浙江象山县涂茨镇中心小学（315700）　史晓艳

凸显数学思想方法让数学教学更美丽——以“数学广角——集合”一课教学为例

浙江象山县涂茨镇中心小学（315700）史晓艳

《数学课程标准》（实验稿）指出：“数学教学要使学生在理解和掌握数学知识与技能的同时，感悟数学思想和方法，积累基本的数学活动经验。”集合思想是数学中最基本的思想，对学生理解题意、解答问题和提高数学素养具有重要作用，能让学生的数学思维能力得到切实而有效的发展。

集合思想数学教学学习兴趣数形结合数学思维

《数学课程标准》（实验稿）在总体目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”这充分说明了数学思想方法在数学教学中的重要性，可是由于数学思想方法具有内隐的特性，使得教师在平时教学中经常忽视它的存在。

一、问题——教学中为何难以落实

1.思想认识欠缺

数学思想方法在整个小学数学学习阶段是非常重要的，但通过调研发现，有75%的小学数学教师对数学思想方法在课堂教学中从未渗透过。尤其是50岁左右的老教师，对数学思想方法模糊不清，在课堂中更是很少给学生渗透数学思想方法。甚至有些教师仅为了让学生解决问题，而草草地进行讲解，对题中所渗透的数学思想方法往往都是忽视的。

2.教师能力所致

通过对农村150个教师的问卷调查及近年来青年教师专业知识测试，发现刚入职的青年教师及老教师独立钻研教材的能力不强，挖掘教材中隐含的数学思想方法的能力欠佳、意识淡薄，大部分教师只注重知识与技能的传授，淡化了数学思想方法的渗透。长此以往，教师在教学中不注重渗透数学思想方法，导致学生所学的数学知识是孤立的、零散的，不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，加重了学生的学习负担。

3.培训引领不够

在小学数学各级各类培训中，对课堂上如何使学生接受知识可以做到最大化的研究与讨论比较多，但很少有专家或教师在点评过程中重视对学生渗透数学思想方法，导致数学教师在教学中对数学思想方法的重视就有所欠缺。

郑毓信先生说过：“对数学思想和方法的突出强调，应当说是数学教育特别是数学课程目标现代演变的一个主要特征。”数学思想方法以具体数学内容为载体，在教学中发挥积极的作用，不仅是学生学习数学的重要方法，还是学生未来发展的重要基础。因此，在课堂中有意识地渗透数学思想方法，已经是众多教学专家达成的共识。本文以三年级上册“数学广角——集合”一课教学为例，对如何渗透数学思想方法展开教学实践与研究。

二、探寻——以“集合”为例寻渗透数学思想教学之路

1.课前之研

数学教材通过静态的形式呈现知识内容，而学生需要经历知识发生、发展的动态过程，才能更好地理解和掌握所学知识。因此，教师必须深入研读教材，优化课堂教学设计，使学生真正触及数学的思想方法与本质。

（1）追本溯源，寻找起点。

①本学科的追溯。

“集合”虽是三年级上册的内容（如下图），但是集合的概念、集合的思想在一二年级早已出现过。

学生在开始学习数学时，教材就通过直观形象的韦恩图渗透集合的思想。如在认识0～10的数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。又如，《数学》第一册表示1的集合图里只有一个元素（一面红旗等）、表示3的集合图里有3个元素（3把凳子等），这就很形象地把集合中的元素与基数的概念有机地联系起来；《数学》第二册“认识图形”一课把类似的图形都放在一起，渗透了如何把同类的物体组成一个集合的思想；加法运算中有这样一题“左边一只千纸鹤，右边两只千纸鹤，一共有几只千纸鹤”，这既是两个集合间不交叉的运算，又是集合思想的体现。虽然集合思想早就渗透在教材中，但学生对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。如教材中有这样一题：“有一列小朋友，从前数明明排第6，从后数明明排第2，这一列有几人？”对“重复的人数要减去”学生是有经验的，能够列式解答，这里就已经开始让学生运用集合的思想来解题。

②跨学科的追溯。

其实，在《科学》的起始年级教学过程中也有对数学思想方法的渗透。如在教学《蛋的结构》一课时，教师给每个学生小组一个新鲜的鸡蛋，让学生探究、发现蛋的结构。学生通过自主观察，用列表法记录好对蛋的结构（如右图）的发现，如蛋有卵白、卵壳、卵黄等组成部分。这里教师可运用一一列表、画图的思想方法，让学生学得轻松，理解得容易。

又如，教学《神奇的磁铁》一课时，教师给每个学生小组一些能被磁铁吸的物体、不会被磁铁吸的物体及实验记录单，让学生分组实验，探究怎样的物体能被磁铁吸，然后引导学生通过观察、分析，发现磁铁的特性。

（2）精细解读，理解教材。

例如，三年级上册“数学广角——集合”单元中共有九道用集合思想解决的题目（含例题、“做一做”、练习题等），涉及学生在生活（比赛人数、水果品种、参观人数等）和学习（按要求填数、写成语等）中经常遇到的问题，即求两个集合的并集或交集的元素个数。其中，教材例题（如下图）的教学意图很明显，可分为以下三步。

第一步，教材用统计表的形式给出某班级参加跳绳、踢毽比赛的学生名单，并提出要解决的问题。教师让学生充分自主探索解决问题的各种方法，教学中通过一一列举出参加两项比赛的学生姓名（两个集合的元素），并把重复的姓名凸显出来，让学生感悟到在求两个集合的并集时，它们的共同部分在并集中只能出现一次。

第二步，了解用韦恩图表示集合及其运算的方法，让学生体会集合元素的特性是无序性和互异性，明确集合的运算有交集和并集。

第三步，教师提出的问题“可以怎样列式解答”脱离了具体的图和情境，从集合的角度让学生用计算解决两个集合并集的元素个数的问题。

整个教学过程，学生通过操作、观察、猜想、推理等活动，感受到其中的数学思想方法，逐步形成严密的、有序思考问题的意识与探究意识及发现、欣赏数学美的意识。

（3）课前调研，再探起点。

教学“集合”一课前，我对学生进行了前测，题目与课本中的例题相同，其中5%的学生能用比较完整的韦恩图来解决；20%的学生对集合的重叠部分能初步感悟，但不能用准确的韦恩图来表示；75%的学生还是不能体会到人数有重叠。其实，集合的数学思想不仅在生活中有着广泛的应用，而且是学生今后进一步学习数学的基础，为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。如三角形的分类、各种四边形关系等，都是让学生在运用中解决实际问题，为今后的学习奠基。根据以上认识，我对“集合”一课设计了以下的教学思路：以学生喜欢的“脑筋急转弯”创设情境，引发认知冲突，揭示课题；接着通过列表提出问题，让学生用图的形式表达心中的想法，并将学生的想法一一呈现，引出集合；再设计由易到难、有层次的练习，巩固新知；最后课外拓展，回顾总结。

2.课中之研

根据以上的分析，我对“集合”一课进行了细致入微的教学设计。如下：

（1）引发冲突，激发学习兴趣。

①出示趣味题。

师：昨天，老师见到两个爸爸和两个儿子一同去看电影，可是他们只买了3张票就顺利地进了电影院，这是为什么？

生：因为两个爸爸和两个儿子分别是爷爷、爸爸、儿子。

（2）呈现改变例题主题图中的统计表，并提出“喜欢吃梨和桃子的一共有多少人”的问题，激发学生探究的欲望。

四（1）班喜欢吃梨和桃子的同学名单

师：你从调查表中获得了哪些信息？根据这些信息，你能提出什么问题？

生1：喜欢吃梨和桃子的一共有多少人？

师：怎样求出一共的人数？

生2：9+8=17（人）。

（学生有歧义，发现重复，引发认知冲突）

（2）数形结合，突破探究的难点。

由于数和形的关系非常密切，不可分割，所以教师要把数和形结合起来，将抽象的数学概念形象化，帮助学生真正掌握所学的数学概念。同时，数形结合既能发展学生动手操作的能力，又可以促使学生的思维更加完善、精确。因此，课堂教学中，教师可借助直观的教学手段，引导学生深刻理解韦恩图中每一部分的含义，加深学生对集合知识的理解。

①数形结合突破。

师：是的，有些人既喜欢吃梨，又喜欢吃桃子，但这样子我们没法一眼就看出一共有多少人。那你们能不能想想办法，把这些同学的名字再整理整理，要求一眼就能看出这些同学喜欢水果的情况，然后用自己喜欢的方式把它表示出来？

……

（学生自己动手试一试，教师引导他们可以用写一写、画一画、摆一摆等方法）

师：比较上面几位同学的方法，你们觉得谁的图能最清楚地让我们看出同学喜欢水果的情况？

……

我在教学集合时并没有直接出示韦恩图，也没有指定学生一定要用韦恩图来解决问题，而是让学生将自己的理解用各种形式表示出来。在展示环节中，我有意识地安排学生先从文字开始表述，再向表格递进，以此凸显表格比文字表达更胜一筹，然后到用一个小小的圈来表示，最后逐步明朗化，于是有学生自主提出用韦恩图来表示。

在此环节中，我充分挖掘、渗透符号化思想以及数形结合思想，让学生将自己的理解和想法用喜欢的符号表示出来，并给学生创设了比较的环节，使学生自己去体会、去感悟，这样就将课的教学重点凸显出来，使教学水到渠成。

②解决问题多样化。

师：刚才我们根据这幅图，已经清楚地知道了同学们喜欢水果的情况，现在我们一起解决最开始提出的问题：喜欢吃梨和桃子的一共有多少人？现在你能解决这个问题了吗？

生7：9+8=17（人）。

生8：9+8-3=14（人）。

生9：9+（8-3）=14（人）。

生10：（9-3）+8=14（人）。

生11：6+3+5=14（人）。

……

学生根据刚才的展示用算式表示出来，我在此环节中及时渗透算法多样化的思想，让学生的想法在课堂中得以展示。因此，只要教师心中有渗透数学思想方法的意识，课堂就会一直以学生为中心，将每个学生的所思所想淋漓尽致地展现出来。

（3）丰富练习，完善思维的内化。

在课堂教学中，我选择一些趣味性、实践性的素材设计练习，提升学生用所学的数学知识解决现实问题的意识和能力。如本单元共有九道题来自于学生熟悉的情境，于是我安排了以下三个层次的练习。

（1）既荣获“语文之星”，又荣获“数学之星”的有（6）人。

（2）荣获“语文之星”或“数学之星”的一共有（19）人。

3.三年级同学去参加竞赛，参加数学竞赛的有15人，参加作文竞赛的有13人。其中，既参加数学竞赛，又参加作文竞赛的有8人。

（1）三年级参加竞赛的同学一共有多少人？

（2）只参加数学竞赛的有多少人？

（学生自己动手尝试做一做，师引导学生画韦恩图）

这三个层次的练习，从具体的生活实物到抽象的文字训练，使学生慢慢地体会到从集合的角度来思考和解决问题是非常有效的。这样不仅可以增强学生的学习兴趣，训练学生的思维，而且能让学生逐渐学会用数学的眼光看待身边的事物。同时，这样设计练习，可以逐步深化学生对集合知识的理解。如练习中的第1～2题，都提供了具体的集合元素作支撑，帮助学生理解集合及其运算；第3题则没有具体形象的实际物体作支撑，让学生直接从集合元素的个数探索和解决问题，旨在发展学生的思维，且题目中还给出了两个集合没有交集、有包含关系的情况，丰富了学生对集合间关系的认识。

三、思考——总结辐射，感悟思想

日本数学教育家米山国藏说过：“学生所学的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那些铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活与工作中发挥着作用。”因此，教学之后，教师应引导学生反思学习过程，归纳总结，感悟数学思想方法。

1.课前备课挖掘思想方法的自觉性

在小学阶段六年的数学学习中，“数学广角”的内容渗透了众多的数学思想方法，如转化、类比、集合、数形结合、代换、数学模型等。由于教材中的数学概念、法则、公式等都是有形的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无形的，所以常常被教师忽略。因此，在数学教学研讨中，应提高教师渗透数学思想方法的自觉性，将使学生掌握数学思想方法作为教学目标之一。在整个小学数学教学中，如果教师能注重数学思想方法的渗透，就可以加深学生对数学知识的理解和掌握，这往往比书本知识的传授更重要，更能使学生适应未来社会的变化和发展。

2.教学过程渗透思想的巧妙性

从数学的各分支中提炼和总结出来的思想方法，实质上就是学习和研究数学的方法，是进行数学活动的方法，揭示了数学的本质和发展规律。作为教师，在教学过程中首先要有渗透数学思想方法的意识，然后通过分析、挖掘教材中的数学思想方法，了解教材编者的意图，就能从高度着眼，巧妙地将数学思想方法在课堂中进行渗透，让学生了解知识发生、发展和形成的全过程，帮助学生思考和解决问题。例如，在四年级下册“数学广角——鸡兔同笼”一课教学时，教师就可以巧妙地运用画图法、列表法，将学生难以理解的题意，通过画图或列表呈现出来。这样不仅使学生能非常清楚地明白“鸡有几只”“兔有几只”的复杂问题，而且能通过观察图和表格，让学生获得解题的思路和方法，从而掌握其中的数学思想方法。

3.课后提炼数学思想方法的延伸性

加强数学思想方法的教学，可以使学生对数学思想方法不自觉的应用，进而变成自觉的行为。作为教师，在课堂中对数学思想方法考虑周全、渗透及时，能拓展学生的解题思路，使学生在遇到难题时会运用数学思想方法解决问题，为学生的终生学习奠定坚实的基础。例如，教学六年级上册“数学广角——数与形”时，在学生通过画图对“数与形”的知识进行探究后，为了加深学生对新授知识的理解，教师在课后安排相应的运用画图的方式来解决的问题，如右图这样的练习。

总之，在数学教学中适时渗透数学思想方法，是学生学习和发展的需要，不仅能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，而且可以培养学生的思维能力，提升学生的数学素养和学习效率。因此，教师在整个小学阶段要重视数学思想方法的渗透，让学生的数学学习犹如在幽幽江中撑篙而行，缓缓前行，一步一景，使学生深刻感受到数学学习也是一场美丽的旅行。

［1］《全日制义务教育数学课程标准》（2011版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］束仁武.如何渗透数学思想［J］.安徽教育，1997（5）.

［3］吴明富.在数学教学中渗透数学思想方法的探索与实践［J］.池州师专学报，2004（5）.

［4］黄育粤.课堂教学中渗透数学思想方法应遵循的原则［J］.云南教育，1999（5）.

［5］（美）李维，著.黄征，译.《数学沉思录：古今数学思想的发展与演变》.人民邮电出版社，2010（8）.

（责编蓝天）

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