王再军

(天津职业技术师范大学 理学院，天津　300222)



用基函数展开法求解一维有限深方势阱模型

王再军

(天津职业技术师范大学 理学院，天津300222)

用基函数展开法求解了一维有限深方势阱模型，所得结果与在坐标表象中直接求解薛定谔方程所得结果完全一致. 重要的是这一求解过程为量子力学中基函数展开方法的教授与学习提供了一个范例，也为量子力学问题的计算机求解的教与学提供了参考.

一维有限深方势阱模型；基函数展开法；谐振子本征函数；算符的矩阵表示

基函数展开方法是求解量子力学问题的基本方法之一，更是现代量子理论中求解复杂量子体系能级和波函数的常用的和重要的方法之一.该方法可以将求解复杂的，多体薛定谔方程转化为矩阵的代数运算，特别适合于用计算机进行计算, 是利用第一性原理进行大规模计算的基础，也是现代很多复杂量子体系的大型计算软件，如量子化学计算软件Gaussian的基础，在现代核物理学，量子化学，凝聚态物理学，材料物理学等与量子理论相关领域的计算和研究中有重要和广泛的应用. 但关于基函数展开方法的具体讲解和应用的内容在现有的国内外量子力学著作中，却鲜有具体的应用计算举例供教学和训练所用. 因此，探讨用基函数展开方法求解量子力学问题，寻求一些适合于在量子力学教学中讲解基函数展开方法和训练学生计算能力的范例，对量子力学的教学和学习都是有用的和必要的.

一维有限深对称方势阱模型是量子力学中最简单和最基本的模型之一，该模型可以直接在坐标表象下通过求解薛定谔方程得出体系的波函数和束缚态能级满足的超越方程[1,2]. 选定具体的模型参数后，可以通过数值计算求得具体的能级和波函数，这也是目前现有量子力学著作中对该模型给出的唯一的一种解法. 本文给出了在一维线性谐振子基下，用基函数展开方法对该模型的求解过程和结果. 我们求解的结果和在坐标表象下求解薛定谔方程得出的结果完全一致. 重要的是这一求解过程为量子力学中基函数展开方法的教授与学习提供了一个非常合适的、具体的计算范例，是对现有量子力学教学内容的一个有用的补充. 同时也为量子力学问题的计算机求解的教与学提供了一个很好的参考. 另外，目前我们还没有见到有关用基函数展开法对一维有限深对称方势阱模型求解的报道.

1　一维有限深对称方势阱模型

一维有限深对称方势阱模型[1,2]的势能和哈密顿算符的数学表示分别为：

(1)

和

(2)

并且满足

(3)

该模型在数学上通常表示成对称的形式或是非对称的形式，两种形式各有优缺点. 非对称形式由于有一个势能衔接点在坐标原点，故可以简化在坐标表象下束缚态能级所满足的超越方程的推导，并且可以减少方程的数目(只有一个)，但无法体现宇称概念及相关规律的应用；对称形式由于两个势能衔接点都不在坐标原点，所以束缚态能级所满足的超越方程(有两超越方程)的推导和波函数的求解比非对称的形式稍复杂，但由于此时体系的哈密顿算符满足式(3)，这使得体系的波函数具有确定的宇称性，因此求解过程可以体现对宇称概念及相关规律的应用. 由于现有的量子力学著作中一维线性谐振子模型的结果都是在势能的数学表示满足空间反演对称的情况下给出的，本文为了能直接利用这些解析结果，采用数学上对称形式表示一维有限深对称方势阱模型的势能.

2　哈密顿算符在谐振子基下的表示

2.1一维线性谐振子基

一维谐振子模型是量子力学中的一个基本的，可以精确求解的模型[1,2]，其求解过程几乎可以在任何一本量子力学书中查到，因此这里仅给出本文用到的一些结果.

一维谐振子哈密顿的本征函数为

(4)

其中

(5)

分别是归一化常数和厄米多项式. 本征函数系{ψn(x),n=0,1,2,L}满足正交归一化条件

(6)

和边界条件

ψn(x)|x→±∞→0

(7)因此，函数系{ψn(x),n=0,1,2,L}是一个性质优良的函数系，其构成-∞

2.2哈密顿算符在谐振子基下的表示

取一维谐振子能量的本征函数作为基函数，哈密顿算符的矩阵元可表示为

(8)

将式(2)代入上式可得

利用ψn(-x)=(-1)nψn(x)和积分区间的对称性，上式可简化为下面两个结果：

当n+m为奇数时，Hmn=0

(9)

当n+m为偶数时，

(10)

给定具体的模型参数后，就可用上式进行数值积分，求出所需要的矩阵元，并进而求出本征值和本征函数.

3　数值计算及结果讨论

3.1模型参数

我们选取一维有限深对称方势阱的深度U0=10 eV，宽度2a=2.0 nm，假设一个电子在其中运动，其质量m=0.511×106eV/c2.计算中取hc=197.327 eV·nm.

3.2基函数参数和基函数个数

基函数(本文中即为谐振子的本征函数)的参数α决定了基函数的形状，因此α的数值的选取对能级和波函数的收敛性有重要的影响. 由于体系基态的能量和势阱阱底很接近，因此，当体系处于基态时，粒子出现在阱外的概率很小. 又由于体系处于基态时体系的波函数没有节点，其主要部分应来自于谐振子的基态波函数. 所以，我们可以用谐振子的基态波函数估算出一个较合适的α值.我们假设在基态时，体系的波函数近似由谐振子的基态波函数描述，且粒子出现在阱外的概率为1.0×10-7，这样估算出α∶4.0 nm-1. 在下面的数值计算中我们分别取α等于4.0 nm-1,4.8 nm-1和6.5 nm-1，并对结果进行对比讨论.

理论上来说基函数个数选取得越多结果越精确. 但基函数选得过多会导致计算速度过慢甚至无法进行. 一般来说，计算的能级越多，需要的基函数就越多，且随着能级由低到高，计算结果的精确度依次降低. 因此，在选取基函数时我们应根据具体情况和要求，以及预计算的结果，对基函数的个数做一个适当的截断. 在实际问题中，我们所要计算的能级的个数(主要是基态和一些低激发态)，或是问题本身的能级的个数一般都是有限的，因此只要适当选取足够多的基函数，再根据预计算做适当的增减，就可以确定一个既能得到较好的计算结果又不至于使计算速度过慢的基函数个数值. 对于本文的问题和选定的模型参数，预计算发现体系有11个束缚态能级. 由于我们想计算出体系所有的束缚态能级，因此，基函数的个数至少要有11个. 为了得到比较好的结果，我们分别选取基函数个数N=20，26和32进行计算和对比讨论.

3.3方法的有效性和结果讨论3.3.1方法的有效性

由于基函数有解析表示式，因此，用Mathematica或Matlab计算软件比用Fortran和C语言要方便. 本文是用Mathematica[3]计算软件进行的计算. 以基函数个N=26和基函数参数α=4.8 nm-1的计算结果为例，在表1中列出了计算所得出的全部11个束缚态能级本征值和在坐标表象下求解薛定谔方程得出的准确结果. 表1中E1～E11是体系具有的全部11个束缚态能级. 对比E1～E11的计算结果和准确结果，发现两者符合得很好. 基态E1的误差只有0.000 23 eV，为E1的2.14×10-3%；随着能级的升高，误差逐渐增大，但E10也只有0.0251 eV，占E10的不到4.0%；E11的误差最大为0.043 eV，相对误差也才有12%. 因此，用谐振子本征函数作为基函数，用基函数展开法得到的结果是相当准确的.这说明在一维谐振子基下，用基函数展开法求解该模型是有效的和可行的.

表1　基函数个数N=26，基函数参数α=4.8 nm-1的能级计算结果

3.3.2能级计算结果随基函数个数的变化

在表2中我们列出了基函数参数α=4.8 nm-1时，基函数个数分别取N=20、26、32时的束缚态级的计算结果，以及用能量满足的超越方程算出的准确结果.

表2　基函数参数α=4.8 nm-1和基函数个数分别为N=20、26、32时，能级的计算结果与准确结果对比

首先从表中看出，随着基函数的增多，计算结果与准确结果的差别变小，表中N=32的结果与准确结果最接近，并且全部11个束缚态能级都符合得很好；其次，随着基函数数目的减少，高能级逐渐出现较大偏差，且能级的偏差随能级的降低依次递减；第三，对于基态和较低的激发态能级，如E1～E4，三组不同数量的基底所给出的结果和准确结果都只在小数点后面第三位才出现差别. 这说明，这种方法计算量子体系的能级是可靠的，尤其是适合计算基态和低激发态能级. 同时也表明，基函数的个数的多少，对结果的准确程度有直接的影响；基函数愈多，结果愈准确. 但基函数过多会影响计算速度，并且在很多情况下也并不必要. 因此，我们可以根据实际计算的能级的个数和预计算情况确定一个适当的数目. 例如，本文的问题，如果我们只关心较低的几个能级，N=20给出的结果已经足够好；如果我们只计算基态和前两个激发态，我们所需的基函数的个数还可以更少.

3.3.3能级计算结果随基函数参数的变化

我们固定基函数个N=32，分别取基函数参数α=4.0 nm-1，α=4.8 nm-1和α=6.5nm-1进行了计算，计算结见表3. 从表中可以看出，基函数的参数对结果也有重要的影响. 当N=32时，α=4.8 nm-1的结果最好，最接近于准确结果；而α取4.0nm-1和6.5 nm-1的结果都相对差一些. 因此，在用基函数展开法时，基函数参数的选取也是十分重要的. 具体计算中，基函数参数一般要根据问题的情况，通过理论估算和预计算确定.

表3　　　　基函数个数N=32和基函数参数分别为α=4.0 nm-1、4.8 nm-1、6.5 nm-1时，能级的计算结果与准确结果对比

3.3.4波函数计算结果与讨论

从波函数的图像来看，E1、E3和E6的波函数Φ1(x)、Φ3(x)和Φ6(x)明显具有奇偶性. 这一点从3个波函数的叠加表示式中也能明显的看出来.Φ1(x)和Φ3(x)全部是由偶宇称谐振子波函数叠加而成，Φ6(x)则全部是由奇宇称谐振子波函数叠加而成. 从波函数的叠加表示式我们还可以看出不同基函数对Φ1(x)、Φ3(x)和Φ6(x)的贡献.例如，对基态波函数Φ1(x)，来自谐振子基态波函数ψ0(x)的贡献占近80%，而ψ30(x)的贡献仅占不到0.035%，并且随着能级的升高，谐振子基态波函数ψ0(x)的贡献越小，而高能级谐振子函数的贡献逐渐增加.

Φ1(x)=-0.7955ψ0(x)-0.4555ψ2(x)-

0.3076ψ4(x)-0.2069ψ6(x)-

0.1296ψ8(x)-0.0690ψ10(x)-

0.02466ψ12(x)+0.00087ψ14(x)+

0.00725ψ16(x)+0.00175ψ18(x)-

0.00321ψ20(x)-0.00141ψ22(x)+

0.001769ψ24(x)+0.000550ψ26(x)-

0.001463ψ28(x)-0.000348ψ30(x)

Φ3(x)=0.5434ψ0(x)-0.2731ψ2(x)-

0.4812ψ4(x)-0.4681ψ6(x)-

0.3560ψ8(x)-0.2123ψ10(x)-

0.08278ψ12(x)+0.000570ψ14(x)+

0.0224ψ16(x)+0.00600ψ18(x)-

0.0098ψ20(x)-0.00462ψ22(x)+

0.00538ψ24(x)+0.00178ψ26(x)-

0.004518ψ28(x)-0.00117ψ30(x)

Φ6(x)=-0.39486ψ1(x)+0.61355ψ3(x)+

0.2425ψ5(x)-0.2684ψ7(x)-

0.4533ψ9(x)-0.3376ψ11(x)-

0.1199ψ13(x)+0.02437ψ15(x)+

0.0401ψ17(x)-0.00623ψ19(x)-

0.0226ψ21(x)+0.00157ψ23(x)+

0.01212ψ25(x)-0.00394ψ27(x)-

0.00743ψ29(x)+0.00397ψ31(x)

图1　基态的本征函数Φ1(x)

图2　第二激发态的本征函数Φ3(x)

图3　第五激发态的本征函数Φ6(x)

4　 结论

本文详细阐述了在一维谐振子基下，一维有限深对称方势阱问题的求解过程，并对求解的结果进行了对比讨论. 我们的计算结果和在坐标表象下直接求解薛定谔方程得出的结果完全一致. 但从求解过程来看，这种方法显得有些复杂和冗长. 我们知道，基函数展开方法主要用于复杂的多粒子量子体系的计算与分析，非常适合于用计算机进行大规模

数值计算，因此，用它来求解简单的有限深方势阱问题有点“大材小用”，且使得求解过程变得较为复杂.但正如本文前言中所述，我们的目的不在于寻求求解一维有限深方势阱模型这个简单问题的方法，也不在于比较不同方法的优劣，而在于通过一个简单模型的求解过程，来讲解和阐述一个用于求解复杂量子体系问题的广泛采用的重要方法，这也恰恰是讲授和学习复杂问题及其求解方法所需要的. 本文虽然计算的是一个简单问题，但求解过程却涉及到了基函数展开法的几乎所有重要环节，如问题的对称性和边界条件的考虑与基函数的选取，基函数参数和个数的确定，矩阵元的积分表示的推导，方法和计算代码有效性的验证，结果的讨论等. 我们希望量子力学的学习者能通过这样一个简单问题的具体求解过程更容易地学习和更深刻地理解量子力学中的基函数展开法；同时，也希望提供一个适合于在量子力学教学中讲解基函数展开法及其应用的范例. 另外，非对称有限深方势阱模型和半无限深方势阱模型也是讲解和学习基函数展开法的比较合适的简单模型. 有兴趣的读者可以类比本文，对这些模型进行计算.

[1]曾谨言. 量子力学(卷Ⅰ)[M].3版. 北京：科学出版社，1983：62-65.

[2]柯善哲，肖福康，江兴方. 量子力学[M]. 北京：科学出版社，2006：67-71.

[3]洪维恩，魏宝琛. 数学运算大师Mathematica 4[M]. 北京：人民邮电出版社，2002.

Solution of one-dimensional finite symmetric square potential well model using the basis expansion method

WANG Zai-jun

(School of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin 300222, China)

The one-dimensional finite symmetric square potential well model is studied by using the basis expansion method. The results are in agreement well with those obtained ones by solving the Schrödinger equation in the coordinate representation. The calculation is a good illustration of the basis expansion method in the quantum mechanics and provides a good example for teaching and studying of the method. In addition, numerical evaluation of the results also provides a good reference for teaching and studying of solving quantum problems by using computers.

one-dimensional finite symmetric square potential well model； basis expansion method； harmonic oscillator eigenfunction； matrix representation of operator

2015-07-07；

2016-01-22

国家自然科学基金(11275138)、天津职业技术师范大学科研基金(KJYB11-3)资助

王再军(1964—)，男，河南濮阳人，天津职业技术师范大学教授，主要从事理论核物理和量子物理的研究和教学工作.

O 413.1

A

1000- 0712(2016)08- 0039- 05