胡文玉，张 荣，赵惠妍，刘 婷

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)



·应用数学·

一种基于平面六点的射影不变量构造方法*

胡文玉，张 荣，赵惠妍，刘 婷

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

从代数曲线的经典理论出发，利用特征数概念，给出了一种基于射影平面上六个点的射影不变量构造方法，并用具体例子加以了验证，且对其应用前景进行了展望.

代数曲线；射影不变量；特征数；交比

1 引言

代数曲线是古老而经典的数学(特别是代数几何)研究对象，它在数学与应用数学的各个分支，以及工程领域如密码系统、编码理论、容错编码、数字图像以及计算机视觉等领域的重要应用.近年来，对它的研究特别是从计算角度的研究成为非常活跃的分支[1]，其中罗钟铉等[2-3]通过引入特征比的概念，提出了一个关于代数曲线特征数的概念，它能反映代数曲线的某些内蕴性质，使人们从不同的视角重新认识代数曲线及其应用.

目前，应用特征数得到了许多理论结果[2-4].例如，以特征数为工具，推广了著名的Pascal定理(落在任意二次代数曲线上的任意六点，其三对顶点的连线或其延长线必交于一点)、重新证明了Chasles定理(两条三次代数曲线恰相交于九个点，若第三条代数曲线过其中的八个点，则它必过另外一个点)，以及利用特征数解决了在Morgan-Scott三角剖分下的二元样条函数空间的奇异性问题等.

图1 二次代数曲线的特征数

可以证明特征数是在射影变换下保持不变的射影不变量(证明见定理2)，这使得它在计算机视觉和模式识别等领域具有广泛的应用场景.然而，由于定义特征数的点要求同时落在一条代数曲线上，这在实际问题中很难得以保证[5-6].为此，本文改进了特征数的计算方法，得到了一个基于平面六个点的射影不变量，其中点的位置不需要落在一条(二次)代数曲线上.

2 特征数定义

本节简单介绍特征比和特征数两个基本概念，及其相关结果.全文用记号P2表示2维射影平面，记号〈a,b〉表示射影平面P2内两条直线a和b的交点，(u,v)表示射影平面P2内两点u和v所连成的直线.

(1)

为p1,p2,…,pk关于基点(或基线)u,v的特征比.

(2)

为n次代数曲线Γn的特征数(Characteristic Number, CN).

注：(1)特征比不同于高等几何中的交比.例如对于共线的四点(u,v;p1,p2),交比是比值(b1a2)/(b2a1)，而特征比是比值(b1b2)/(a1a2).(2)从定义可知，特征数是一个数值，与定义中所用到的三条直线a,b,c的选择无关.(3)文[3]利用特征数概念证明了代数曲线一条重要的内蕴性质，即：

定理1[3]任意n次代数曲线Γ2的特征数CN(Γn)=(-1)n总成立.

例如，当n=2时，如图1所示，设Γn为射影平面P2上的一条二次代数曲线，其与直线a,b,c的交点分别为{p1,p2}=〈Γ2,a〉,{p3,p4}=〈Γ2,b〉,{p5,p6}=〈Γ2,c〉.同样，记交点u=〈c,a〉,v=〈a,b〉,w=〈b,c〉.若p1,p2,…,p6关于u,v,w有如下关系式：

(3)

则二次代数曲线Γ2的特征数是

(4)

图2 射影平面上四点及其交点示意图

注意到，以上所讨论的点p1,p2,…,p6必须落在同一条二次曲线上.若六个点中至少有一个点不落在同一条曲线上，则无法计算其特征数.为解决该问题，本文讨论射影平面上任意互异六点的特征数计算问题.

3 特征数计算

3.1 两个重要引理

给定欧氏平面上的一点(x,y)，对任意的非零实数z，三元组(xz,yz,z)称为该点在射影平面上的齐次坐标.可知，对任意非零的实数ρ，(x,y,z)和ρ(x,y,z)表示同一点.同时，约定(x,y,0)为无穷远点.

引理1 设pi=ρi(ai,bi,ci)(i=1,2,3,4)是射影平面P2上的四个点，其中任意三点不共线(如图2).则由直线(p1,p2)和(p3,p4)所决定的交点u=ρu(xu,yu,zu)的坐标为：

(5)

其中

证明 因为u是直线(p1,p2)和(p3,p4)的交点，故(xu,yu,zu)同时满足如下方程：

即

因为p1,p2,p3,p4任意三点不共线，故上述方程组有唯一解.又因为齐次坐标(x,y,z)至少有一个分量不为0，不妨设z≠0.则求解得到

进一步，令

则

(6)

且有如下关系式：

引理2 设i1,i2,i3,i4∈{1,2,3,4,5,6}，且i1,i2,i3,i4互不相同，则有如下结论

(7)

证明 代入mijk和mij，再经过简单化简，即可得结果.证毕！

注：引理2中，若取i1=1,i2=2,i3=4,i4=3，则式(7)变为m23m143-m13m234=m43m123,再由式(6),得

类似地，若取i1=1,i2=2,i3=3,i4=4，则可得

3.2 基于平面六点的特征数构造

设pi=ρi(xi,yi,1)(i=1,2,…,6)为射影平面上互异且任意三点不共线的六点(如图3).设基点u=〈(p1,p2),(p5,p6)〉,v=〈(p1,p2),(p3,p4)〉,w=〈(p3,p4),(p5,p6)〉，且坐标分别为u=ρu(xu,yu,1),v=ρv(xv,yv,1),w=ρw(xw,yw,1)，则由引理1有：

进一步，有了基点坐标，可以找到如同式(3)的共线关系.即假设p1,p2,…,p6与u,v,w有如下关系式：

则利用上述线性(或共线)关系以及引理2的结论，可得

图3 射影平面上任意互异六点示意图

于是，根据特征数的定义，由p1,p2,…,p6所确定的特征数是：

(8)

3.3 特征数的射影不变性

本节证明定义2和式(8)中所定义的特征数在射影变换下都是保持不变的，即为射影不变量.

定义3[7]设在点场π,π′上各取定齐次射影坐标系，称由

(9)

设u,v,p∈P2，如果p=au+bv，则经射影变换后，

从而，

(10)

定理2 由定义2所定义的特征数是射影不变量.

同理可得

(11)

定理3 式(10)所定义的特征数是射影不变量.

证明 利用式(11)，可得

证毕！

4 数值例子

本节通过一个具体例子验证第3.2节推导的正确性.

例1 设p1=ρ1(-2,4,1),p2=ρ2(-1,1,1),p3=ρ3(0,0,1),p4=ρ4(1,1,1),p5=ρ5(2,4,1),p6=ρ6(3,9,1)是射影平面P2上的六个点.根据式(8)，计算得

代入式(8)，计算得

以上计算结果表明CN(p1,p2,…,p6)的确是射影不变的.

5 结语

基于特征数理论，提出了一类平面六点的射影不变量构造方法.由于射影不变量是几何尤其是射影几何重要的研究对象，它在计算机视觉和模式识别等领域有着广泛的应用.如文[8-9]利用平面五点的交比(Cross Ratio, CR)(交比是射影不变量)

匹配多视角运动轨迹，其中αij表示直线〈pi,p5〉和〈pj,p5〉的夹角；文[5,10]构造平面六点的射影不变量

来检测人脸特征点，容易发现上射影不变量不同于本文提出的射影不变量；文[6,11]利用平面五点特征数

提出了基于层次化或时空域的上下文形状特征提取算法.注意到本文提出的平面六点射影不变量虽形式上不同于以上几类不变量，但是与它们具有类似的曲线形状特征表达能力.因此，开展本文提出的平面六点射影不变量应用研究将在下一步进行.

[1] Luo Z, Hu W, Feng E. Computing curve intersection by homotopy methods[J].Journal of Computational and Applied Mathematics. 2011,236(5):892-905.

[2] Luo Z, Zhou X, Gu X. From a projective invariant to some new properties of algebraic hypersurfaces[J].Science China Mathematics. 2014,57(11):2273-2284.

[3] 罗钟铉,孟兆良,刘成明.计算几何—曲面表示论及应用[M].北京: 科学出版社,2010.

[4] Luo Z, Shi X, Liu F. Geometric significance of the singularity of spline space over Morgan Scott's partition[J].Journal of Mathematical Research and Exposition. 2010,30(1):1-16.

[5] Fan X, Wang H, Luo Z, et al. Fiducial facial point extraction using a novel projective invariant[J].IEEE Transactions on Image Processing. 2015,24(3):1164-1177.

[6] Jia Q, Fan X, Liu Y, et al. Hierarchical projective invariant contexts for shape recognition[J].Pattern Recognition. 2016,52:358-374.

[7] 周兴和,杨明升.高等几何(第三版)[M].北京: 科学出版社,2015.

[8] Branca A, Stella E, Distante A. Feature matching constrained by cross ratio invariance[J].Pattern Recognition. 2000,33:465-481.

[9] Walter N, Stan S, Alberto D. Matching Trajectories between video sequences by exploiting a sparse projective invariant representation[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2010,32(3):517-529.

[10] Li Y, Fan X, Liu R, et al. Characteristic number regression for facial feature extraction[C].IEEE International Conference on Multimedia and Expo (ICME), 2015.

[11] Jia Q, Fan X, Luo Z, et al. Cross-view action matching using a novel projective invariant on non-coplanar space-time points[J].Multimed Tools Appl. 2015,1-22.

The Construction of Projective Invariants on Six Planar Points

HU Wenyu, ZHANG Rong, ZHAO Huiyan, LIU Ting

(SchoolofMathematicsandComputerScience,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

In this paper we bridged the gap between algebraic curve and projective invariant. From the classic theory of algebraic curve and definition of Characteristic Number (CN), we proposed an approach to construct a projective invariant that is defined by six points on the projective plane. The algorithmic effectiveness was validated by a numeric example. And the proposed invariant would have many applications.

algebraic curve; projective invariant; characteristic number; cross ratio

2016-05-01

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.004

国家自然科学基金(61502107，11361005，11501126)；江西省自然科学基金(20151BAB211014，20161BAB202069)；赣南师范大学招标课题(14zb21)；高等学校青年骨干教师出国研修项目(“青骨项目”)；中央财政支撑地方高校发展专项基金“应用数学创新团队建设”

胡文玉(1982-)，男，江西吉安人，赣南师范大学数学与计算科学学院讲师，研究方向：稀疏优化与人体运动数据分析；张荣，男，赣南师范大学数学与计算机科学学院2014级研究生；赵惠妍，女，赣南师范大学数学与计算机科学学院2013级信息与计算科学专业本科生；刘婷，女，赣南师范大学数学与计算机科学学院2013级信息与计算科学专业本科生.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.010.html

TP391.41

A

1004-8332(2016)06-0017-06