柳林涛，苏晓庆，王国成

(1.中国科学院 测量与地球物理研究所，湖北 武汉 430077；2.山东理工大学 建筑工程学院，山东 淄博 255000)



标准时频变换探讨

柳林涛1，苏晓庆2，王国成1

(1.中国科学院 测量与地球物理研究所，湖北 武汉 430077；2.山东理工大学 建筑工程学院，山东 淄博 255000)

为了整合Gabor变换、小波变换和S变换，本文给出标准时频变换(NTFT)的简单定义和典型表达形式，并介绍了标准窗的概念；指出标准Gabor变换和标准小波变换是NTFT的2类特殊表现形式。NTFT的主要功能是时频分析、时频滤波和信号预测，指明这3种功能的数学基础，其中着重介绍了从信号的NTFT中直接提取(或估计)简谐或准简谐项的无为方法；并论述了广义S变换与NTFT的异同。

时频变换；无为方法；标准Gabor变换；标准小波变换；时频分析；时频滤波

0 引言

在信号分析和处理的发展历程中，傅里叶变换具有里程碑的意义：它建立了信号的时域和频域之间的桥梁，可以分别从时域和频域分析信号。然而傅里叶变换仅仅满足平稳信号的分析和处理；大多数信号为非平稳信号，其参数随时间不断变化，单一的时域或频域分析法不能对其进行有效分析和处理。1932年，物理学家Wigner在量子力学中提出了Wigner分布，开启了时频分析理论的建立和应用[1]。目前广泛应用的时频分析工具有加窗傅里叶变换、连续小波变换、Wigner-Ville分布、Hilbert-Huang变换以及原子分解等[1]。这些时频分析工具以能量守恒为特征，侧重于通过能量密度揭示信号的频率随时间变化情况，而没有顾及信号的振幅和相位随时间的变化情况。文献[2-3]发现了2个时频变换的逆变换定理。其中逆变换Ⅰ将传统的线性时频变换(包括Gabor变换、小波变换和S变换等)及其逆变换统一到时频变换框架中，对于线性时频变换的系统研究具有重要的理论意义；以逆变换定理Ⅱ为基础，文献[2-3]创立了标准时频变换(normal time-frequency transform，NTFT)理论体系，信号的标准时频分析结果与信号的量纲一致，能够兼顾信号的即时振幅、即时频率和即时相位。 因此可以说NTFT理论为信号的时频分析提供了标准分析工具。

本文给出NTFT更易于理解的定义，以及NTFT核函数的典型表达形式，列举了这些表达式在不同领域中的应用；然后指明NTFT具备的时频分析、时频滤波和信号预测3种功能的数学基础；最后分析相对于广义S变换，NTFT特有的优势。

1 定义

一般地，对于一个复数时间信号f(t)∈C，其线性时频变换可以表达为

(1)

式中：τ和ϖ分别表示当地时间和当地圆频率；上划线“—”表示共轭；Ψ(t,ϖ)称为核函数；R表示实数域。

线性时频变换式(1)是一个标准时频变换，如果其核函数Ψ(t,ϖ)的傅里叶变换

(2)

满足下面2个条件：

(3)

(4)

其中：||表示取模；i表示虚数；“^”表示傅里叶变换算子。

这里的NTFT定义与此前给出的NTFT定义[1-2]是等价的，但这里的表述更易于理解。

2 典型表达

NTFT核函数的典型表达形式为

Ψ(t,ϖ)=|μ(ϖ)|w(μ(ϖ)t)exp(iϖt), μ(ϖ)∈R，

(5)

其满足：

(6)

(7)

μ(ϖ)是一个实函数，可称为时频分辨率调节器(time-frequency resolution adaptor，TFRA)，其不同的表达可以得到不同类型的NTFT。例如，当令μ(ϖ)=sign(ϖ)时，NTFT就是标准Gabor变换；当令μ(ϖ)=ϖ时，NTFT就是标准小波变换，其中基本小波

φ(t)=w(t)exp(it)。

(8)

式中w(t)为标准窗。值得注意的是：如式(8)所展示的基本小波已经不满足传统的容许性条件了，但这并不影响标准小波变换存在逆变换。原始基本小波[4]是需要满足容许条件的。

当μ(ϖ)取其他表达式时，NTFT就是其他类型的时频变换了。目前人们对于这些其他类型的时频变换几乎一无所知。

总之，NTFT有着无数种类型的时频变换，标准Gabor变换和标准小波变换只是其中的2类经典形式。目前标准Gabor变换在地球自由振荡的检测中发挥了作用[1]，标准小波变换在地球极移的分析[5]和长期预测[1，6]、地球自由振荡Q值确定[7]、海平面变化分析[8-9]和日长变化分析[10]中发挥了作用。

最为经典的NTFT核函数表达式为

(9)

式中所采用的标准窗是一个标准Gauss窗，即

(10)

式中σ>0表示窗宽参数。

3 应用基础

NTFT有3种应用：时频分析、时频滤波和信号预测。时频分析就是分析一个信号的时变和谐信息(振幅、频率和相位)。时频滤波就是根据一个信号的时频分析结果将人们感兴趣的那部分信息提取出来。信号预测就是根据一个信号的时频分析结果预测该信号的和谐及准和谐部分的未来发展。

3.1 时频分析的基础

简谐函数

(11)

(12)

式(12)是线性时频变换用于时频分析的理论基石，说明了当一个线性时频变换作用于一个简谐函数时将发生什么。那么发生了什么呢？一个简谐函数的线性时频变换就是对这个简谐函数进行了加权处理，同时这个简谐函数的时间参数由t变成τ，也就是说这个简谐函数被即时化了(即当地化了)。

如果式(12)中的线性时频变换Ψ是一个NTFT，则有：

2)Ψh(τ,β)=h(τ), ∀τ∈R。

(14)

式中：“⟺”表示“当且仅当”；‘max’表示“最大值”；“∀”表示“对于任意”。

一个有趣的事情是：关系式(13)和(14)都与时频分辨率调节器μ(ϖ)无关;换言之，无论μ(ϖ)如何被表达，关系式(13)和(14)都成立。这说明NTFT是很自由的，这种自由性为自适应NTFT的构建提供了宽广的空间。

关系式(13)表明NTFT具有确定简谐信号频率和保持简谐信号即时(即当地)振幅的能力，也说明NTFT是一个量纲守恒(而非能量守恒)变换；关系式(14)表明NTFT具有保持简谐信号即时(即当地)相位的能力。关系式(14)其实表明：一个简谐函数的NTFT在简谐频率处正是这个简谐信号本身，只不过这个简谐信号被当地化了。总之，关系式(13)和(14)解释了NTFT最为深刻的本质，也是我们提出NTFT这一概念的理论基础和实际原因。

值得注意的是：NTFT的振幅谱和相位谱是有单位的，即f(t)的NTFT的单位与f(t)的单位是一致的。这是NTFT一个非常重要的特征。

如果h(t)是一个简谐或准简谐信号，它包含在时间信号f(t)中，那么，根据关系式(13)和(14)，可以从f(t)的NTFTΨf(τ,ϖ)中直接将h(t)提取出来。这样，在不用逆变换的情况下，可以对信号中的简谐或准简谐信号进行直接提取(或估计)。这种利用信号的NTFT直接提取(或估计)信号中的简谐或准简谐信号的方法称为无为方法;因为该方法省略了逆变换，也省略了其他滤波手段。无为方法这是NTFT的一个非常有效的应用。无为方法应用时应注意在保证频率分辩率的情况下，选择较小的窗口宽度参数，这样是为了充分反映准简谐信号的时变振幅。对于实数信号时，无为方法可以提取该信号的调和(余弦)或准调和项。无为方法在多项地学研究中获得应用[5，8-10]。文献[4,7]在对地球自由振荡的检测中所用到的方法也受到无为方法的启发。

3.2 时频滤波的基础

NTFT的逆变换是时频滤波的基础。对于f(t)的NTFT Ψf(τ,ϖ)，其逆变换为

(15)

式(15)这个逆变换公式只是文献[2]给出的反卷积定理的一个推论。另一个有趣的事情是：逆变换式(15)与时频分辨率调节器μ(ϖ)无关;换言之，无论μ(ϖ)如何被表达，逆变换式(15)都成立。这也说明NTFT是很自由的。

该逆变换公式是τ-ϖ平面上的2重积分，也就是时频平面上的2重积分。如果我们对时频平面上的的某一区域S内的信息感兴趣，那么，式(15)可以改写为

(16)

其中fS(t)就是时频滤波结果。此公式就是时频滤波的基本公式，其中时频区域S可以根据需要裁剪。

NTFT用于时频分析及滤波的模拟算例可以参见文献[11]。

3.3 信号预测的基础

NTFT可以用于对时间信号中调和及准调和信息的预测。假设信号f(t)是由N个简谐或准简谐信号构成，且在t=τ时刻之前是已知的；那么只要通过时频分析能够得到各个简谐或准简谐信号在τ时刻的值h1(τ),h2(τ),…,hN(τ)和在τ时刻的即时频率ϖ1，ϖ2，…，ϖn，就能够对f(t)在t=τ时刻之后的值进行预测，即

(17)

式中M>0表示时刻后的时间长度。

利用NTFT预测长期极移的实例可以参见参考文献[4]。

4 NTFT与广义S变换

广义S变换是一类时频变换，它是非卷积的线性时频变换[12-13]。广义S变换的本质特征在于其逆变换很简单，这说明广义S变换在时频滤波中有优势。NTFT具有保当地相位和当地振幅的能力，这说明NTFT在时频分析上有优势。

实质上，对广义S变换作些调整(即引入标准窗的概念)可以得到标准S变换。对于一个标准S变换，总有一个NTFT与之相对应，即

Ψf(τ,ϖ)=exp(iτϖ)Sf(τ,ϖ)。

(18)

式中S表示标准S变换。此关系式说明NTFT和标准S变换存在相位上的差异，这也是NTFT和广义S变换最为本质的差异之一；但是此关系式也说明NTFT和标准S变换在振幅谱上等价。

5 仿真信号分析与提取

准调和信号和Chirplet信号是自然界最为常见的2类信号，为了准确分析其特征通常需要利用带通滤波器提取其中想要的部分。本文构造由准调和项、Chirplet项以及高斯白噪声组成的仿真信号(见图1)，然后用NTFT对其进行分析和提取。

(19)

式中：图1为仿真信号ε是均值为0；方差为0.1的白噪声。

图1 仿真信号

图2为时频相位谱，其能够清晰反映实数信号中子信号的相位起伏随时间变化的情况。

图2 仿真信号的时频相位谱

图3清晰展现了信号中子信号周期和振幅随时间变化情况。按照式(16)，从图3中所画2个白圈中分别进行提取重构可以分别得到重构的2个子信号(见图4)。

图3 仿真信号的时频振幅谱

图4 仿真信号与重构信号的比较

图中：图4(a)为NTFT逆变换重构得到的准调和项和仿真准调和项，图4(b)中为NTFT逆变换重构的Chirplet项和仿真的Chirplet项。

从图2至图4中可以看出，NTFT能够很好地分析、提取信号中的子信号。应当注意的是S变换并不能提供如图2所示的时频相位谱。

6 结束语

本文给出易于理解的NTFT定义，并给出NTFT的典型表达形式，其中标准窗的概念起着核心作用；说明标准Gabor变换和标准小波变换是NTFT的2类特殊表现形式；总结出NTFT具有的3种功能即时频分析、时频滤波和信号预测，并指明这3种功能的数学基础；最后论述表明广义S变换经标准化后与NTFT只存在相位上的差异。

总之，NTFT是熔Gabor变换、小波变换、S变换于一炉的产物，是线性时频变换的精髓。

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Discussion on normal time-frequency transform

LIU Lintao1，SU Xiaoqing2，WANG Guocheng1

(1.State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，CAS，Wuhan，Hubei 430077，China；2.School of Civil and Architectural Engineering，Shandong University of Technology，Zibo，Shandong 255000，China)

In order to integrate Gabor transform，wavelet transform and S transform，this paper gave a simple definition of normal time-frequency transform (NTFT) and showed a classical expression of the NTFT，in which the concept of normal window was introduced.It was indicated that normal Gabor transform and normal wavelet transform are two special forms of the NTFT.Three kinds of NTFT applications：time-frequency analysis，time-frequency filtering and signal prediction were showed with their mathematical bases.Particularly，a method，named as “Inaction”，to estimate or extract the harmonic or quasi-harmonic terms directly from the NTFT of a signal was introduced.Moreover，the difference between generalized S-transform and NTFT was discussed.

time-frequency transform；Inaction method；normal Gabor transform；normal wavelet transform；time-frequency analysis；time-frequency filtering

2016-01-22

国家自然科学基金项目(41074050)。

柳林涛(1967—)，男，湖北武汉人，博士，研究员，研究方向为数据处理。

柳林涛，苏晓庆，王国成.标准时频变换探讨[J].导航定位学报，2016，4(4)：1-4,23.(LIU Lintao，SU Xiaoqing，WANG Guocheng.Discussion on normal time-frequency transform[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(4)：1-4,23.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20160401.

P228

A

2095-4999(2016)04-0001-05