朱清

在现代教学指导下的数学教学活动过程，应包括教师或学生在教与学中的“知识建构过程”“实践过程”“心理变化过程”“发现探究过程”“信息处理过程”等若干的过程，而这些过程都是以“问题”作为依托，通过对问题的形成、推证和探究来实现的.

下面通过苏科版八年级上册“3.2勾股定理的逆定理”实例，谈谈初中数学课堂“问题解决”的教学探究.

【教学过程】

（一）问题情境

师：同学们欣赏埃及金字塔一组图片，（图略）这是一张卫星俯拍的照片，我们发现：最大的金字塔的塔基是边长为230多米的正方形，然而，那时并没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器.金字塔塔基的正方形的每一个直角，古埃及人究竟是怎样确定的？

学生小声讨论.

师：我们来看一下古埃及人的做法：

古埃及人把一根长绳打上等距离的12个结，连成环状（如图），拉直点B到点C之间的5段绳子，然后在点A处将绳子拉紧，则∠BAC为直角.同学们能根据此提出怎么样的问题？

生：能否通过三角形三边的关系确定一个三角形是直角三角形？

（二）合作探究

师：同学们拿出作图工具，完成活动一.

活动一：做出分别以下列各组数的长度为三边的三角形（单位：cm）.

（1）30，40，50；（2）6，8，10；（3）5，12，13.

判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状.

思考：所画三角形的三边有怎样的数量关系？

师：你对这三个三角形的形状有什么发现？

生：都是直角三角形.

师：所画三角形的三边有怎样的数量关系？

生：三角形满足较短的两边的平方和等于最长边的平方.

师：同学们是否可以大胆地猜想一下：三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？

生：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

师：如何证明猜想？同学们思考交流一下.

（由勾股定理中直角三角形的三边之间的关系，学生自然的猜想，勾股定理的逆定理）

师：同学们通过交流讨论，能否得到猜想？

活动二：“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”吗？

已知：如图，在△ABC中，a2+b2=c2.

求证：△ABC是直角三角形.

……

（三）数学认识

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

∵，∴.（学生自主填写几何语言）

思考：这个结论与勾股定理有什么关系？

生：这个结论好像跟勾股定理是一个互逆的命题.

师：同学们可以给这个结论命名吗？

生：勾股定理的逆定理.

（揭示勾股定理和勾股定理逆定理的联系与区别，用整体的观点联系和区别这两个定理）

（四）知识运用

下列几组数能否作为直角三角形的三边？为什么？

（1）15，8，17；（2）7，24，25；

（3）1.5，2，2.5；（4）13，14，15.

（本题是勾股定理逆定理的简单运用，即能否由直角三角形的三边长度判断一个三角形是否是直角三角形.并揭示解题规范和一般方法）

师：对于练习中的两组数（1）15，8，17；（2）7，24，25；我们还可以这么称之为勾股数.

师：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c，称为勾股数.

练习判断下列各组数是不是勾股数：

（1）0.3，0.4，0.5；（2）11，60，61；（3）15，36，39.

（本问题的设置既考查了勾股数的定义，而且在第（2）、（3）小问中涉及大数的运算中，可以引入一种方法，通过判断612-602是否等于112，其中612-602可以用平方差公式进行运算，大大降低了运算的难度）

……

（五）问题解决

师：通过本课的学习，同学们能否解释古埃及人为什么这样做直角？

古埃及人把一根长绳打上等距离的12个结，连成环状，拉直点B到点C之间的5段绳子，然后在点A处将绳子拉紧，则∠BAC为直角.说明理由.

生：因为这样做的话，三角形的三边满足勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC为直角.

师：太了不起了！我们把古埃及人做直角的问题解决了.

【教学反思】

亚里士多德说：“思维从疑问和惊奇开始”，学生有疑而提出问题，须经历一番思考的过程才有可能.

在数学教学活动中，以问题的提出作为思维的起点，以问题的解决贯穿教学活动的全过程，这样，学生会养成良好的数学思维，并用以指导其人生各种活动.