师：思考用类比的思想、联系的观点，以及延续本节课研究的3个公理的基本方法，你认为研究线面平行，线面垂直等判定定理、性质时可以从什么地方入手？

【评析】这样的课堂小结，使得学习内容不只拘泥于认识平面及其基本性质，更为重要的是让学生初步掌握研究线面平行、线面垂直等定理、性质的基本方法，为整章立体几何的学习谋好篇、开好局、定好调。

【总评】

一、以“问题串”的形式引领学生的思维，将“数学抽象”与“直观想象”两个高中数学核心素养落实在教学中

教学伊始，执教老师设计的问题中有4个小问题：观察图中的房屋，有你熟悉的空间图形吗？生活中有哪些事物给了我们直线的形象？直线有哪些基本特征？如何表示直线？再到后面的3个实验，实际上这也是3个问题，最后还有反思性的小结，也以问题的形式出现。可见，在本节课中，教师用“问题”串成了整节课的教学。

《高中数学课程标准》（以下简称课标）提出：要培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。要做到这一点，教学时执教老师首先要有“设计问题”的意识，要有准确提出问题的能力，这是因为，“问题”可以驱动学生思考。在这节课里，执教老师将“问题”连成串，前后互相联系，使学生的思维形成一个整体。此外，教学前后的“问题”呈现出相似的结构特点，如问题2：（1）生活中有哪些例子给了我们直线形象？（2）直线有哪些基本特征？（3）如何表示直线？问题3：（1）生活中有哪些例子给了我们平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？其实，执教老师设计的3个实验也是3个问题，这就使得学生的思维有了目标。

其次，教师设计的问题要有挑战性，对于“不共线的三点可以确定一个平面”这个结论，学生的操作非常精彩，这是一个思维精致化的过程，也可以说是批判性思维的过程。在学生学习3个公理的过程中，执教老师借助几何直观和空间想象，让学生感知平面的性质，增强了运用点、直线和平面去想象空间问题的意识，提高了数形结合的能力。

二、以活动促进学生探究

让学生主动探究是数学教学的目标，本节课就很好地体现了这一教学追求。假如学生在活动中出现“一问一答”的情况，那么这是简单的回答，思维步子迈得太小。在本节课中，学生通过实验进行探究、汇报、交流，通过“观察”“猜想”得出结论，同时进行判断、验证并举出反例，这对促进思维的发展是非常有益的，有助于培养学生用数学建模思想解决问题的意识。

三、研透教材，变换教材中的3个公理的顺序并尝试教学

在設计教学时，执教老师打破教学传统，将教材中的公理2放在公理1之前学习。

从教材内容顺序而言，3个公理的顺序依次是公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。目前，正在修订的课标和执教老师设计的这个教学顺序较为一致，因为正在修订的课标有可能会把“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”作为公理1。其实这个从希尔伯特的公理体系来讲，它们都是公理，照理说它们的顺序并不重要。比如，过去数学教材把公理1作为定义，其实公理1是最能够阐释平面“平”的特征，它是用直线的“直”刻画平面的“平”，公理2、公理3都出现在公理1之后。而目前正在修订的课标，拟定将“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”作为公理1。笔者认为，这个顺序是符合希尔伯特的公理体系的。执教老师的教学设计与希尔伯特这个公理体系比较接近。这样设计教学的优点在于，学生首先要对平面有所认识，然后才能更好地说明点、线、面的关系。

四、几点启发

1.“问题导学”教学模式体现了“学生为主体，教师为主导，探究为主线”的教学理念，突出培养学生的数学能力和数学素养。“问题导学”教学模式的课堂教学，始终围绕“问题”进行，整个教学过程可以概括为提出问题、探究问题、解决问题、生成问题。那么，教师如何设计问题呢？好的教学一定是源于对教学内容的深刻理解，源于对学生认知基础、认知能力的准确把握，因此，提问的关键是要自然。

2.有效设计数学实验。数学实验能够营造丰富生动的学习情境，使学生积极参与教学过程，真正体现学生的学习主体地位。在实验过程中，学生始终以研究者的身份出现，变“听”数学为“做”数学。高中立体几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标，引导学生通过观察、操作等获得数学结论，经历从实际背景中抽象出数学模型、从生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程。当然，执教老师通过几何画板动态演示数学知识的形成过程，增强了教学的直观性，为学生的研究性学习提供了平台。

（责编 欧孔群）