许　欢

借力课本习题拓展基本图形

许欢

苏科版《数学》九年级下册第57页的练习3：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E.图中有哪些三角形与△ABC相似？为什么？

矩形被一条对角线分得的两个三角形全等，而直角三角形斜边上的高把原直角三角形分成两个直角三角形，这两个三角形都和原三角形相似.所以图中△ADC、△ADE、△CDE与△ABC都相似.

上题中出现了一个基本图形（见下面图1）.其实在研究数学问题中，若能捕获到一些基本图形，则会缩短我们的思维路径，提升解题效率.

图1

图2

图3

在相似三角形的学习中出现并整理过多种基本图形，这里以“垂直型”为例：如图1“双垂直共角共边型”（也称“射影定理型”）；如图2“双垂直共角型”；如图3“三垂直型”.

在2016年苏州市中考试卷中就有类似考题能用这些基本图型来解答.

例1如图4，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，23），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为.

图4

【解析】如图4，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，即BP⊥EC，垂足为点F时，出现“双垂直共角共边型”，得△CPF∽△CEP，另外在BF、DC相交所形成的“8字型”中，有一对对顶角相等，一对直角相等，可得△CPF∽△BPD，进而有△CEP∽△BPD，可以列出有关DP、PE的比例式，再根据“坐标及平行线分线段成比例”即可得答案.求得点P的坐标为（1，）.

例2如图5，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）

图5

图6

（1）如图5，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为；

（2）如图6，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值.

【解析】（1）由正方形PQMN，可得QP⊥BD，结合△BCD，出现“双垂直共角型”，可得△BPQ∽△BCD，从而求出PQ、BQ，再根据角平分线性质定理可得PQ=CQ.

（2）作ME⊥BC于点E（如图6）.

△QEM和△BPQ之间出现类似“三垂直型”，即△QEM∽△BPQ，进而可得△QEM∽△BCD，再结合等腰三角形“三线合一”性质，即可得到答案.

掌握一些相似三角形的基本图形，将它们与其他知识点充分结合，透过外形看清本质，一定能够快速地获取解决此类问题的思路与方法.

（作者单位：江苏省常熟市实验中学）

挑战压轴题

（本题由江苏省常熟市孝友中学朱明芬提供）