吴忠万，李冬林，谭兴毅，左安友

(湖北民族学院；湖北 恩施 445000)

最小偏向角法测三棱镜折射率的相图探究

吴忠万，李冬林，谭兴毅*，左安友

(湖北民族学院；湖北 恩施 445000)

三棱镜折射率的测量是大学物理实验的重要组成部分，对培养学生的基本实验技能、加深对经典光学理论的理解具有重要作用。本文依据几何光学原理探究了最小偏向角法中在有出射光时最小偏向角与三棱镜顶角、折射率所对应的函数关系,建立了有出射光时入射角、折射率、顶角间以及最小偏向角时折射率、顶角、最小偏向角间的相图，阐明了两相图的物理意义。该研究拓展了三棱镜折射率实验的研究思路。

三棱镜折射率；最小偏向角；入射角；顶角；相图

三棱镜折射率的测量是大学物理实验的重要组成部分，对其测量方法的研究有很多[1-6]，实验室通常采用的是最小偏向角法。沈鑫惠[7]等人理论上导出了三棱镜折射率与入射角和顶角及偏向角的一般关系,提出了利用偏向角和出射角测量折射率的方法，拓展了三棱镜折射率实验的研究思路。顾菊观[8]研究了最小入射角和最大顶角的关系,发现不同材料的棱镜对应的顶角的最大值也不相同，这对实验寻找折射光线提供了理论参考。周凯宁[9]等人用垂直底边入射法、全反射法、最小偏向角法测量三棱镜折射率时发现用最小偏向角法测量的数值最精确。祝昆[10]在利用数值计算的方法给出三棱镜偏向角随入射角变化的规律，提出了一种快速确定最小偏向角大小的新方法，其结果与实验数值相吻合，提高了实验效率。李晓勤[11]在通过编译程序模拟实验,描绘偏向角随入射角、折射率变化规律时，给出了入射角与最小偏向角的二维曲线以及给出了有出射光线时入射角的起始值与折射率的对应关系表。在用最小偏向角法测量三棱镜折射率的实验中，若没有出射光线，那么偏向角就无法测量，这是进行实验测量的前提，但是很少有研究者对有出射光线时入射角与折射率及顶角间应满足的函数关系做出研究,而从相图的观点研究该实验中物理量间的关系更是鲜为人知。本文依据几何光学原理探究了有出射光线时入射角与折射率及顶角间所满足的函数关系，给出三者间的相图，使研究者能够快速、明了的知道测量有意义的区域。同时文本依据最小偏向角法建立了以折射率、顶角、最小偏向角的相图，为测量三棱镜折射率提供了参考。

1 入射角与折射率及顶角的相图

1.1 几何光学原理

光在三棱镜中传播的光路如图1所示，若光恰好在AC边上发生全反射，则

(1)

在AC边上由折射定律有

(2)

其中n是三棱镜折射率，由几何关系易得

(3)

式中A是三棱镜的顶角，在AB边上由折射定律有

(4)

图1 光在三棱镜传播中的光路图

综合式(1)、(2)、(3)、(4)可得

(5)

式(5)便是AC边刚好发生全反射时入射角、顶角、折射率间所满足的函数关系式。

1.2 相图的分析

利用Mathematica 软件画出(5)式所对应的三维图像如图2所示，该三维立体图的三坐标轴分别为顶角、入射角、折射率，也即为三者间的相图。图中带蓝色网格的曲面是AC边刚好发生全反射时入射角与折射率及顶角所满足关系式的曲面,即该曲面上的点都是AC边恰好发生全反射的点。在曲面的下方是AC边无出射光线所对应的空间区域，在曲面的上方是AC边有出射光线所对应的空间区域，表明该曲面是AC边上有无出射光线的分界面。如果没有出射光线，那么偏向角就无法测量，这是进行实验测量的前提，即该曲面也是实验测量有无意义的分界面。在实验测量时，通过该相图，可以知道入射角应大于什么值时才会有出射光线，这为实验测量带来了方便。同时，通过该相图可以看出对于一个材料给定的棱镜(相当于折射率为某个已知值)，入射角随着顶角的增大而呈上升趋势；当顶角A固定时，入射角随折射率n的增大而增大。表明在实验操作时要尽量使入射角大一点，才会有出射光线射出。

图2 入射角、折射率、顶角间的相图

2 最小偏向角法

2.1 最小偏小角法原理

当偏向角为最小偏向角时光在三棱镜中的传播如图3所示，由几何关系可得

(6)

在AB边由折射定律有

(7)

综合式(6)、(7)可得

(8)

式(8)便是折射率与顶角及最小偏向角间的函数关系式，式中σmin是最小偏向角，是实验中常采用测量折射率的表达式。

图3 最小偏小角光路

2.2 折射率与顶角及最小偏向角的相图分析

利用Mathematica 软件画出(8)式所对应的三维图像如图4所示，该三维立体图的三坐标轴分别为顶角、最小偏向角、折射率，也即为三者间的相图。

图4 折射率与顶角及最小偏向角的相图

图中(a)、(b)是同一曲面在不同视野下得到的两幅图像，其中(b)是由(a)绕折射率轴线逆时针旋转90°而得到的图像。图中带红色网格的曲面就是折射率与顶角及最小偏向角间所满足的函数关系图像，即该曲面上的每个点都是满足最小偏向角的点。当知道最小偏向角与顶角时，可以不用式(8)计算而通过该图就可以直接获得折射率。从图中可以看出当顶角为某个固定角时，最小偏向角随着折射率的增大而增大，但上升趋势越来越平缓；当折射率为某个固定数值时，最小偏向角随顶角的增大而增大。

3 结 论

探讨了用最小偏向角法测量三棱镜折射率的前提条件，给出了顶角、入射角及折射率三者的函数关系，通过相图清楚的给定测量有意义区域。依据最小偏向角法公式，建立了折射率、顶角及最小偏向角三者间的相图。从相图方面给出了实验公式的物理意义，有利于研究者对公式的深刻理解，同时也为三棱镜折射率的测量提供了一种新的思路。

[1] 纪延俊，杜玉杰，郭红岩.全反射法对棱镜折射率的测定[J].大学物理实验，2010,23(6)： 23-24.

[2] 陈居正.角入射法测量三棱镜材料的折射率[J].工科物理，1996(4)：27-28.

[3] 朱德全.垂直折射法测量三棱镜的折射率[J].安庆师范学院学报，2007,13(4)：74-76.

[4] 韩胜阳,吴殿鸿,侯晓波.用任意偏向角测量三棱镜折射率[J].大学物理实验，1995,8(4)：4-7.

[5] 张洁，李成龙.临界法测量三棱镜的折射率[J].科技信息，2008(31)：184.

[6] 孙庆龙.利用垂直邻边入射法测量三棱镜的折射率[J].大学物理实验，2014,27(1)：40-41.

[7] 沈鑫惠，钱淑珍，顾菊观.三棱镜折射率和入射角测量的拓展[J].物理通报，2014(6)：85-87.

[8] 顾菊观.三棱镜偏向角与棱镜顶角的关系[J].物理与工程,2010,20(4):22-23.

[9] 周凯宁,肖宁,陈棋,等.3种测量三棱镜折射率方法的对比[J].实验室研究与探索,2011,30(4):22-25.

[10] 祝昆.数值计算方法确定最小偏向角的大小[J].六盘水师范高等专科学校学报,2011,23(6)：25-27.

[11] 李晓勤.模拟实验研究最小偏向角的规律[J].物理与工程,2009,19(2):30-32.

Explore the Phase Diagram of the Refractive Index of and the Incident and the Deviation Angle of Aprism

WU Zhong-wan,LI Dong-lin,TAN Xing-yi,ZUO An-you

(HuBei University For Nationalities,Hubei Enshi 445000)

The measurement of the refractive index of the prism is an important part of college physics experiment.It plays an important role in developing students’basic experimental skills and understanding the theory of classical optics.Based on principle of geometrical optics,the function relation of the minimum deviation angle of the prism and the vertex angle and the refractive index was built.Then the phase diagram among the incident angle,the refractive index,and the vertex angle was established.We also established the phase diagram among the refractive index,the vertex angle and the minimum deviation angle in the method of the minimum deviation angle.Physical Significance of the two phase diagrams is stated.This study extends the research ideas of the prism refractive index experiment.

prism refractive index；minimum deviation angle；incidence angle；vertex angle；phase diagram

2016-06-12

湖北民族学院大学生创新创业训练计划项目(2016CX040)

1007-2934(2016)06-0078-03

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.020

*通讯联系人