王鹏新　冯明悦　孙辉涛　李　俐　张树誉　景毅刚

(1.中国农业大学信息与电气工程学院， 北京 100083； 2.陕西省气象局， 西安 710014)



基于主成分分析和Copula函数的干旱影响评估研究

王鹏新1冯明悦1孙辉涛1李俐1张树誉2景毅刚2

(1.中国农业大学信息与电气工程学院， 北京 100083； 2.陕西省气象局， 西安 710014)

干旱是关中平原主要的农业灾害之一，准确地评估干旱的影响，对抗旱减灾及作物稳产具有重要意义。基于关中平原2008—2013年冬小麦主要生育期旬尺度的条件植被温度指数(VTCI)干旱监测结果，将Copula函数用于评估冬小麦主要生育时期干旱对其产量的影响。针对多元变量导致Copula函数参数求解困难的问题，采用主成分分析法(PCA)提取主要生育时期的VTCI的主成分因子，形成新的相互独立的指标，进而结合Copula函数建立PCA-Copula法，确定关中平原主要生育时期的综合VTCI，并构建其与冬小麦单产间的线性回归模型，评估干旱对产量的影响。结果表明，应用PCA-Copula法得到的综合VTCI与单产间的相关性达到极显著水平(P<0.001)，所建回归模型的拟合度与熵值法的结果相比有所提高，决定系数由0.39提高到0.49，且对应模型的估测单产与实测单产间的均方根误差较熵值法的结果降低了30.2 kg/hm2，平均相对误差降低了0.66%，表明PCA-Copula法能较好地应用于评估冬小麦主要生育时期干旱对其产量的影响。

主成分分析； Copula函数； 干旱影响评估； 综合VTCI

引言

干旱一直是制约农业发展最主要的因素之一。中国是一个农业大国，干旱对农业的影响较大，每年由各种自然灾害造成的粮食作物减产的损失中，旱灾的影响占一半以上[1]。同时农业干旱是影响面积最广、造成农业损失最大、研究也最为复杂的一种因素。近年来，人们越来越关注如何有效地监测和评估干旱影响，从而提前采取有效的抗旱减灾策略和措施以减轻干旱灾害可能造成的损失。目前，国内外主要应用归一化植被指数(NDVI)和地表温度(LST)等参数进行农业干旱遥感监测，王鹏新等[2-3]在NDVI和LST的散点图呈三角形区域分布的基础上，提出了基于条件植被温度指数(VTCI)的干旱监测方法，并成功应用于干旱的实时监测、预测和影响评估等研究[4-7]。

以往的干旱影响评估研究方法主要依靠主观赋权法和客观赋权法[6-7]。主观赋权法具有一定的主观色彩，受一定的人为因素影响；客观赋权法根据各指标的初始信息量来确定权重，其中，主成分分析(Principal component analysis, PCA)方法能够通过线性变换从多元随机变量中提取出相互独立的少数几个重要变量[8-11]。本文对冬小麦越冬后4个生育时期的VTCI进行降维处理，便于与Copula函数相结合构建干旱影响评估模型。

Copula函数不受单变量服从何种边缘分布的限制，可以通过边缘分布和相关性结构两部分来构造多元随机变量之间的联合分布[12]，国内外学者将Copula函数广泛应用于描述多种随机变量间的相关性研究[13-15]。干旱是一种包含多种随机变量的复杂事件，传统的多变量频率分析方法在干旱研究中受到限制，Copula函数正是构建多元随机变量联合分布的一种有效途径。SONG等[16]基于Meta-elliptical、GH、AMH、Frank和Clayton等连接函数研究了干旱历时、干旱烈度和干旱时间间隔的联合分布。MISHRA等[17]通过Copula函数研究了干旱的持续时间和严重程度之间的关系，进而分析地表和地下干旱在不同时间尺度的特征。建立Copula函数的关键是确定参数，常用的参数求解方法包括极大似然法、相关性指标法、边际函数推断法等[18]。但是，针对评估时构建的多元随机变量间的联合分布，参数计算一般需要建立多元偏微分方程组，求解非常困难。本文基于主成分分析方法对关中平原2008—2013年冬小麦主要生育时期的VTCI进行降维处理，形成相互独立的指标，采用Copula函数构建PCA-Copula评估模型，便于获取冬小麦主要生育时期的综合VTCI值，并结合此综合值评估冬小麦主要生育时期的干旱监测效果，为评价冬小麦主要生育期干旱对单产的影响和制定抗旱减灾策略提供科学依据。

1　材料与方法

1.1研究区域概况

陕西省中部的关中平原位于渭河流域，西起宝鸡大散关，东至渭南潼关，北到陕北黄土高原，南止秦岭，地理坐标为106°22′～110°24′E，33°57′～35°39′N。该地区土壤肥沃，地势平坦，水源丰富，机耕条件好，土地利用率高，盛产小麦，是陕西省的农业基地，也是我国重要的商品粮产区，种植模式主要为冬小麦与夏玉米轮作。关中平原属大陆性季风半湿润气候区，是气候变化的敏感区，年均温度6～13℃，属于生态环境脆弱地带，降水量较少，年平均降水量为500～700 mm，多集中在夏季，并存在明显的波动性。关中平原整体上气候暖干化特征显著，干旱已成为研究区域内普遍而重大的气象灾害之一[19]。

1.2试验数据

采用的遥感数据包括Aqua-MODIS的日地表温度产品(MYD11A1)和日地表反射率产品(MYD09GA)，所用的冬小麦单产来自陕西省统计局发布的关中平原5市2008—2013年的数据。由于铜川市位于关中平原向陕北黄土高原的过渡地带，冬小麦面积相对较小，且主要分布在其南部的渭北旱塬，因此选用关中平原2008—2013年其余4市的冬小麦单产和主要生育期的VTCI进行相关研究。

VTCI是基于遥感反演的NDVI和LST特征空间呈三角形区域分布的特点提出的，主要用于监测旱情。基于日NDVI和日LST，应用最大值合成技术分别生成旬NDVI和旬LST最大值合成产品，并以此计算VTCI[2,20]，生成2008—2013年每年3—5月份以旬为单位的关中平原4市的VTCI数据。结合关中平原冬小麦的生长情况，将冬小麦越冬后的生育时期划分为返青期(3月上旬—中旬)、拔节期(3月下旬—4月中旬)、抽穗-灌浆期(4月下旬—5月上旬)和乳熟期(5月中旬—下旬)，并将这4个生育时期称为冬小麦主要生育期[6-7]。依据关中平原的行政边界图，取各市区内所包含像素的VTCI平均值作为该区域该年该旬的VTCI值。再根据各生育时期包含的多旬VTCI平均值作为该年该生育时期的VTCI值。

1.3PCA-Copula法

主成分分析又称主分量分析，是一种将多个变量通过线性变换选出几个重要变量的多元统计方法，旨在利用降维的思想，将原来数量较多的、具有一定相关性的变量，重新组合成一组新的、互相无关的综合指标，使新变量尽可能多地保留原始变量信息，且在保证主要信息的前提下，避开变量之间的线性相关[21]。由于主成分因子是新的互相独立的变量，因此在建立Copula函数时无需求解参数，计算简便。本文利用主成分分析方法将关中平原冬小麦4个生育时期的VTCI组合成一组新的互相独立的指标，再基于Copula函数进行干旱影响评估研究。

1.3.1主成分分析

由于VTCI的取值范围为[0,1]，因此直接对原始VTCI数据进行主成分分析。应用关中平原2008—2013年冬小麦越冬后4个生育时期的VTCI数据构建矩阵An×4，获得相关系数矩阵R4×4，并计算特征值λi(i=1,2,3,4)及其对应的特征向量Q(qi)，进而求解各主成分贡献率si并确定主成分个数m，即

(1)

第r个主成分的线性表达式为

(2)

式中Fnr——关中平原4市第n年第r个主成分的因子值

βri——第i个生育时期的VTCI在第r个主成分线性组合中的系数

ani——关中平原4市第n年第i个生育时期对应的VTCI值

k——VTCI的主要生育期个数，取k=4

1.3.2Copula函数

SKLAR在1959年指出可以将一个g元联合分布函数分解为g个边缘分布函数和一个Copula函数，其中的Copula函数可以用来描述变量间的相关关系[22]。Copula是在[0,1]区间上服从均匀分布的联合分布函数，可以通过边缘分布和相关性结构两部分来构造联合分布以描述变量间的相依性[12]。Copula函数形式为

F(x1,x2,…,xj)=Cθ(F1(x1),F2(x2),…,Fj(xj))=

C(u1,u2,…,uj)

(3)

其中

uj=Fj(xj)

式中F——随机变量分布函数

j——样本容量C——Copula函数

θ——Copula参数

uj——随机变量Xj的边缘分布函数

采用PCA方法提取VTCI数据m个主成分因子，各因子之间无相关性，即主成分因子所构建的新变量之间相互独立，则可以得到相应的乘积Copula(又称为独立Copula)为

C(u1,u2,…,um)=u1u2…um

(4)

式中um——第m个主成分因子对应的边缘分布函数

1.3.3边缘分布函数

目前常用的分布线型有皮尔逊III型分布、正态分布、Gamma分布、指数分布、对数分布、广义极值分布等[11]。其中，针对广义极值分布的研究源于20世纪20年代，FISHER等[23]在对独立同分布的极大值渐进分布进行理论研究时，提出了3种极值分布，第I型为指数型原始分布，又称Gumbel分布；第II型为柯西型原始分布，即Frechet分布；第III型为有界型分布，即Weibull分布。JENKINSON[24]从理论上证明了3种分布模型可概括成一个通式，即具有3个参数的极值分布函数。后来称极值I型、II型和III型分布为广义极值(Generalized extreme value，GEV)分布，其标准化分布函数为

FX(x)=P(X

(5)

式中ε——形状参数μ——位置参数

σ——尺度参数

通过形状参数判断极值类型，ε=0为极值Ⅰ型；ε>0为极值Ⅱ型；ε<0为极值Ⅲ型。

1.3.4边缘分布的优度评价

首先通过Kolmogorov-Smirnov (K-S)方法检验边缘分布函数拟合效果，再通过比较理论频率与经验频率之间的均方根误差(RMSE)以及信息准则值 (Akaike information criterion，AIC)优选边缘分布函数，边缘分布优选的原则是RMSE值及AIC值越小拟合效果越好[12]。GRINGORTEN[25]在研究水文极值的无偏估计量时，给出的一维随机分布经验频率计算公式为

(6)

式中Ps——累计经验频率，定义为在N个观测值中小于第s个最小观测值的概率

RMSE的计算公式为

(7)

式中Peir——第i年第r个主成分的数据对应的经验频率值

Pir——第i年第r个主成分的数据对应的理论频率值

t——第r个主成分因子中数据的个数，即关中平原4市对应的年总数

AIC的计算公式为

VAIC=tlnVRMSE+2η

(8)

式中η——所选模型参数的个数

2　结果与分析

2.1主要生育时期VTCI的主成分分析

通过主成分分析方法对冬小麦主要生育时期的VTCI进行降维处理，根据主成分对应的特征根大于1、且相应累计贡献率达到80%以上的原则，提取出主要生育时期的VTCI前3个主成分因子，并建立各主成分的线性表达式为

PC1=0.502VTCI1+0.324VTCI2+0.555VTCI3+0.579VTCI4

(9)

PC2=-0.055VTCI1+0.927VTCI2-0.126VTCI3-

0.348VTCI4

(10)

PC3=0.808VTCI1-0.07VTCI2-0.547VTCI3-0.109VTCI4

(11)

式中PC1、PC2、PC3——前3个主成分因子

VTCI1、VTCI2、VTCI3、VTCI4——4个生育时期的VTCI值

可以发现，4个不同生育时期的VTCI在各主成分系数的绝对值存在差异，4个生育时期中，拔节期VTCI在第1主成分的系数最小，而拔节期VTCI在第2主成分的系数达到最大，返青期VTCI与抽穗-灌浆期VTCI在第3主成分的系数绝对值较大。基于此，根据各主成分的方差贡献率获取前3个主成分的综合线性表达式为

PC=0.468VTCI1+0.406VTCI2+0.328VTCI3+0.359VTCI4

(12)

式中PC——前3个主成分因子的综合值

可以看出，返青期VTCI的系数最大，而抽穗-灌浆期VTCI的系数最低，但依据相关的农学知识和专家的主观判断可知，拔节期是干旱对冬小麦生长影响的关键时期，其次为抽穗-灌浆期，返青期和乳熟期相对不重要[6-7]，因此仅采用主成分方法分析主要生育时期的VTCI，并基于前3个主成分的综合线性模型存在不足，该模型的构建没有考虑3个主成分因子各自的分布特征，仅是将3个主成分因子进行综合，且获取的各生育时期干旱对产量的影响程度与农学先验知识不相符，难以准确反映冬小麦生长各生育时期的相对重要程度。而将主成分分析与Copula函数相结合的方法能够根据各主成分因子对应的分布特征建立联合分布，同时不受各单因子变量边缘分布的影响，因此尝试将其用于干旱影响评估研究。

2.2基于PCA-Copula法的干旱影响评估

对于2008—2013年研究区域的VTCI数据，通过主成分分析法提取了3个因子作为主成分因子，通过确定3个主成分因子的边缘分布函数，采用乘积Copula(式(4))获取研究区每年的综合VTCI值。

2.2.1边缘分布函数的确定

基于目前常用的分布线型，选取正态分布、对数分布和广义极值分布分别拟合关中平原冬小麦4个生育时期的VTCI的主成分因子值，应用极大似然法获得对应的边缘分布函数的参数，利用K-S检验对各主成分因子的边缘分布函数进行拟合优度评价，结果表明，3个主成分的对数分布均不能通过K-S检验，广义极值分布和正态分布均能通过K-S检验，其中，利用广义极值分布拟合各生育时期的VTCI的前3个主成分因子时，前2个主成分的形状参数小于零，属于极值III型，即Weibull分布；第3个主成分的形状参数大于零，属于极值II型，即Frechet分布。

基于正态分布及各主成分相对应的极值分布类型，进一步获取各边缘分布对应的RMSE和AIC(表1)，可以看出，基于Weibull分布获取的第1个主成分的RMSE和AIC最小；基于正态分布获取的第2个主成分的RMSE和AIC最小；基于Frechet分布获取的第3个主成分的RMSE和AIC最小。依据边缘分布的RMSE及AIC越小拟合效果越好的优选原则，最终确定2008—2013年关中平原4市主要生育时期的VTCI的3个主成分因子值的最优边缘分布。结果表明，第1主成分因子值优选Weibull分布；第2主成分因子值优选正态分布；第3主成分因子值优选Frechet分布。尽管3个主成分的边缘分布存在差异，但Copula函数具有不受单变量服从何种边缘分布的优越性，使其能较好地用于构建3个主成分间的联合分布。

表1　冬小麦主要生育时期的VTCI主成分因子的分布线型拟合效果Tab.1　Distribution fitting results of principle components of VTCI at the main growth stages of winter wheat

2.2.2PCA-Copula法与熵值法建立的综合VTCI与冬小麦单产间的线性回归模型比较

基于冬小麦主要生育时期的VTCI的3个主成分因子优选的边缘分布，结合乘积Copula函数建立主成分因子间的连接函数，获取综合VTCI，建立其与单产间的一元线性回归模型，并将其作为冬小麦单产的估测模型。以往研究[6]表明，熵值法是干旱影响评估的最佳客观赋权法，通过熵值法确定冬小麦不同生育时期的VTCI权重，并将其用于建立的加权VTCI与单产间的线性回归模型，再与PCA-Copula法建立的模型的结果进行对比(表2)。可以看出，尽管PCA-Copula法确定的综合VTCI、熵值法确定的加权VTCI与单产间的相关性均达到极显著水平(P<0.01)，但基于PCA-Copula法构建的回归模型的决定系数(R2=0.49)高于熵值法确定的回归模型的决定系数 (R2=0.39)。基于熵值法确定回归模型的估测单产与实测单产之间的均方根误差为358.1 kg/hm2，相对误差的范围为0.39%～28.13%，平均相对误差为7.10%，而PCA-Copula法确定回归模型的估测单产与实测单产的均方根误差为327.9 kg/hm2，相对误差范围为0.33%～25.20%，平均相对误差为6.44%，表明PCA-Copula法确定的模型估测精度较高。为了进一步验证该估测模型的精度，将PCA-Copula法确定的估产模型用于分析2008—2013年4市估测单产与实际单产的平均相对误差，结果表明，宝鸡市的平均相对误差为6.21%，西安市的平均相对误差为5.74%，咸阳市的平均相对误差为4.39%，渭南市的平均相对误差为9.44%，表明PCA-Copula法可用于开展关中平原干旱对冬小麦生产及其产量的影响评估研究。

3　讨论

遥感定量反演的VTCI是综合地表主要参数——NDVI和LST的干旱指标，其与土壤浅层水分存在较强的相关性[26]，能够较为准确地监测干旱、反映作物水分胁迫信息，作物长势和最终产量与其不同生育期发生的干旱程度密切相关。相比传统的多变量频率分析方法，Copula函数作为一种相关性度量工具，在构建多元随机变量联合分布时不受各单因子变量边缘分布的影响。本文基于冬小麦越冬后不同生育时期VTCI的干旱监测结果，尝试将Copula函数应用于建立冬小麦主要生育时期的干旱影响评估模型，若直接建立Copula函数与冬小麦单产间的线性回归模型，首先需要确定4个生育时期VTCI变量对应的最优边缘分布，由于不同形式的Copula函数对变量的相关性有不同的要求，因而需要根据各变量之间的相关关系特点选择可行的四维Copula模型，并基于所选Copula函数的密度函数和各边缘分布的密度函数获取Copula函数的参数，对于所选Copula函数是否合适还需进一步的分布拟合检验，确定最优Copula函数，从而获取综合VTCI。然而利用主成分分析法具有提取主成分因子的客观性，在提取的主要生育时期的VTCI的主成分因子中，所选的前3个主成分因子的累计贡献率高达98%，新变量不仅几乎保留了全部原始变量信息，而且可以直接通过用于独立变量的乘积Copula获取综合VTCI，在建立联合分布过程中仅需优选3个主成分因子的边缘分布，无需求解参数，计算简便。

表2　PCA-Copula法与熵值法确定的综合VTCI与 单产之间的回归模型的对比Tab.2　Comparison of linear regression models between wheat yields and comprehensive values of the VTCIs determined by PCA-Copula and entropy value methods

注：回归模型中x为综合VTCI值；y为单产，单位为kg/hm2。

现有的干旱影响评估研究方法主要有主观赋权法和客观赋权法2类，其权重的确定对干旱影响评估结果均有很大影响。针对以往客观赋权法根据VTCI的客观数据差异来确定权重、得到不同生育时期干旱对冬小麦生长影响程度相当的结论与农学先验知识不相符[6-7]的问题，本文采用主成分分析方法提取出冬小麦越冬后主要生育时期的VTCI的前3个主成分因子作为新的相互独立的变量，而根据各主成分方差贡献率获取的综合线性模型反映的各生育时期相对重要程度与农学先验知识仍然不相符。因此，尝试基于获取的3个主成分因子，通过构造各主成分因子的边缘分布，进而采用Copula函数建立的PCA-Copula法，最终获取综合VTCI值，并建立其与单产之间的线性回归模型，结果表明，PCA-Copula法能较好地用于开展关中平原干旱对冬小麦生产及其产量的影响评估研究。

4　结论

(1)采用主成分分析法提取关中平原2008—2013年4市冬小麦主要生育时期VTCI的3个因子作为主成分，将依据各主成分贡献率获取的前3个主成分的综合线性模型与PCA-Copula法的结果进行对比，结果表明，基于前3个主成分，仅通过各主成分的方差贡献率建立的综合线性模型难以准确反映冬小麦生长相对重要生育时期，而通过优选各主成分相应的边缘分布，进而通过乘积Copula函数建立3个主成分联合分布的方法能有效评估关中平原干旱对冬小麦产量的影响。

(2)基于熵值法建立加权VTCI与单产之间的线性回归模型，并将其与PCA-Copula法构建的线性回归模型进行对比分析。结果表明，采用PCA-Copula法确定的综合VTCI与单产之间回归模型的决定系数达到0.49，相比于熵值法的结果提高了0.10，且PCA-Copula法对应模型的估测单产与实测单产之间的均方根误差较熵值法的结果降低了30.2 kg/hm2，平均相对误差降低了0.66%。

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Drought Impact Assessment Based on Principal Component Analysis and Copula Function

Wang Pengxin1Feng Mingyue1Sun Huitao1Li Li1Zhang Shuyu2Jing Yigang2

(1.CollegeofInformationandElectricalEngineering,ChinaAgriculturalUniversity,Beijing100083,China>2.ShaanxiProvincialMeteorologicalBureau,Xi’an710014,China)

Drought is one of the most important agricultural disasters in the Guanzhong Plain, China. Assessing the influence of the droughts in the plain accurately can provide reference for drought mitigation and maintaining stable crop yields. Based on remotely sensed vegetation temperature condition index (VTCI) which was calculated at ten-day intervals for monitoring droughts in the years of 2008—2013 in the plain, the Copula function method was used to assess the effect of drought at the main growth stages of winter wheat on the yields. The mutually independent principal factors were extracted from the VTCIs at the main growth stages of winter wheat by using principal component analysis (PCA), overcoming difficulty of parameter estimation for multivariate Copula, and then incorporated into the Copula function to establish a PCA-Copula method. The comprehensive values of VTCIs at the main growth stages were determined by the PCA-Copula method, and then linear regression model between the comprehensive VTCIs and wheat yields was established to assess the effect of drought on the yields. The results showed that the linear correlation coefficient between the wheat yields and comprehensive VTCIs was at the extremely significant level (P<0.001). Compared with the linear regression model based on the entropy value method, the determination coefficient of the model with the PCA-Copula method reached 0.49 from 0.39, which indicated that the fitting degree of the model was improved, and the root mean square error and average relative error between the estimated and measured yields reduced by 30.2 kg/hm2and 0.66%, respectively. These results indicated that the PCA-Copula method was a better approach for accessing the impact of droughts at the main growth stages of winter wheat on the yield.

principal component analysis; Copula function; impact assessment of drought; comprehensive vegetation temperature condition index

10.6041/j.issn.1000-1298.2016.09.045

2016-02-29

2016-03-28

国家自然科学基金项目(41371390)

王鹏新(1965—)，男，教授，博士生导师，主要从事定量遥感及其在农业中的应用研究，E-mail: wangpx@cau.edu.cn

S127

A

1000-1298(2016)09-0334-07