崔文慧,张丽梅,杨向坤,魏 议

(1.河北科技大学建筑工程学院，河北石家庄 050018；2.北方工程设计研究院有限公司，河北石家庄 050018)



考虑裁切线的马鞍形张拉膜结构找形分析

崔文慧1,张丽梅1,杨向坤2,魏 议1

(1.河北科技大学建筑工程学院，河北石家庄 050018；2.北方工程设计研究院有限公司，河北石家庄 050018)

传统的膜结构分析从找形、荷载分析到裁剪，均忽略了实际工程中的膜结构是带有裁切线的结构，而实际使用中膜材的褶皱、破坏等往往始于膜片连接周围。针对上述问题，对带有裁切线的膜结构进行设计，充分考虑膜片展平过程中的无应力状态和膜片连接处的搭接现状，首先采用测地线法生成空间裁切线，采用等效板单元法将裁切的空间膜片展平成平面近似无应力膜片；然后考虑膜片的连接，将无应力膜片进行热合连接形成新的几何膜片，对膜片进行二次找形；最后对比有、无裁切线膜结构的找形结果，证明了方法的正确性。研究结果可为今后的膜结构设计和施工提供参考。

悬索与张拉结构；马鞍形膜结构； 找形分析； 裁剪分析； 测地线； 零应力状态

膜结构的分析过程包括找形、裁剪、受力分析环节[1]，传统的分析过程将找形设为第1步，裁剪和受力分析是在找形基础上进行的两个平行过程，这与实际结构的设计、施工和使用过程有区别，实际结构是在找形之后进行裁剪，形成裁切片，然后热合成平面膜片结构，再进行二次找形即施工成形(图1中从①→⑤的过程)。

图1 膜结构实际成形过程Fig.1 Practical forming process of membrane structure

从上述分析过程可以看出，实际膜结构是带有裁切线的结构，而非第1次找形后的结构，如果按照常规方式进行找形、荷载分析，与实际结构的找形和受力有较大差异，这在很大程度上影响结构使用。使用裁切后的膜片进行二次找形的难点在于如何根据裁切片的几何形状确定各膜片拼接后的无应力初始状态。国内外学者在裁剪方法[2-3]、预应力释放[4-8]等方面做了一些研究，但是在膜片拼接后的无应力初始状态方面研究的较少。王慧慧[9]、SAN等[10]采用先张拉再拼接的方法将空间膜片裁剪后沿裁切线固定，再展平张拉回原位，实现结构内力的重新分布，这种方法的弊端在于忽略了展平过程中膜片的无应力状态和膜片连接处的搭接现状；陈务军等[11-12]提出结构的近似零应力态，根据弹性平衡态，采用逆分析法即可获得。

基于以上原因，本研究采用等效板单元法将裁切的空间膜片展平成平面无应力膜片，整个过程属于一个应力释放过程，应力释放后膜片即为无应力的平面膜片，即恢复到初始的平面状态(近似无应力状态)，然后考虑膜片热合处的实际连接情况，实现平面膜片连接，最后根据非线性有限元法二次找形。

1 膜结构找形和裁剪

1.1 膜结构找形

假设膜单元为等应力分布，且始终保持初始预应力，不考虑材料非线性的影响和外荷载的作用，按照式(1)列出非线性有限元基本方程，考虑边界条件，采用迭代法计算，当迭代收敛时，所得形状即结构找形结果[13]。

([KL]+[KNL])·{Δu}=-{F} ，

(1)

式中：[KL]表示线性刚度矩阵；[KNL]表示非线性刚度矩阵；{F}表示节点等效力向量。

本文以马鞍形张拉膜结构为例，研究膜结构找形，借助ANSYS软件实现。如图2所示，该结构对角线方向上的长度为5 m，高度为4 m。膜面的初始预张力为2.0 kN/m，张拉刚度为255 kN/m，剪切刚度为80 kN/m，泊松比为0.3。结构的4个角点是固定的，正方形的4条边采用柔性索边界，边索的初始预拉力设为30 kN。索单元选用Link10单元，膜面选用Shell41单元。

平衡迭代求解之后的膜面位移及应力分布见图3和图4。

图2 马鞍形张拉膜结构Fig.2 Tensioned saddle membrane structure

图3 膜面位移分布 Fig.3 Displacement distribution of the membrane surface

图4 膜面应力分布Fig.4 Stress distribution of the membrane surface

1.2 膜结构裁剪

经过曲面上2点，并存在于曲面上最短的曲线称为测地线[14-17]，它采用广义泛函[18]变分取极值方法实现，应用该方法进行裁剪分析，实际上就是通过测地线剖分空间膜面。已知曲面上的2点，求经过这2点的测地线，给定曲面φ(x,y,z)=0，求曲面上已知2点沿曲面的最短线段，见式(2)。

如图5所示，考虑膜材实际宽度后，最终将其分割成5片。

图5 最终分割膜片 Fig.5 Final split diaphragm

2 膜结构应力释放的等效板单元有限元法

首先把空间曲面三角形与平面三角形各边的差值{δ}={δ1δ2δ3}计算出来，然后根据式(3)求出作用在平面三角形三个边的内力Ti；由式(4)通过单元3个边的内力，求出等效节点力；再对每一单元进行循环，得到等效外荷载{P}，求解有限元方程(1)，得到节点位移{Δu}；然后依照新的平面几何{x}i+1，求i+1步的等效节点力，如果等效节点力的值超过了控制精度，所得平面即近似零应力态平面[19]。

根据上述原理，将图5形成的空间膜片展平，获得近似的零应力平面膜片如图6所示，选取其中4个特殊节点进行内力分析，分析结果如图7所示，可以看出将节点不平衡力控制在给定的精度0.05 kN/m内，迭代1 200次之后，膜面的应力已基本释放。

图6 空间膜片展开成平面膜片Fig.6 Space membrane expanded to planar diaphragm

图7 膜面展平之后的内力分布Fig.7 Internal force distribution of the membrane after flattening

3 膜片连接后的二次找形及对比分析

3.1 二次找形

采用热合连接，根据PVC膜材的连接方式，采用膜材缝宽为1 mm，连接带宽为50 mm，双面热合，膜面厚度为1 mm，根据热合连接要求，连接处厚度为1.03 mm，热膨胀系数为10，采用非线性有限元法进行膜片二次找形[19-20]，结果如图8所示。

图8 带裁切线的膜面找形Fig.8 Form-finding of the membrane with cutting lines

考虑到裁切线的存在，二次找形后的膜片位移、应力分布情况如图9、图10所示。

图9 带裁切线的膜面找形位移Fig.9 Form-finding displacement of the membrane with cutting lines

图10 带裁切线的膜面找形应力Fig.10 Form-finding stress of the membrane with cutting lines

3.2 对比分析

对比有、无裁切线的膜结构找形结果可发现：

1)有、无裁切线的膜结构找形所得位移和应力均为对称分布。

2)无裁切线膜结构的最大位移发生在膜面的上下两部分及4条边的中间，为0.003 6 m，最小位移发生在中央及4个角点，为0.000 4 m；考虑裁切线后位移分布发生了变化，最大位移发生在膜片的连接处，为0.011 m，最小位移在膜面中央及4个角点，为0.001 2 m。对比可知，有裁切线时位移最大值点随裁切线变化，且值比无裁切线时约大2倍。

3)无裁切线膜结构的膜面的最小应力为1.53 kN/m，在膜面中央，最大应力为2.06 kN/m，分布在4个角点；考虑裁切线后应力分布发生变化，最大应力发生在膜片的连接处为2.34 kN/m，最小应力在膜面中央及4个角点为1.09 kN/m。对比可知，有裁切线时应力分布随裁切线变化，且膜面应力变化大。

4 结 论

裁切线是膜结构在实际施工和受力分析中必不可少的部分，实际使用中膜材的褶皱、破坏等往往始于膜片连接周围，因此对带有裁切线的膜结构进行研究十分必要。实际膜结构是带有裁切线的结构而非第1次找形后的结构，如果按照常规方式进行找形、荷载分析，与实际结构的找形和受力有较大差异，这会在很大程度上影响结构使用。使用裁切后的膜片进行二次找形的难点在于如何根据裁切片的几何形状确定各膜片拼接后的无应力初始状态。本研究采用等效板单元法将裁切的空间膜片展平成平面无应力膜片 (即近似无应力状态)，然后考虑膜片热合处的实际连接情况，实现平面膜片连接，最后再根据非线性有限元法二次找形。结果表明：

1)平面膜片应力基本为0，4个角点也控制在0.05 kN/m之内，属于近似无应力状态。

2)采用双面热合，连接处厚度为1.03 mm，形成了有裁切线的膜结构，找形结果表明，结构应力和位移沿着裁切线分布有显著变化，位移变化比无裁切线时大2倍，应力变化趋于均匀。

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Form-finding analysis of the tensioned saddle membrane structure considering the cutting lines

CUI Wenhui1, ZHANG Limei1, YANG Xiangkun2, WEI Yi1

(1.School of Civil Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China; 2.Norendar International Limited, Shijiazhuang, Hebei 050018, China)

Traditional membrane structure analysis including form-finding, load analysis and cutting ignores that in practical engineering the membrane structure is with cutting lines which will lead to wrinkle or destruction of the membrane, so the membrane structure with cutting line is designed. The lap joint and similar zero-stress state of the membrane are considered sufficiently during the membrane flatten process. Firstly, the geodesic method is used to generate space tangent line. The sliced space membrane diaphragms are unfolded to produce planar similar zero-stress membrane diaphragms with equivalent plate element method, then, with considering the joints of membrane diaphragms, the planar similar zero-stress membrane diaphragms are joined by thermal connect, and the second forming-finding of the membrane diaphragms is implemented. Finally, the results with and without cutting lines are compared, which proves the effectiveness of the method. The research can provide reference for future design and construction of membranes.

span wire and tension structure; tensioned saddle membrane structure; form-finding analysis; cutting analysis; geodesic line; similar zero-stress state

1008-1542(2016)06-0614-06

10.7535/hbkd.2016yx06014

2016-05-05；

2016-06-12；责任编辑：冯 民

国家自然科学基金(51278299)；河北省研究生教育创新资助项目

崔文慧(1989-),女，河北唐山人，硕士研究生，主要从事膜结构方面的研究。

张丽梅副教授。E-mail: zhanglimei168@126.com

TU393

A

崔文慧,张丽梅,杨向坤,等.考虑裁切线的马鞍形张拉膜结构找形分析[J].河北科技大学学报,2016,37(6):614-619. CUI Wenhui, ZHANG Limei, YANG Xiangkun, et al.Form-finding analysis of the tensioned saddle membrane structure considering the cutting lines[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(6):614-619.