唐　骏，张　璘，袁江南

(厦门理工学院 通信工程系，福建 厦门 361024)



随机混沌感知矩阵及其在成像雷达中的应用*

唐骏**，张璘，袁江南

(厦门理工学院 通信工程系，福建 厦门 361024)

根据压缩感知理论提出了一种适用于成像雷达的新算法，在成像目标分布满足稀疏性前提下，利用发射的随机混沌序列(SCS)形成卷积矩阵，然后通过随机行抽取构造随机感知矩阵(SCSM)。给出了完整的算法实现框架，从理论上证明了SCS的随机性和统计独立性以及SCSM的有限等距性(Restricted Isometry Property,RIP)。仿真结果验证了算法的有效性，同时分析了影响算法性能的主要因素。与匹配滤波法相比，所提算法重构误差小，输出旁瓣低。SCSM与其他随机矩阵具有相同的性能，然而，SCSM容易在硬件上实现，且更适用于要求保密性高和抗干扰能力强的场合。

雷达成像；压缩感知；感知矩阵；随机混沌；有限等距性

1　引　言

压缩感知(Compressive Sensing,CS)在应用数学、计算机科学和电子工程等领域得到了广泛的应用，而设计合适的感知矩阵是CS的重要任务之一。为了保证信号重构的唯一性和稳定性，对感知矩阵的性质提出了许多要求[1-3]。感知矩阵根据构造方法的不同可分为确定性感知矩阵和随机感知矩阵，后者被证明能很好地重构原始信号，但在实际应用中难以用硬件实现，且存储和传输的开销大。

混沌信号可由确定机制产生，但在统计上具有类随机噪声的特点[4]。受此启发，许多文献将混沌引入CS的感知矩阵设计中：文献[5]应用混沌滤波来构造感知矩阵；文献[6]用混沌序列来构造感知矩阵，并证明此类矩阵以高概率满足有限等距性质(Restricted Isometry Property，RIP)；文献[7]讨论了混沌过程的上界，可以用来提高结构随机矩阵的RIP估计；文献[8]指出Chua和Lorenz混沌序列适合用来构造感知矩阵。然而，这些系统内在的确定性决定了通过这些方法无法得到理想的随机矩阵。

本文提出基于随机混沌序列(Stochastic Chaotic Sequence，SCS)的随机感知矩阵(Stochastic Chaotic Sensing Matrix，SCSM)构造方法，将压缩感知与雷达成像理论相结合，给出了该雷达系统的基本原理和基本处理步骤；分析了SCS的随机性和统计独立性，并给出了SCSM的具体构造方法，从理论上证明了SCSM以高概率满足RIP。数值仿真表明，SCSM具有其他常用感知矩阵几乎相同的性能，但SCSM易于工程实现，且保密性好，抗干扰能力强。

2　压缩感知基本理论

设离散信号xs∈N,可以用一个正交基或框架Ψ∈N×N来描述：

xs=Ψα。

(1)

α∈N仅有k≪N个非零元素，我们称xs在Ψ下是k稀疏信号。压缩感知可视为线性测量：

ys=Φ·xs+n。

(2)

ys=Φ·xs+n=ΦΨα+n=Θα+n 。

(3)

式中：Θ=ΦΨ是一个M×N的矩阵[9]。

根据CS理论，若Θ满足RIP，通过求解以下优化问题则可以由ys以高概率重构α。

min‖α‖l1s.t. ‖Θα-ys‖l2≤ε。

(4)

式中：‖·‖l1和‖·‖l2分别表示l1和l2范数；ε是噪声容限，且‖n‖l2≤ε。

综上可知，CS理论的具体实现包括三个重要步骤，即信号的稀疏表示、测量矩阵的构造和信号重建。应用CS理论的两个基本前提条件是信号的稀疏性和感知矩阵满足RIP特性。

3　随机混沌序列及其统计特性

3.1随机混沌序列

业已证明xn=sin2(θπ2n)是Logistic映射xn+1=4xn(1-xn)的精确解[10-13]。许多其他映射的精确通解可以表示为xn=P(θTkn)[14]，其中P(t)是一个周期函数，T是它的周期，θ为实参数，k为整数。

首先分析由下式生成序列的随机性和统计独立性：

xn=cos(2πθzn)。

(5)

式中：z>1是实数；θ为实参数。

设z是有理数，可表示为z=p/q，其中p和q是互质整数。可以证明，已知由式(5)产生序列的m+1个样值x0,x1,…,xm(m可以为任意的自然数)，下一个样值xm+1无法确定，它可以取q种不同值。令θ=θ0+qmk，定义由整数k参数化的序列

(6)

其前m+1个样值是相同的，这是因为

(7)

对所有n≤m都成立；然而下一个样值

(8)

(9)

根据给定的m+1个样值xs,xs+1,…,xs+m，无法确定xs-1的值，这是因为

(10)

xs-1可以取p种不同值。当z是无理数时，序列的前向和后向样点有无穷种可能的值取，这样的序列具有真正的随机性。

3.2统计独立性

用E(x)表示x的期望，则x的r阶相关可定义为[15-16]

(11)

(12)

利用欧拉关系式cosθ=(ejθ+e-jθ)/2，可以得到

(13)

式中：Σσ是对(σ1,σ2,…,σr)所有可能取值组合的和，其中σi=±1,i=1,2,…,r；δ(·,·)函数为

(14)

根据文献[17-18]的定义，有界函数f1,f2,…,fr是统计独立的，当且仅当

(15)

对所有正整数n1,n2,…,nr成立。

为了证明式(5)产生的序列是统计独立的，我们需证明

(16)

对所有正整数n0,n1,n2,…,nr成立。

一方面，若m是奇数，显然有

(17)

因此，若任何一个ni是奇数，则式(16)的右边必为零；另一方面，对于超越数z，若任何一个ni是奇数，则有

(18)

因此，式(16)的左边

(19)

若所有的ni为偶数，通过组合运算可得

(20)

(21)

(22)

(23)

综上所述，对所有的正整数n0,n1,n2,…,nr，若z是超越数，则式(5)的xn统计独立。

4　SCSM设计方法

根据Born假设，雷达的回波信号y(t)可认为是发射信号x(t)与目标散射函数σ(t)的卷积[19]:

(24)

其离散形式可以用矩阵表示为

(25)

记为Y=X·Σ。与式(3)对比，从形式上看，CS非常适用于雷达系统。接下来分析如何基于X来设计满足RIP的感知矩阵Φ。压缩感知雷达算法流程图如图1所示。

图1　压缩感知雷达算法流程图

设DM:N→M是一个算子，作用是将一个向量的指标集限定在任何一个势为M的集合T⊂{1,2,…,N}中。基于矩阵X，通过以下方法来构造随机混沌感知矩阵Φ∈M×N：

Φ=DMX。

(26)

定理1式(26)中的矩阵Φ以概率Pr≥1-2exp(-C1·M)满足RIP，其中M≥[C2·k·lg(N/k)]，δk∈(0,1)，常数C1、C2仅取决于δk。

引理1对于元素取某一自独立同分布的矩阵Φ∈M×N，对于任何指标集=k

∀z∈

(27)

以高概率

(28)

借助引理1可证明定理1。

根据引理1，对每一个k维空间，SCSM将以以下概率不满足式(27)：

(29)

式中：δk∈(0,1)。N中共有个k维空间，因此SCSM不满足RIP的概率为

(30)

对于固定的C1>0，只要k≤[(C1·M)/lg(N/k)],C2≤c(δk/5)-C1[1+(1+lg(12/δk))/lg(N/k)]，则必有Q≤-C2·M。

5　基于SCSM的压缩感知成像

为了检验所提算法的有效性，仿真了静态目标的一维距离像。仿真参数如表1所示。在一定距离范围内随机生成具有不同散射系数的目标，15个目标的场景图如图2所示，即意味着信号的稀疏度k=15，一个脉冲内采样1 000点。考虑到噪声的影响，设置信噪比(Signal-to-NoiseRatio，SNR)为40。

表1　仿真参数

图2　15个目标的场景向量

图3　测量向量

图4　重构与原始场景对比图

图5　CS重构与匹配滤波

图6　重构误差

图7　不同观测次数的重构误差

图8　不同观测次数的重构信噪比

图9　不同稀疏度信号的成功重构概率

6　结束语

本文以压缩感知理论为基础，结合雷达成像模型，利用随机混沌序列的随机性和统计独立性，设计了适用于压缩感知雷达成像系统的感知矩阵，该矩阵能以高概率满足RIP；通过凸优化方法进行目标重构，该方法可以减轻雷达系统的硬件处理负担，减少系统数据量。

在信号具有稀疏性前提下，CS算法能够有效地重构目标，重构误差远小于匹配滤波输出的误差，并能有效抑制旁瓣。该算法的重构性能受观测次数和原始信号稀疏度的影响。观测次数的减少会造成重构误差增大，信噪比降低；信号稀疏度的增加会导致重构概率下降。因此，在实际应用时需视具体情况综合考虑。

与其他随机感知矩阵相比，SCSM的元素可以通过确定的数学表达式计算得到，便于硬件实现；另外，在对感知矩阵进行传输和存储时，仅需传输或存储系统方程和参数，可以提高传输效率，节省存储空间，具有较高的工程应用价值。

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唐骏(1977—)，男，湖南永州人，2007年于西安电子科技大学获硕士学位，现为博士研究生，主要研究方向为雷达信号处理；

TANG Jun was born in Yongzhou,Hunan Province,in 1977． He received the M．S．degree from Xidian University in 2007．He is currently working toward the Ph.D． degree． His research concerns radar signal processing.

Email:jtang@xmut.edu.cn

张璘(1982—)，女，吉林长春人，博士研究生，主要研究方向为雷达信号处理；

ZHANG Lin was born in Changchun,Jilin Province,in 1982． She is currently working toward the Ph.D． degree． Her research concerns radar signal processing．

袁江南(1971—)，男，福建龙岩人，副教授，主要研究方向为无线通信系统。

YUAN Jiangnan was born in Longyan,Fujian Province,in 1971. He is now an associate professor. His research concerns wireless communication system.

The National Nature Science Foundation of China(No.61202013)；The Natural Science Foundation of Fujian Province(2015J01670)；The Project of Educational Commission of Fujian Province(JA13235)

Stochastic Chaotic Sensing Matrix and Its Application in Imaging Radar

TANG Jun，ZHANG Lin，YUAN Jiangnan

(Department of Communication Engineering,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

A novel algorithm is proposed based on compressed sensing for imaging radar,in which,targets in scene satisfy the requirement of sparsity peculiarity,and stochastic chaotic sensing matrix(SCSM) is constructed by selecting the rows of convolution matrix randomly,and columns of SCSM are stochastic chaotic sequences(SCS).The whole processing of this algorithm is presented. Moreover,it is theoretically proved that the SCS are random and statistically independent,and the SCSM satisfies the restricted isometry property(RIP). Simulation results demonstrate the effectiveness of this algorithm,and factors highly influencing on the results are analyzed. In contrast to matched filter processing,the reconstruction error of the proposed algorithm is significantly reduced and sidelobes are faithfully suppressed. The SCSM possesses the same performance as the other random matrices,however,it can be easily implemented in hardware and is more suitable for those occasions where security and strong anti-jamming ability is required.Key words：radar imaging;compressive sensing；sensing matrix；stochastic chaos；restricted isometry property

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.10.001

2016-04-08；

2016-07-05Received date:2016-04-08；Revised date：2016-07-05

国家自然科学基金资助项目(61202013)；福建省自然科学基金资助项目(2015J01670)；福建省教育厅资助项目(JA13235)

TN958.6

A

1001-893X(2016)10-1069-06

引用格式：唐骏，张璘，袁江南.随机混沌感知矩阵及其在成像雷达中的应用[J].电讯技术，2016,56(10):1069-1074.[TANG Jun，ZHANG Lin，YUAN Jiangnan.Stochastic chaotic sensing matrix and its application in imaging radar[J].Telecommunication Engineering,2016,56(10):1069-1074.]

**通信作者：jtang@xmut.edu.cnCorresponding author：jtang@xmut.edu.cn