APP下载

从映射与运算的角度定义线性空间

2017-01-17周齐

数学学习与研究 2016年17期
关键词:映射运算

周齐

【摘要】线性空间的定义是代数中一个较为抽象但又十分重要的概念,在认识代数关于空间上具有基础性的作用,而线性空间的定义中涉及代数运算与代数结构,本文首先从映射与运算的定义与基本内涵说起,然后从代数运算的角度给出线性空间的定义,并在此基础上引入平常意义上线性空间加法的定义,与通常意义上的加法做出区分,从来源与本质上回归到最基本的映射.

【关键词】映射;运算;代数运算;线性空间

前 言

线性空间又可以称作向量空间,是高等代数的中心概念之一.在此基础上使许多问题的处理变得更为简捷和清晰,并且高度抽象出了空间的本质,使得从数学上对空间进行十分深刻的认识,众所周知我们生活的三维立体空间,通常意义上我们这样称谓,本质上就可以用线性空间中的欧几里得空间进行描述,因此线性空间的概念虽然比较抽象,但却与我们的生活联系紧密,而其定义又是认识它的关键.

一、线性空间的基础——映射与运算

首先我们要解决的是,映射和运算的定义:

映射:设M和M′是两个集合,所谓集合M到集合M′的一个映射就是指一个对应法则φ,这个对应法则使M中的每一个元素a都有M′中唯一一个确定的元素a′与之对应.由此知道,所谓映射,本质上是一个对应法则,是建立在两个集合上的对应法则.

运算:数学上,运算是一种行为,通过已知量的可能的组合,获得新的量.所以可以看到,运算的本质是集合之间的映射,也是一种对应法则.

二、映射与运算在数学中的基础作用

下面我们从初等数学的四则运算说起,所谓四则运算即指我们通常意义上的加法(和运算)、减法(差运算)、乘法(积运算)以及除法(商运算),而这四个运算所针对的对象是数:3与5组合在一起,获得新的8;6.77与2组合在一起,获得新的8.77;17与27组合在一起,获得新的37;……换句话说,3与5这两个数对应8;6.77与2这两个数对应8.77;……我们就把这种运算或者说是这种映射,称为加法,记作3+5=8,这就是加法(运算)的概念.同理减法、乘法、除法类似.至于为什么3+5=8,6.77+2=8.77,17+27=37等等,这首先来源于自然认识,其次是运算法则决定.这些都体现了映射与运算在数学上的基础地位.

三、代数运算下的线性空间

接着,我们来对线性空间进行定义,在对线性空间定义之前,先定义代数运算以及代数结构.

有一个非空集合,在这个集合上至少有一个映射,这个映射的原像和像都在该集合里面,则该集合称为一个代数结构,该映射称为一个代数运算.由此可知,所谓的代数运算本质上仍是一个映射,只是这个映射是建立在同一个非空集合上的.

下面,建立线性空间的定义:

对于一个非空集合,在这个非空集合上定义两个代数运算,第一个代数运算满足四条规则:第一,α与β组合在一起所获得的新的量或者说α与β这两个元素所对应的,与β与α组合在一起所获得的新的量或者说β与α所对应的是一样的.第二,α与β先组合在一起所获得的新的量,再与γ组合在一起所获得的新的量跟α与β和γ先组合在一起获得新的量组合在一起所获得的新的量一样.第三,在集合中有一个元素0,对于集合中任意一个元素α,0与α所对应的是α.第四,对于集合中每一元素α,都有集合中的元素β,使得α与β这两个元素所对应的是0.

第二个代数运算满足两条规则:第一,1与α组合在一起所获得的新的量仍是α.第二,任意数k和l,k和l与α先组合在一起所获得的新的量组合在一起所获得的新的量跟kl与α组合在一起所获得的新的量一样.

并且在满足如下两条规则:第一,k+l与α按照第二个代数运算所对应的,跟k与α按照第二个代数运算所对应的,与l与α按照第二个代数运算所对应的,按照第一个代数运算所对应的一样.第二,k与α和β先组合在一起按照第一个代数运算所对应的,按照第二个代数运算所对应的,跟k与α组合在一起按照第二个代数运算所对应的,和k与β组合在一起按照第二个代数运算所对应的,组合在一起按照第一个代数运算所对应的一样.

我们给第一个代数运算起个名字叫作加法,记作α+β,第二个代数运算起个名字叫作数量乘法,记作kα,加法所对应的结果称为α与β的和,数量乘法所对应的结果称为k与α的数量乘积.八条规则用符号表示如下:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)在集合中有一个元素0,对于集合中任意一个元素α,有:0+α=α;

(4)对于集合中每一个元素α,都有集合中的元素β,使得:α+β=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)(k+l)α=kα+lα;

(8)k(α+β)=kα+kβ.

由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中,因此线性空间具有广泛的应用价值.

猜你喜欢

映射运算
重视运算与推理,解决数列求和题
有趣的运算
长算式的简便运算
添运算符号
论美国动画电影题材变化及现实映射意义
试论泰国文化对外来广告的映射
拨云去“误”学乘除运算
概念隐喻在构建语篇连贯中的作用探析
面向对象在关系数据库中的设计与应用
马克思幸福思想的印度语境