赵迎春+布仁满都拉

摘要：随着科学技术的发展，高等数学被广泛应用到自然科学和社会科学中，因此该门课程也成为了高等院校最重要的基础课之一。本文将结合自己的教学实践，浅谈高等数学的教法、学法与认识，提出高等数学教学的几点建议。

关键词：教学方法；教学改革；高等数学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）51-0203-03

高等数学作为高等院校最重要的基礎课之一，通过该门课程的教学，不仅让学生学到专业所需的基本数学知识，还能培养学生各方面的能力。因此任课老师在教学中应该怎么样提高教学质量是一个值得深思的问题。本文将结合自己的教学实践，浅谈高等数学的教法、学法与认识，提出高等数学教学的几点建议。

一、课程简介与教学目标

高等数学是高校理科和文科相关专业学生必修的一门重要基础理论课程，比如理科中的计算机、物理、生物、化学、医学的相关专业和文科中的财经管理类专业都开设了高等数学课程。这门课程对于各专业后继课程的学习起着奠基的作用。例如：物理学、控制论、流体力学和电动力学等专业课程都要用到高等数学中的数学知识。以流体力学为例：质量、动量和能量守恒都可以用数学微分方程来表示。另外，大学生毕业参加工作后也会用到高等数学所学的知识，例如：数据分析、机械设计、游戏软件设计、城乡规划、建筑设计、风景园林设计、房地产管理和测量工程等工作领域都涉及高等数学知识。

高等数学的教学主要有以下三个方面的培养目标。

一是知识培养目标。通过高等数学的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本定理和基本计算方法，为大学生的专业发展和以后的工作奠定基础。二是能力培养目标。通过本课程学习，培养学生比较熟练的运算能力、分析问题和解决问题的能力及交流协作能力。教学者看重的第三个培养目标为学生的素质培养。高等数学是一门理论严谨、逻辑缜密的学科，其一切结论都有依据，并经过了严格的逻辑论证。因此，这种科学的实事求是精神就可以很好地培养学生严谨的学习态度和习惯，使学生养成尊重客观事实，不固执不偏激，既敢于坚持真理，又勇于修正错误的品格。

二、教学内容、重点和难点

高等数学这门课程的教学内容主要包括函数与极限、导数、不定积分、定积分、微分方程、几何与向量代数、重积分、曲线积分、曲面积分和无穷级数等丰富的内容。其中，教学的重点为高等数学中的基本概念、基本定理、基本计算方法及涉及的数学思想方法（如换元法、分类法、反证法、数学归纳法）。教学的难点为：极限、导数、定积分等抽象概念的引入，定理的理解和应用，导数、积分和微分方程的计算方法等。

三、教学方法和学习方法

1.教学方法。讨论教学方法和学习方法前，先对教学对象做好学情分析。高等数学的授课对象是大一的新生，思维活跃，学习积极性高。学生在入学前学习了初等数学内容，已经具备了学高等数学的能力。但是，由于学生生源的多元性，学生基础差异明显。另外，高等数学与初等数学在学习模式、教学观念、教法上都有所不同。那么，在高等数学教学的第一堂课上任课老师应交代清楚以下三个方面。首先，应该给学生介绍为什么要学高等数学。因为在生活中很多物理、化学、生物、医学和经济的问题都可以用函数来表示，如速度、温度、浓度、电势分布和磁场一般都是空间和时间的函数，还比如位移s关于时间t的二阶导数等于加速度a，即■=a；流体的速度u和质量密度ρ满足微分方程■+ρ（？塄·u）=0，称为质量守恒方程。求解微分方程就是导数的逆运算过程，即积分运算。其次，介绍高等数学的课程内容特点、学习方法，特别需要让学生认识到初等数学和高等数学在学习模式、教学观念及教法上的转变。最后，列举一些实际例子进一步说明高等数学和初等数学的不同之处，让学生明白原来高等数学如此有用，激起学生的学习兴趣。

课堂教学结构大致可以分为如下几步。第一步，复习。讲新内容前复习与本节课核心内容有关的知识，比如讲新内容二重积分的概念前，先复习前面已经学过的定积分的概念及其相应的性质，因为二重积分计算可以转化为定积分的计算问题。第二步，通过讨论实际问题，引入新课。比如，讲导数的定义时，我们可以先跟学生一起讨论切线问题或瞬时速度问题，用这些实际问题引出导数的概念。这样做的好处是学生容易接受下面要讲的抽象概念和定理。下面以导数的概念为例。

（1）首先考虑切线问题。假设函数y=f（x）在点x■附近有定义，求曲线y=f（x）的过P■（x■，f（x■））的切线L的斜率。当点P（x，f（x））沿曲线y=f（x）趋于P■（x■，f（x■））时，割线P■P趋于切线L。

所以，当点P（x，f（x））沿曲线y=f（x）趋于

P■（x■，f（x■）），即Δx→0时割线P■P的斜率k■趋于切线L的斜率k■为：

k■=■k■=■■=■■，

Δx，Δy分别是自变量和函数值的改变量。上述式子表明k■表示函数y=f（x）在点x■处的变化率，这意味着：k■越大，x■点附近函数值变化越大。

（2）利用切线问题引入导数的严格定义：设函数y=f（x）在点x■的附近有定义，当自变量x在x■处取得增量Δx时，相应的函数取得增量Δy=f（x■+Δx）-f（x■）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点x■处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x■处的导数，记为f′（x■），即

f′（x■）=■■=■■

第三步，导入新内容。这部分内容一般包括定义、定理、例题讲解等。讲解新内容时，一定要做到思路清晰，证明或推导过程有序而严谨、书写规范。另外，我们在教材中会接触到一些以微积分的创立者和先驱们的名字命名的重要定理和概念，如牛顿—莱布尼兹定理、柯西—施瓦兹不等式、拉格朗日中值定理、Bolzano—Weierstrass定理、富里叶三角级数等。如果在课堂教学过程中适当地加入这些重要数学人物生平和业绩的介绍，不仅可以提升学生的学习兴趣，还可以传递数学思想的作用，对我们的课堂教学起到画龙点睛的作用。第四步，课堂练习。选择与新内容有关的数学题，让学生课堂上互相讨论并完成。课堂练习的目的在于让学生能够更好地掌握和应用所学的数学知识。第五步，布置作业。作业应当涵盖本节课的全部知识点，目的是让学生课后复习并进一步巩固本节课的内容。

2.学习方法。数学知识不应仅靠传授获得，而应该引导学生自己去发现，独立地掌握。因此，指导学生培养正确的学习模式是非常重要的。在教学中，要求学生应做到以下几点。（1）认真听课，充分利用课堂时间。高等数学的内容比初等数学的内容抽象。课堂上，老师讲具体的教材内容前会介绍内容的背景和应用情况。这一讲解过程对学生至关重要。听课过程中，学生仔細听详细证明和计算过程的同时在不明白的内容上及时做标记，以便在课堂或课后找时间和同学或老师讨论。（2）不懂的地方要及时弄清楚。高等数学的一个重要的特点是章与章之间紧密联系。在下一章的内容中肯定会用到前面章节的内容。所以，学生一定要及时多问不清楚的内容，不要积累以免影响后面的学习。（3）课后细读课文，理解基本概念和定理，真正吃透课本内容。这样做的好处是能提高学生的自学能力和独立思考能力。（4）在理解基本概念和定理的基础上，一定要多做题。数学题的解答过程需要繁冗的推演、反复的运算，因此通过多做题可以熟练地掌握所学数学知识，进而可以解决实际问题，提高自己发现问题、解决问题的能力。另外，学生在解决问题的过程中，会运用逻辑思维，通过独立思考、概括总结、不断创新、不断积累，最终把问题解决，这种过程也是对学生的一种很好的锤炼。

四、教学手段

高等数学偏于理论，注重逻辑推理，学起来比较枯燥乏味，大部分学生对这门课程的学习没有积极性。英国科学史家丹皮尔曾经说过“再没有什么故事能比科学发展的故事更有魅力了”。因此，教师可以合理地运用数学历史题材，增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣。例如，在讲解知识点之前尽量让学生了解所学知识点所产生的实际背景，在讲解知识点后尽量列举一些学生较熟悉的实际应用例子。如讲解对坐标的曲线积分时，可以引进变力沿曲线做功的问题，激发学生的学习兴趣，让他们发现数学的美及其重要应用性。教师的幽默语言、诙谐比喻、个人魅力和有趣的问题等也能提高课堂的趣味性。

高等数学的教学内容基本都是抽象的概念和定理。因此，在教学中有效地结合多媒体，将传统数学教学中不能直观表示的抽象概念、定理等通过图表、图像、动画等多媒体生动地表现出来，使其直观化，使学生易于理解和掌握。比如用动态图形向学生展示泰勒多项式逼近一个函数的直观动态过程，这一过程在黑板上根本无法实现。另外，多媒体教学效率高、信息量大，也可以在有限的教学时间内展示更多的知识，并且可以丰富教学活动，提高教学的趣味性。特别在涉及图像绘制与大段定义定理的描述时，使用多媒体教学更佳。例如，一元、二元函数导数的几何意义、不定积分的几何意义和定积分的定义等，利用幻灯片演示就能达到良好效果。但我们不提倡整个教学过程都用多媒体，例如数学中大量的演算推理，若用多媒体教学，会因速度太快导致学生消化吸收不了。

参考文献：

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[4]蒲和平，黄廷祝，干泰彬，何军华.高等数学课程教学中探究式教学法的研究与实践[J].大学数学，2013，29（3）：147-150.

Methods of Teaching and Learning of Higher Mathematics at University Level

ZHAO Ying-chun，Mandula Buren

（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng，Inner Mongolia 024000，China）

Abstract： With the development of science and technology，higher mathematics is widely used in natural and social sciences，and consequently，it becomes one of most important elementary courses in university. In this paper，the methods of teaching and learning of higher mathematics and understanding of mathematics are discussed based on our teaching experience. We also propose some advice about teaching and learning.

Key words：teaching method；educational reform；higher mathematics