◇刘付茵 江春莲

数学课堂研究的多重视角
——ICME-13中卡尔教授的报告及其对我国小学数学教学的启示

◇刘付茵 江春莲

2016年7月24—31日，第13届国际数学教育大会（ICME-13）在德国汉堡召开。本文主要介绍来自新加坡南洋理工大学的柏林德杰特·卡尔（Berinderjeet Kaur）教授的大会报告“数学课堂研究——多重视角”的内容。作为本文的结尾，我们将结合我国中小学数学教学实际情况作出反思。

一 数学课堂教学研究的背景

1．1995 年 TIMSS（简称 TIMSS1995）的视频研究。

1995年，作为TIMSS（国际数学与科学评测趋势的简称）组织者的国际教育成就评价协会（IEA）首次关注数学课堂教学，对德国、日本和美国三个国家的八年级数学教师调查取样，对样本中的每位教师的一节课进行教学录像，共录制教学录像课德国100节，日本50节，美国81节。分析结果最后呈现在《教学的差异：世界教师的改进课堂教学的精彩观点》[1]（简称《教学差异》）一书中。

从《教学差异》一书中，卡尔教授得到一个重要的启示：教学是一项文化活动。她引用该书中的两段文字进行说明：

“简单地说，我们很惊讶地发现，不同文化之间的教学差异特别明显，而在同一文化内的教学差异则比较小。”

“年复一年，我们在教室中学习，于是间接地学习到如何教学。但是我们几乎没有意识到，在我们自己的文化里，我们的教学有一些共通的特点。”

卡尔教授指出，TIMSS1995的视频研究从宏观的角度（即用广角镜头）来分析不同国家的数学课堂教学模式，如美国的数学课堂教学一般由如下四个教学部分组成：复习先前的知识、教师演示如何解决当天要学习的问题、学生练习、检查错误并布置家庭作业。卡尔教授强调三个国家的数学教学活动都围绕数学问题的解决进行，学习解决问题的过程或方法，但各个国家的处理方法则有较大的不同。如日本教师在展示问题后，学生先分小组或独立地解决问题，再在全班分享、讨论解题方法，最后教师进行总结、强调学习的重点；美国教师直接演示解题方法，然后让学生做练习；德国教师在展示问题后，师生讨论，形成解决问题的过程。

2．1999 年 TIMSS（简称 TIMSS1999）的视频研究。

TIMSS1999重复了TIMSS1995的研究，但在TIMSS1999的视频研究中，参与国家和地区增加到了七个，即澳大利亚、捷克、中国香港、日本、荷兰、瑞士和美国，其研究报告由美国教育部教育科学研究院发布，题目是“七个国家的数学教学：TIMSS1999 视频 研究结果”[2]。TIMSS1999 的视 频研究突破了用广角镜头研究课堂教学所带来的局限，主张用特写镜头研究课堂，以便得到对研究结果有意义的解释，因此TIMSS1999改进了TIMSS1995的编码系统。该报告也提出了许多有意义的继续研究方向，将数学课堂教学的国际比较引向深入。

二 20世纪90年代新加坡的数学课堂研究

在TIMSS1995中，新加坡学生第一次参加IEA的国际数学研究，其四年级和八年级的学生表现都很好，这引起国际社会对新加坡数学教学与学习的关注。新加坡的教育工作者也对自己国家的数学课堂教学活动越来越好奇，在20世纪90年代，新加坡在数学课堂教学研究方面的课题有两项，分别是 1995—1996年间参与的开赛尔项目(Kassel Project)和1998—1999年间的五年级数学课堂研究。其中，开赛尔项目是一项国际比较研究，由英国普利茅斯大学的数学教学创新中心主办。卡尔教授与叶淑菲 (Sook-Fe Yap)博士在1995年和1996年分别观察了新加坡21节八年级的数学课和22节九年级的数学课，并用课堂教学评估表进行记录。

1．开赛尔项目1995年的数据。

开赛尔项目1995年观察的21节八年级的数学课来自七所学校。该项研究不仅记录了不同的教学方法和教学资源使用的频次，而且对教师的教学和班级的特点进行了评分。

该研究发现，新加坡的数学课堂有如下特点：数学教学是任务导向的；教师通过讲解来展示知识；教师常常示范如何解题，不仅示范解题的每一个步骤，而且更强调解题过程、答案和准确性，但忽略了概念和过程；教师对教学有热情、对学生抱有较高的期望；教师能自信地处理数学问题；教学明确清晰；教师围绕可实现的目标组织课堂教学活动；教师几乎会批改每次的作业并给出评分；经常使用黑板、课本和投影仪。新加坡学生的特点是：安静、注意力集中、看起来很开心，但是很少主动回答或提问，对教学是接受式的和任务导向式的。

2．五年级数学课堂研究。

这是一个小型的研究，也是新加坡第一个数学课堂视频研究，着重调查新加坡在提出“思考的学校 学习的国家”和信息技术掌握第一个五年计划等改革措施后，五年级数学教师的课堂教学实践情况。该研究选取了两所学校的四名教师，他们所教学生的能力水平各不相同。该项研究共记录了5节时长均为一小时的课，事后对相关教师作了访谈。

这项研究的数据分析采用的是广角镜头，关注的是宏观层面的两个问题：一是两所学校数学课堂的相似与不同之处，二是上述两个改革措施对教师教学的影响。对前一个问题的研究结论有以下两方面。（1）两所学校的数学课堂有很多相似之处，如：都是教师主导型的；课堂上三分之二的时间都是教师在讲，余下的时间则是学生独立或以小组合作的方式完成课堂任务；学生发言主要是回答教师提出的问题或要求教师作更清晰的说明；课堂任务主要是帮助学生理解和运用知识；课堂和课后作业更多的是训练解题技巧、运用知识解决常规性的问题和为考试作准备。（2）两所学校的数学课堂的不同之处在于：其中一所学校为学生提供了更丰富的教学活动，但是这些活动并不能帮助学生提高任何特定的思维策略或技巧。对后一个问题的研究结论是：两所学校的课堂都没有证据显示其课堂教学活动有助于学生发展思维策略或技巧，信息技术对教学的影响也不明显。

三 新加坡参与学习者视角的视频研究

新加坡从2004年开始参与学习者视角的研究（Learner′s perspective Study，简称 LPS）。LPS 是由澳大利亚墨尔本大学大卫·克拉克（David Clarke）领导的研究，其主要目的是更全面、深入地研究各国八年级被公认为教学优秀的数学教师的教学，迄今为止，参与国家和地区达15个，中国香港和内地都参加了。

卡尔教授认为新加坡参与这项研究的主要目的是：记录八年级优秀数学教师的课堂；从学生的角度研究教材和课后作业的作用，以及好的数学课堂的构成要素；从教师和学生两个角度来分析提高数学教学质量和学生学习效果的课堂教学方法。参与该研究的三名新加坡的优秀数学教师来自三所不同的学校，教师A和教师B均为女教师，所教学生水平中等偏上，A的教龄为21年，B的教龄为27年；教师C是男教师，所教学生水平中等偏下，有15年的教龄。该研究对每位教师录制了连续的10节课，并运用扎根理论进行数据分析。

在这些课堂里，总共出现了如下六种教学活动：（1）全班演示（Demonstration，简写为 D），通过对全班学生的教学帮助学生形成对数学概念和技能的理解；（2）课堂作业（Seatwork，简写为 S），教师让学生独立或以小组合作的形式完成课堂作业；（3）教师对全班评讲作业（Review，简写为 R），特别是刚刚完成的课堂作业；（4）各种管理方面的杂项，包括各种形式的活动安排过程、课堂纪律管理等；（5）小组测验，这种活动只在教师B的课堂上出现过，学生分组后以竞争的形式解决问题；（6）课上测验，这种活动在教师A和教师C的课堂上出现过。研究者用以上六种教学编码记录每节课的课堂结构，还记录了每个环节对应的教学内容和教学目的。研究发现，每节课不仅有一些大的教学目的，而且在每个环节都有更加具体的逐步递进的更细的教学目标。通过对教师每节课教学结构的分析发现，教师A和B的课堂常以D—S—R的形式循环，而教师C的课堂特点则不十分明显。从三名教师的各项教学活动所占时间的长短和出现频次来看，大部分的课堂教学时间也是做这三种类型的活动。

卡尔教授指出：这种对课堂结构的分析仍然是比较粗略的，我们还需对课堂对话的本质作更细致的分析。如全班演示部分，占课堂教学时间的比例通常超过了20%，但不超过33%；教师主要运用例子（包括数学概念的例子和典型的数学问题）作为教学工具，解释数学概念和问题解决的技巧，教师在其中起着最积极的作用；教师使用的例子是基于问题的复杂性递进的方式精心挑选的。再看全班演示过程中的师生对话，它常以“教师提问—学生回答—教师反馈”的形式循环。有经验的数学教师的提问，常常不局限于让学生知道是什么（如正弦、余弦的值总是不超过1），而且让学生明白为什么（因为三角形的斜边大于直角边）。

作业讲评是紧跟着学生的独立作业（包括课堂作业和家庭作业）、小组作业和测验的一个环节。教师A和B花在这种教学活动上的时间占整个课堂教学时间的25%左右，教师C则达40%，这可能是因为教师C所教学生属于中下水平，所以需要更多的时间督促学生订正错误。这种教学活动看起来也是教师主导的，但是讨论的内容围绕学生作业中出现的错误，帮助学生从错误中学习，而且常常展示问题的详细解答过程和多种解法；讲评的目的并不是最终的正确答案，而是帮助订正学生解题步骤中的错误概念和过程。

卡尔教授对三名教师的课堂教学研究总结如下。（1）广角镜头式：课堂结构很类似，基本上是先设置教学情境，将旧知识与新的教学内容联系起来；然后老师解释概念或展示解决问题的步骤；接着布置课堂作业；最后讲评课堂作业。这样的课堂看起来是以教师为中心的，主要由教师的揭示和学生的练习组成，可能会被误解为灌输和机械练习。（2）特写镜头式：这些课常由紧密安排的D—S—R循环组成；每一个循环都有特定的教学目标，各个循环又是根据知识内容循序推进的；用于全班演示的例题常常是精心挑选的、按从易到难的顺序呈现的；学生完成课堂作业时，教师在教室巡视，给有困难的学生提供即时的指导，选择合适的学生作业用于后续的课堂讨论，所以教师通过课堂作业了解学生对课程内容的理解，生成形成性评价，并对自己的教学进行主动调整；通过针对学生课堂作业和家庭作业进行的全班形式的讲评帮助学生深化对相关学习内容的理解。所以看似是以教师为中心的课堂，实则既是以教师为中心的，更是以学生为中心的。

该研究还调查了学生对数学课堂教学的看法，数据来源于课后对学生的访谈。对学生的访谈，除了让学生说出课堂上哪部分的内容对他们是有意义的，还以如下两个问题进行结构性访谈：（1）对你来说，这节课好吗？（2）如果不好，要怎么改变才会让你觉得它是一节好的数学课呢？通过对重点聚焦组学生的访谈发现，D、S、R这些教学活动对学生来说都是有意义的，而且学生认为如果一节课包括下列特点中的一部分就是好的数学课：（1）教师能清晰地解释概念和解题过程；（2）教师能通过示范、使用教具和现实生活中的例子将复杂的知识变得容易消化；（3）教师能回顾旧知识；（4）教师讲解新知识；（5）教师能通过对学生的作业和小组报告给个人和全班学生以反馈；（6）对课内外的数学活动，教师能给出明确的指示；（7）教师能提供有趣的活动作为个人或小组作业；（8）教师能提供足够的练习帮助学生为考试作准备。

综合三名教师的数学课堂教学研究和学生对数学教学的看法，可以得到提高教师的课堂教学质量和学生的学习质量的教学活动有：（1）全班演示，具体包括教师清晰地解释概念和解题过程，通过示范、使用教具和现实生活中的例子将复杂的知识变得容易消化，讲解新知识等3项；（2）课堂作业，具体包括教师对课内外的数学活动能给出明确的指示，提供有趣的活动作为个人或小组作业，提供足够的练习帮助学生为考试作准备等3项；（3）回顾和反馈，具体包括教师带领学生回顾先前的知识，和教师通过对学生的作业和小组报告给个别学生或全班以反馈等2项。

四 传统教学与东亚国家学生的数学学习

卡尔教授引用了两段文字说明数学教育界对东亚国家数学教学的看法：

“一般认为，东亚的教学是很传统的，这也是东亚国家的学生能在TIMSS和PISA（国际学生评估项目的简称）中表现优异的主要原因。”[3]

“东亚的数学教学，主要是内容导向的，并且是为考试作准备的。教学主要是教师控制的，学生参与极少。教学通常是全班式的，班级通常较大，几乎没有小组活动，强调死记硬背，学生需要做大量的练习，以培养他们的数学技能，而不是发展透彻的理解。”[4]

那么东亚的教学能否作为新加坡学校的数学教学的准确指南呢？新加坡的被称为核心2的研究（The CORE 2 Study）结果可以部分回答该问题。核心2的研究关注的是九年级的数学和英语教学实践，数据来自新加坡32所有代表性的中学约120个班级，涉及学生超过4000名，数据收集工作在2010年完成。

该研究运用结构方程模型(Structural Equation Modeling,简写为SEM)分析如下四种教学模型之间的关系：（1）传统教学，包括5个构成要件，即对工作纸和练习册的关注，对教材的关注，对基本事实、法则和解题过程的练习，对背诵的关注，和为考试作准备；（2）直接教学，包括5个构成要件，即学习时间最大化，教师评讲学生作业，教学结构条理清晰，练习的频率，以及提问的频率；（3）为理解而教，包括11个构成要件，分别是关注理解，提问质量，交流学习目标和表现标准，好奇心和兴趣，灵活的教学，全班讨论，小组协作，教师对小组作业的指导，对学生学习的监控，对个别学生的反馈，以及对全体学生的集体反馈；（4）共控学习策略，包括3个构成要件，即自主学习、自我评价和同伴互评。自主学习包括教师鼓励学生设置自己的学习目标、确定实现目标的策略及时常检查目标是否按计划逐步达成。自我评价包括教师让学生对自己的作业评分、解释评分的原因、期望学生讨论各自的评分及鼓励学生对自己的作业写评语。同伴互评包括教师让学生给其他同学的作业评分、解释评分的原因、期望学生讨论对他人的评分及鼓励学生给他人的作业写评语。

学生对这四种教学模型使用频率的评分均值依次为3.69、3.67、3.38和3.01。传统教学的均值最高可能导致人们得出新加坡的数学教学与前述的东亚数学教学一致的结论，但是从传统教学与其他教学模型的相关系数来看，我们可以得出不同的结论。传统教学、直接教学与为理解而教的教学之间呈现较强的相关性，而传统教学与共控学习策略、直接教学与共控学习策略的较低的相关系数也解释了教师在课堂上的积极作用。

霍根等人对四种教学模型的SEM模型分析[3]结果表明：（1）四种教学模型组成一个大的、复杂的、拟合程度很高的整体模型；（2）传统教学有通往直接教学的路径，直接教学有通往为理解而教的教学的路径，但为理解而教的教学没有通往传统教学或直接教学的路径；（3）这些教学模型之间的线性递归关系表明新加坡九年级数学课堂教学的一致连贯性和有机组合的特点。

基于霍根等人的研究，卡尔教授得出：新加坡的数学课堂并不能简单地归结为东方的或西方的，而应当是二者的有机结合。新加坡的数学教学有如下特点：（1）传统教学为教学的有序进行提供了基础；（2）直接教学以传统教学为基础，从而拓展和升华了教学实践；（3）为理解而教的教学和共控学习策略又以传统教学和直接教学为基础，进一步拓展了教学实践，将教学过程引向发展学生的理解和学生自主的学习。

那么究竟是什么将上述四种教学模型联系成有序的教学实践呢？是四种教学实践，即传统教学实践中的考试准备和课本中心，以及直接教学实践中的复习、结构化和清晰度。（其中结构化和清晰度是一种）在这四种教学实践中，考试准备是最突出的，它直接或间接地将四种教学模型联系在一起；从考试准备到传统教学和为理解而教的教学模型有九条不同的直接的路径，另外，还有多条间接的路径将考试准备与其余的教学实践关联起来。

五 启示

卡尔教授的报告较完整地呈现了如何在西方的研究体系中全面、深入地描述新加坡的数学教学特点，以解释新加坡学生取得较好成绩的缘由。

从新加坡中小学数学教学实践的角度来看，它们与我国的数学教学有很多类似的地方，如课堂主要由教师的全班演示、学生练习、评讲等环节组成，注意学生课堂上作业完成的情况，及时为有困难的学生提供指导，讲评学生的作业并结合学生的学习情况调整教学内容和进度。新加坡在继承华人数学教学传统的基础上，在建国以来的50多年里，积极吸取西方数学教学的优点并将其与传统教学相结合，如：（1）注重学生对知识的理解，而不再强调死记硬背；（2）通过生活中的例子、教具或启发式提问来帮助学生理解概念、发展技能，新加坡小学数学的模型化方法的使用帮助学生理解抽象的数学概念、数学关系[5]；（3）课堂上使用有趣的、多样的教学活动启发学生的数学思考，培养学生自主学习数学的能力。哪里来的时间给教师完成这些需要较长时间的活动呢？新加坡每次的数学课程改革，都很谨慎地缩减课程内容，每次约10%[6]。

从中小学数学教学研究的角度来说，除了从宏观的角度描述教学过程，我们还需要深入分析教师在课堂上使用的问题、师生的对话、学生的理解等更细致的方面，如课堂上使用的问题如何层层推进，帮助学生建构对相关概念的理解等。

[1]Stigler J.W.,amp;Hiebert J..The teaching gap:Best ideas from the world′s teachers for improvingeducation in the classroom[M].New York:Free Press，1999.

[2]HiebertJ.，etal.Teachingmathematicsin seven countries:Results from the TIMSS 1999 video study[R].U.S.Department of Education,National Centre for Education Statistics，2003.

[3]Hogan D.，et al.Assessment and the logicof instructional practice in Secondary 3 English and mathematics classrooms in Singapore[J].Review of Education,2013，1(1).

[4]Leung F.K.S..In search of an East Asian identityin mathematicseducation[J].Educational Studies in Mathematics,2001，47(1).

[5]Jiang C.L.，amp;Chua B.L..Strategies for solving three fraction-related word problems on speed:A comparative study between Chinese andSingapore students[J].International Journal of Science and Mathematics Education，2010(8).

[6]Lee P.Y..60 years of mathematics syllabus andtextbooksinSingapore[M].Chicago：Paper presented at the FirstInternationalMathematics Curriculum Conference，2005.

（作者单位：澳门大学教育学院）