王九红

“教什么”和“怎么教”是教师专业研究的两个主要问题。从前者看，现有教科书制度使教师的力主要投放于教材之上——研究教材，加工教材，充分发挥教材作用，促进学生素养提高；从后者看，虽然教无定法，但就当前教改深化的思路和方向看，探究式教学是一种值得提倡且须深入研究的主题。精心加工教材内容与采取探究的方式进行教学，看似分属于“教什么”和“怎么教”两个方面，实质上两者是一个有机的整体。从某种程度上可以说，探究就是教材加工的一种方式，教材加工过程就是学生探究和建构知识的过程。下面结合具体案例就探究式教学中，教材内容的加工策略谈几点想法。

一、凸显概念核心，化陈述为探究

教材中有许多概念认识方面的内容，包括数（如分数、小数、百分数等）的认识、图形（如长方形、正方形、平行四边形、角、三角形、圆、长方体和正方体等）的认识、图形变换（如平移、旋转、对称、缩放等）的认识，等等。这些内容大多是起始概念、基本概念，教材编写时往往采用陈述的方式，具体为：呈现生活中的相关事物→抽象为数学概念→阐述概念相关因素与特征→强化理解。对于这种类型的内容，我们可以采用化教材陈述为课堂探究的策略进行教学。下面，以人教版数学六年级上册《扇形的认识》为例谈谈具体方法。

【案例1】不标明圆心

1.生活引入

课件出示生活中常见的扇形物体。

师：这些物体分别叫什么？（扇贝、扇形藻、折扇）

这些物体的名称有什么共同点？（都有一个“扇”字）

在数学上，我们把这类扇子形状的图形称为“扇形”，今天我们就来“认识扇形”。（板书课题）

2.操作探究

师：请拿出材料袋里大小不同的圆形纸片（注：没标圆心），你能用它们制作出扇形吗？（学生小组合作，制作扇形）

3.交流讨论

学生展示并介绍自己制作的“扇形”，可能出现以下图形：

师：这些图形都是扇形吗？（学生发言，表明各自观点）

到底什么样的图形才是扇形？扇形应该具备什么特征？

4.全面认识

师：请大家阅读教材，你知道了些什么？（学生汇报：认识了扇形各部分名称：弧和圆心角。知道扇形是由一条圆弧和过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。）

……

《数学辞海（第1卷）》中对“扇形”的定义是：指由一条圆弧和过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。基于小学生的认知水平和特点，对此定义许多版本的教材都没有明确给出，而是采用了描述的方式：“像上面的图形就是扇形。”这种笼统的描述往往会使学生抓不住概念的核心要素，不能形成精确的概念表象。笔者就不止一次地看到学生甚至教师错将下图中由弧AB与顶点不在圆心的角围成的图形当成了扇形。

为了凸显扇形概念的核心特征，上述案例的设计就改变了一般教师的陈述方式，而是有针对性地将凸显“圆心角的顶点是圆心”这一核心要素作为探究活动的重点，具体方式就是提供不标明圆心的圆纸片让学生折、剪或画出扇形。由于学生对扇形的初步认识迁移于生活经验，所以很难认识到扇形两条边的交点必须在圆心上。所以制作出来的扇形徒有扇形的外形，而无扇形之实。在此基础上，再通过比较各种“扇形”和阅读教材，使学生抓住了扇形概念的核心要素——圆心角的顶点是圆心。

化陈述为探究的要旨在于教师要秉持知识建构的观点，巧妙地将概念特征的静态呈现变为动态的知识形成过程，进而将这一过程与学生探究活动相结合，使探究的过程成为学生知识建构和获得的过程。

二、融通知识共性，探究知识系统

【案例2】连加的数不管位置和运算顺序如何变，结果都相等——苏教版数学四年级上册《加法的交换律与结合律》教学片段

1.解答例题

师：你能提出什么问题？（跳绳的有多少人？一共有多少人在运动？）

会解答这两个问题吗？（学生列式解答）

你能说出列式的道理吗？先算什么，再算什么？

根据学生回答，教师整理并板书：

28+17=17+28，（28+17）+23=28+（17+23）。

2.探索规律

师：仔细观察算式，你有什么发现？（交换两个加数的位置，和不变；三个数相加，先加前两个数再加第三个数的和与先加后两个数再与第一个数相加的和相等。）

你还能举出这样的例子吗？能举得完吗？那你能用自己喜欢的方式表示出这两个规律吗？[a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）]

3.比较深化

师：大家比较一下加法交换律和加法结合律，它们有什么相同和不同之处？什么变了？什么没变？（交换律变化的是加数的位置，结合律变化的是运算的顺序，算式的结果没变。）

大家看看下面的○中可以填“=”吗？

（23+14）+37○14+（37+23）

（23+37）+14○37+（14+23）

（14+37）+23○23+（37+14）

观察上面的算式你有什么发现？（只要三个数相加，不管位置和运算顺序如何变化，结果都不变。）

4.拓展规律

师：如果不只是三个数相加，而是四个或是更多的数相加，你能得出什么规律？（只要是加法，不管有多少个数，也不管位置和运算顺序如何变化，结果都不变。）

“只要是加法，不管有多少个数，也不管位置和运算顺序如何变化，结果都不变。”学生发现的这个规律较之于教材呈现的加法交换律和结合律更具普遍性。实际上，这反映的就是加法运算的本源——合并。合并的基本方法有两种：一是“合并后重数”，另一是“从一个加数开始往后数”。显然，第一种方式与顺序无关，后一种方式涉及顺序的问题，即谁作为基础数，谁作为往后数的数。从抽象度的角度看，学生探究出：“只要是加法，不管有多少个数，也不管位置和运算顺序如何变化，结果都不变。”这个规律较之于加法交换律和结合律抽象度更高，因为它舍弃了“顺序”，所以具有更广泛的概括力。

教材通常都是一个知识点一个知识点地顺次进行编写的，许多分散编写的知识点并没有有机地串联起来。布鲁纳在《教育过程》中指出：“获得的知识如果没有完满的结构把它联在一起，那它多半会是一种被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有可怜的短促寿命。”数学知识联系起来，形成系统，这是知识发生、发展的过程。从教学的角度看，这是一个建构的过程，这种建构过程有助于学生深度而系统地理解知识，形成良好的认知结构。因此，数学知识系统的建构既是探究教学的重要内容与目标，也是探究教学的开展方式。

小学数学教材中有许多分散的知识可以建构成知识系统，关键在于我们对这些知识的深刻理解和共性的把握。例如，正方形、长方形、平行四边形、菱形、圆形可以通过“绕中心旋转180°后重合”这一属性来建构知识系统——中心对称图形。倍数、分数、百分数（折数、成数）和比可以通过两者之间的份数关系统整于一体。这样，许多的除法问题、分数（百分数、折数、成数）问题和比例问题都可以打通，从而实现以简驭繁、举一反三之功效。对数学知识的共性把握的重要方式之一就是采用弱抽象，即舍去知识的部分属性和特征。

三、协商解法，在探究中合作建构

从知识类型看，数学问题的解决属于程序性知识。问题解决的过程是学生主动寻求解题方法的过程，这种寻求既基于独立的思考，也需要老师和同伴的帮助。师生的互动、同伴的互助不仅能激发思维的活力，产生创新的火花，而且能使学生学会与人交往，形成合作的意识和能力。小学阶段的问题解决可以分为两种类型：一种是根据已知条件运用数学知识和逻辑规则进行推演从而得到必然结果的问题。在小学阶段这种问题占大部分，包括各种计算解决的问题、判断问题、推理问题等。另一种是方案设计问题。这种问题的答案不唯一，标准是满足题目要求。前一种问题解决遵循的是知识逻辑，如法则、公式、定理等，判断解法正确与否的标准是客观的，其探究教学过程是一种知识建构的过程；后一种问题解决遵循的是共同约定原则，判断方案优劣的标准是多数人的认可，其探究教学过程是一种社会建构过程。前者的研究已经很多，下面通过《用数对确定位置》的教学来着重阐述后一种问题的探究教学。

【案例3】探究约定的合理性

1.情境引入

出示问题情境图。（如下图）

师：谁能告诉大家，小军坐在什么位置？

（学生会有不同的描述，如小军坐在第4组第3个；小军坐在第3排第4个；小军在第3排第3行……）

师：为什么同样一个位置会有这么多不同的说法？怎样才能正确、简明地说出小军的位置呢？（板书：确定位置）

2.合作约定

（1）介绍“列”和“行”。

师：通常把竖排叫作列，横排叫作行。

（2）分别约定“列”和“行”的排列方向。

师：为什么行、列的名称统一了，大家对小军位置的说法还有不同呢？怎么办？

（集体商议：一般情况下，确定第几列要从左向右数，确定第几行要从前向后数。）

（3）约定“列”和“行”的先后顺序。

师：现在小军位置的说法应该相同了吧？（还有两种说法）

看来还要再约定“列”和“行”的先后顺序，那么谁先谁后呢？（先列后行）

3.用数对确定位置

师：现在小军位置的说法终于统一了，谁能表示得更简洁些呢？

（可能出现（4，3）；4-3；4，3；……）

大家的这些办法都有道理，数学家采用的就是你们表示方法中的一种：（4，3）。

……

许多老师认为像《确定位置》这样的内容属于规定性知识，没有什么道理可言，所以陈述和介绍就成为大家惯用的方法，当学生产生不同意见时就用“这是教材的规定”“数学家采用的办法”来应对。这样就打消了学生参与的积极性，压缩了学生思维活动的空间，使得他们处于一种被动接受的状态。

其实，这种约定性内容也是可以采取探究式教学的，探究的对象是约定的合理性。可以这样说，小学教材中编写的所有约定性知识，都是已经为数学界承认的，其规定都经过了历史的洗礼，都有其合理性。所以探究这种约定的合理性也是经历数学知识的发生和发展过程，也是一种建构活动——一种社会建构活动。