何慧梅

[摘要]当前课本中的例习题都是经过精心挑选的，非常具有代表性和导向性，且有不可忽视的教育价值，课本中有不少例习题都已演变成各地的高考数学试题。但在调研中发现教师通常会觉得课本例习题过于简单、缺乏新意，没有进行深入的研究，也就没法悟到课本例习题的设计意图。因此，在教学过程中应当用好用“活”课本例题习题，引导、培养学生发现数学本质，提高问题的洞察力和鉴别力。这里结合多年的基层教学工作经验就挖掘课本例习题的教育价值问题谈谈几点体会。

[关键词]数学；课本例习题；教育价值

课本是教师课堂教学的材料与依托，课本中的例习题不是盲目随意拼凑的，而是为了帮助学生更深入的认识和运用所学的新知识，具有很高的教育价值。然而调研中发现教师通常会觉得课本例习题过于简单，缺乏新意，而没有进行深入的研究。教师应仔细地品味“原题”，让课本例习题“舞”起来，下面针对挖掘课本例习题的教学价值谈几点体会：

一、在课本例习题教学中理解概念

很多学生认为数学是一门抽象难懂、枯燥无味的学科。例如对于概念理解的问题，学生总觉得晦涩难解，不容易引起学生的学习兴趣。教师应充分利用课本例习题，让学生在可能中探究，以达到授业解惑的目的。

题1、如果椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离等6，则点P到另一个焦点F2的距离是 。 （选修2-1P42练习1）

题2、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，-2）（0，2），并且椭圆经过点（- ， ），求椭圆的标准方程。（ 选修2-1P40例1 ）

题3、已知椭圆 + =1的右焦点F2作垂直于轴x的直线AB，交椭圆于A，B两点， F1是椭圆的左焦点。

（1）求△AF1B的周长；

（2）如果AB不垂直于x轴， △AF1B的周长有变化吗？为什么？（选修2-1P43 练习3）

题4、一动圆与圆外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程x2+y2+6x+5=0，并说明它是什么样的曲线。（选修2-1，P50习题2.2B组第 2题）

对例习题由浅入深，层层递进，环环相印，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝重重成功的喜悦，既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，从而加深学生对数学概念的理解，提高概念教学的有效性。

二、在课本例习题教学中归纳总结

课本中许多例习题看似平淡无奇，如果放弃了对它的探究，那就枉费教材编辑者的一番苦心。因此教师应当通过归纳引申来增强学生获得知识与技能的运用本领，将几个例习题组合在一起，形成一个题组，帮助学生建构一个知识网，是形成通性通法的重要途径。

题5、如图，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证： OA⊥OB.（选修2-1，P73 习题2.4 A组第6题）

引导学生往改变直线方程或改变抛物线方程是否仍然有 OA⊥OB思路上考虑，下面是所讨论结果的归纳总结：

引申1设A，B为抛物线y2=2px（P>0）上原点O以外的两个动点，若直线过定点（2p，0），则OA⊥OB.（证明略）

引申2 设A，B是抛物线y2=2px（P>0）上两个非原点的点， O为原点，若OA⊥OB，则直线AB必过定点（2p，0）.（证明略）

结论：A，B 是抛物线y2=2px（P>0）上非原点的两动点， O为原点，则“ OA⊥OB”的充要条件是“AB所在直线必过定点（2p，0）”.（证明略）

下面举例说明新结论的应用：

例1、如图，已知直线与抛物线y2=2px（P>0）交于 A，B，两点且OA⊥OB， OD⊥OB并于AB相交于点D，点D的坐标为（2，1），求P的值。

法一：联立直线AB和抛物线的方程消去x，再利用韦达定理可以得到p的值。

法二：因为D（2，1）在直线AB上且OD⊥AB所以易得直线AB的直线方程为y=-2x+5，又OA⊥OB则直线AB过点（2p，0），那么就有2P= ，就得到P= .

例2、 O是直角坐标原点， A，B 是抛物线y2=2px（P>0）上异于顶点的两个动点，且 OA⊥OB， OM⊥AB并于AB相交于点M，求点M的轨迹方程。

法一：用抛物线的参数方程来解题。

法二：因为 OA⊥OB，由引申2可得直线AB恒过定点N（2p，0），设M点的坐标为M（x，y），因为OM⊥AB，所以有kOMKAB=-1，kOMKMN=-1，则有 =-1.即点M的轨迹方程为：（x-p）2+y2=p2（x≠0）.

教师引导学生使教材中隐含的解题方法、步骤显示出来，为学生解决此类问题提供了简便的学习方案，并能以此为示范，不断地提升学生的归纳、总结能力，这样也有助于学生思维“深刻性”、“系统性”的培养与锻炼。

三、在课本例习题教学中领悟思想方法

新课标明确提出：“经过学习，学生在教师的启发下逐步领会数学的本质，感悟数学思想方法。”很多教师都疑问：“为什么这道题已经在课堂上练过、讲过，但考试时学生还是不会？”其实原因就在于学生缺乏抓住其本质的洞察能力，只会机械的听、记与模仿。教材通过层层递进的例习题对相关的数学方法进行针对性的训练，教师在课本例习题教学过程中要注重数学思维的渗透，引导学生发现规律，寻找本质。

题6、如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D是垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？（选修2-1 P41例2）

这道例题主要功能：一是让学生利用中间变量求点的轨迹方程的方法即为“转移法”；二是让学生把所得的轨迹方程与椭圆标准方程进行对比，再判断轨迹是什么？三是数形结合，让学生知道通过伸缩变换能使圆变成椭圆，因此为了让学生更好掌握在求解圆锥曲线轨迹时，利用“转移法”寻找各个量之间的关系，教材再设置一个例子以及数道练习题进行巩固。例如：

题7、如图，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是- ，求点M的轨迹方程。（选修2-1P41例3）

题8、点 的坐标分别是（-1，0），（1，0）直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ （选修2-1 P42练习第4题）

通过对课本例习题的讲解，引导学生利用数学思想方法去解题，使每道例习题的作用最大化，学生才能领悟不同的思想方法，才会灵活运用数学知识来解决有关的问题。领悟数学思想方法对教师和学生来说都很有必要，而学生数学思想方法意识薄弱以及应用理念不足很大程度上是教师在教学过程中对这方面的不重视或缺乏实质、有效性渗透造成的。

四、在课本例习题教学中拓展思维

研究课本例习题的引申与应用，有利于逐步扩大学生的思维空间，使新的知识内容得以深化，为学生课后的自主探究留下伏笔。

题9、在中△ABC，已知A=45°，C=60°c=10求解三角形。（必修五P4练习1）

这道题利用正弦定理很快就可以得出答案，但如果就题论题，讲完此题就草草结束，放弃对它的探究，那么就不能充分发挥此题目的功能。这就需要教师有目的、正确地引导学生进行思考。

变式1在 △ABC中，已知A=45°B=75°，c= ，求解三角形。

变式2 在 △ABC中，已知C=60°a= ，c= ，求解三角形。

变式3 在 △ABC中，已知A=45°，a= ，c= ，求解三角形。

以上变式有拓展、有延伸，形成了一个“问题串”，构成了思维的整体性，体现了思维的层次性和探究性，让学生在“问题串”的引领下进行系列、连续的思维活动。教师提供给学生的最好的教育应该是激发他们的兴趣，拓展他们的思维空间，使他们的潜能得到最大限度的发展，从而使学生真正获取知识，并使新知识在学习中得以深化。

当前课本里的例习题都是经过精心设计挑选的，很有代表性和启发性，因此在教学过程中应当用好用“活”课本例题习题，钻研并挖掘课本例习题的教育价值，引导、培养学生发现数学本质，提高问题的洞察力和鉴别力，并在此基础上进行探索与反思，有利于学生实现深层次的建构。

参考文献：

[1]何广学.利用课本例习题，引领课堂教学走向有效性[J].学苑教育， 2014（13）.

[2]贺勇久.让习题讲评课精彩纷呈[J].中学教学参考，2010（19）.

（责任编辑 陈始雨）