徐一调

【摘要】本文从欧拉方程的特征出发定义了类欧拉方程的相关概念，并使其尽量得以简化，最后给出齐次与非齐次方程解的形式，具有一定的创造性.

【关键词】欧拉方程；类欧拉方程；重根因子；齐次与非齐次

已知形状为xndnydxn+a1xn-1dn-1ydxn-1+…+an-1xdydx+any=0的方程称为欧拉方程.（这里a1，a2，…，an-1，an为常系数）.引进自变量的变换x=et之后欧拉方程可变为常系数齐次线性微分方程

dnydtn+b1dn-1ydtn-1+…+bny=0.（1）

而变形后的微分方程有形如y=eλt的解，从而欧拉方程有形如y=xλ的解.代入欧拉方程之后便可得到确定λ的代数方程λ（λ-1）…（λ-n+1）+a1λ（λ-1）…（λ-n+2）+…+an=0.（2）

此方程亦为（1）的特征方程.若特征方程的m重特征根为λ=α+iβ，对应于欧拉方程的2m个实数解为

xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnm-1|x|cos（βln|x|），

xαsin（βln|x|），xαln|x|sin（βln|x|），…，xαlnm-1|x|sin（βln|x|）.

事实上，当β=0的时候，λ为实数，以上解的形式仍适用（下文给出的齐次与非齐次方程解的形式均可体现这点）.上述为欧拉方程的形式以及解的讨论.

当方程的形式为xndndxn+a1xn-1dn-1dxn-1+…+

an-1xddx+anky=0时，我们称其为类欧拉方程，其中k（k∈N）称为重根因子或放大倍数.为探究其解的形式，我们不妨从较为简单的n=2，k=2入手，研究解方程的过程从而推广到任意情形中去.

首先考察方程x2d2dx2+xddx-42y=0，仍设y=xλ并代入方程中，有

x2d2dx2+xddx-4x2d2dx2+xddx-4xλ=0，

x2d2dx2+xddx-4[λ（λ-1）xλ+λxλ-4xλ]=0，

（λ2-4）x2d2dx2+xddx-4xλ=0，

（λ2-4）[λ（λ-1）xλ+λxλ-4xλ]=0，

（λ2-4）2xλ=0.

从而λ1，2=2，λ3，4=-2.

此方程的解为y=c1x2+c2x2ln|x|+c3x-2+c4x-2ln|x|.我们不难发现，（λ2-2）2xλ=0这一等式中，λ2-4来自于特征方程（2）中，而指数2则来自于所考察方程的2次运算（而不能说2是指数，应注意2的含义），通过与欧拉方程进行比较，考察方程多出了两个二重根，这正是2次运算的影响，实际上也是重根因子k的影响.从而我们由此推广可以得到将y=xλ代入类欧拉方程之后的代数方程：

[λ（λ-1）…（λ-n+1）+a1λ（λ-1）…（λ-n+2）+…+an]kxλ=0.（3）

实际上，上面方程仍可以化简为：

（Anλ+a1An-1λ+a2An-2λ+…+an）kxλ=0.

令R=Anλ+a1An-1λ+a2An-2λ+…+an=∑ni=0aiAn-iλ，并称为欧拉因子.其中a0=1，Anλ=λ（λ-1）…（λ-n+1），

则最终化简为Rkxλ=0.（4）

事实上，（3）（4）式的得出完全可以由y=xλ代入类欧拉方程经过严格推导后得出而不依赖于考察方程的类比.

在考虑重根因子（放大倍数）之后的解的形式（若（4）式的km重根为λ=α+iβ）为

xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnkm-1|x|cos（βln|x|），xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnkm-1|x|cos（βln|x|）.下面继续研究它对应的非齐次方程.

对于方程xndndxn+a1xn-1dn-1dxn-1+…+an-1xddx+anky=f（x），其中f（x）≠0.我们称之为类欧拉常系数非齐次方程.考虑到较为一般情形，设f（x）=Pn（x）eαx（acosβx+bsinβx）.

①若α±iβ不是特征根，特解的形式为

Q（1）n（t）e（α+iβ）t+Q（2）n（t）e（α-iβ）t，

即为Q（1）n（ln|x|）xα+iβ+Q（2）n（ln|x|）xα-iβ.

②若α±iβ是特征根，且为mk重根（m∈N，k为重根因子），其特解形式为

[Q（1）n（ln|x|）xα+iβ+Q（2）n（ln|x|）xα-iβ]lnmk|x|.

其中Pn（x），Q（1）n（t），Q（2）n（t），Q（1）n（ln|x|），Q（2）n（ln|x|）均为x（或t或ln|x|）最高次幂不超过n次的多项式.

不难看出，类欧拉方程在非齐次方程以及对应的齐次方程的解的形式比欧拉方程更具有推广意义.因为当k=1时类欧拉方程退化为欧拉方程，其齐次与非齐次方程解的形式完全适用.

【参考文献】

[1]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006：142.

[2]李忠，周健莹.高等数学下册（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2009：192.