梁海滨 辽宁对外经贸学院

微元法求旋转体体积探讨

梁海滨 辽宁对外经贸学院

微元法是定积分求平面图形旋转体体积的基本方法，合理选取微元和积分区间是用定积分解决问题的关键。

微元法 定积分 旋转体 体积

前言

定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出将所求量U（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：

(1)由分割写出微元：根据具体问题，选取一个积分变量，例如X为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量U的微元；

在应用中，旋转体的类型很多，将对几种常见类型的旋转体给予讨论，介绍解决各种旋转体体积的方法。

1.平面图形绕坐标轴所形成的旋转体体积（以X轴为旋转轴为例）

1.1坐标轴是平面图形的一条边

1.2坐标轴在平面图形的外部

取X为积分变量X∈[0，1]

于是,所求绕X轴旋转而成的旋转体的体积

2.平面图形绕与坐标轴平行直线所形成的旋转体体积（以与Y轴平行线X=c为旋转轴为例）

2.1 旋转轴在平面图形的外部(注：无论旋转轴在图形的左侧或右侧微元不变)

2.2旋转轴在平面图形的边上(注：无论旋转轴在图形的左侧或右侧微元不变)

则所求体积为

例题略

3.小结

微元法是定积分求旋转体体积的一般方法，但在用微元法求体积时会遇到各种情况。其中旋转轴分为坐标轴和与坐标轴平行情况；旋转轴与平面图形的位置分为内部、外部、边上三种情况。这些类型的关键就是找对积分区间和微元。

[1]吴赣昌.微积分（经济类）[M].北京：中国人民大学出版社，2012-07.

[2]王培吉，王尚户，王嘉谋. 基于微元法旋转体体积的计算[J]. 高师理科学刊, 2010-01.

梁海滨（1978-），女，辽宁人，辽宁对外经贸学院基础课教研部副教授，硕士，从事高等数学教学研究。