余 丽



贝叶斯法则的理论分析与现实应用研究

余 丽

（肇庆医学高等专科学校，广东肇庆 526020）

运用贝叶斯法则，可以让决策者充分利用概率决策和概率推理来作出相应的决策．文章在其现实应用中列举了工厂生产、信任度等生动例子，以便应用者能够充分掌握、理解和灵活运用贝叶斯法则．

贝叶斯法则；概率决策；概率推理；决策者

1 问题的提出

贝叶斯推理的问题是条件概率推理问题，这一领域的探讨对揭示人们对概率信息的认知加工过程与规律、指导人们进行有效的学习和判断决策都具有十分重要的理论意义和实践意义．但是要完全掌握、了解并灵活运用这一法则，存在着诸多困扰和难题，仅仅从数学理论方面的研究和学习显然不够，还必须结合现实社会中的种种生动例子，才能使学习者和应用者达到学习目的．

2 贝叶斯法则的定义

2.1 完备事件组

设实验的样本空间为，1,2,,n为的一组事件，若1,2,…,n两两互不相容，并且，则称1,2,…,n为试验完备事件组．

2.2 全概率公式

设试验E的样本空间为，如果A,A,…,A是的一个完备事件组，且P(A)>0 (i=1,2,…,n)，则对于的任一事件，有．

注：全概率公式是将求复杂事件的概率()转化为求概率(A)与(B|A)乘积的和，其中 (=,,…,)．

2.3 贝叶斯法则解析

设事件为1,2,…,n试验的完备事件组，对于任一事件，如果()>0，则有：，其中 (=1,2,…,)．

（1）首先要认识事件是试验的一个事件，且把事件看成是一个“结果” ．

（2）完备事件组1,2,…,n理解成导致这一结果发生的不同原因，(A) (=1,2,…,)是各种原因发生的概率，通常在“结果”发生之前就已经明确，有时可以从以往的经验中求得，因而称之为先验概率．

（3）贝叶斯公式是在“结果”已经发生之后，再去考虑各种原因发生的概率，(|A) (=1,2,…,n)．

有的时候，人们把(|A)称为“原因”概率，把(A|)称为“事后”概率，它能够表现已有信息的更新情况，所以经常被用在时间原因的分析上．从贝叶斯公式可看出：“事后”概率可通过一系列的“原因”概率求得．(A) (=1,2,…,)是在不知道事件是否发生的情况下各事件发生的概率，在知道发生之后，对概率(A|) (=1,2,…,)就有了新估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．

3 贝叶斯法则的现实应用

3.1 贝叶斯法则在企业资质评判中的应用

从结论可以发现，在所有被资质评价为差的企业中，其实只有大约55%的企业才是真正的资质差的，换句话说，先前的资质评价是有较大误差的，所以说我们不能对被资质评价为差的企业轻易下结论，更不能轻易地剥夺其投标的资格．作为市场经济中的企业，理应本着实事求是的原则，对每一个企业进行深入了解，然后再作出正确科学的评价和合理的决定．

3.2 贝叶斯法则在企业生产中的应用

现代企业的机器化大生产，虽然是流水线的规模化生产，但也避免不了在生产过程中出现的瑕疵．如果能够运用贝叶斯法则，我们就可以比较容易地对产品的次品率进行判断．

例如，在某企业的生产过程中，次品率为0.1%，但却没有合适的仪器可以对此进行检查．此时，某人向企业推销自己的检测仪器，并声称误判的概率只有5%．请问，该企业能不能使用某人的这个检测仪器呢？要回答这个问题，我们可以用事件表示“实际上的次品”，用事件表示“经过检查判断是次品的产品”．于是得到，．我们用贝叶斯法则来计算被检查出的次品中实际次品率，为：

同理可得，我们可以计算出“被检查出的正品中实际正品率”为：.

于是，由(|)=0.018664可知，如果企业生产该产品成本较高的话，那么就不宜采用某人的检测器，因为该检测器检测出来为次品的产品中，实际上98%以上的都不是次品，而是正品．所以，如果企业采用这台机器，必定会造成较大的损失，降低企业的盈利率．

3.3 贝叶斯法则在生产索赔中的应用

生产索赔问题是当前市场经济，特别是对外贸易中经常出现的纠纷，如果得不到妥善的处理，既会导致企业的收益减少，还会影响贸易伙伴之间的关系．因此，在生产的过程中，我们如果能清楚了解各种索赔的详细情况，就可以很好地避免不必要的成本支出．假如通过以往的信息我们了解到，在所有的索赔实践中，质量问题的占50%，数量短缺问题的占30%，包装问题的占20%；同时还了解到，在产品质量问题引起的争议中，有40%是通过双方协商解决而未诉诸法律的，在产品数量问题引起的争议中，有60%是经过双方协商解决的，在包装问题引起的争议中，有75%是通过双方协商解决的．现在的问题是，当出现了某一索赔事件，并且通过了双方协商解决，要判断这一事件不属于质量问题引起的争议的概率．

根据贝叶斯法则，我们可以假设事件{产品质量问题}，事件={产品数量短缺问题}，事件={产品包装问题}，事件={双方协商解决}，那么，由题设可知：(1)=0.5，(2)=0.3，(3)=0.2，且，(|1)=0.4，(|2)=0.6，(|3)=0.75，于是利用贝叶斯法则可以计算出：

由此可见，当出现了某一索赔事件，并且通过了双方协商解决，这一事件属于质量问题引起的争议的概率为0.38，显然，不属于质量问题引起的争议的概率就为0.62．

综上所述，作为概率论的主要内容和难点内容，贝叶斯法则不但具有重要的理论意义，在现实中也有非常强的应用价值．不论是日常生活中，还是在经济交往中，我们都会用到概率决策和概率推理，如果我们能灵活地运用贝叶斯法则，那么对这些社会、经济、生活问题就能迎刃而解．对于在校的大学生而言，如果能在学习的过程中，举一反三地将大量的生活案例融入课堂，必将增强学生对学习贝叶斯法则、学习概率论，乃至学习数学都会产生浓厚的兴趣，他们会发现原来数学并不是枯燥无味的公式和定理，而是平凡而神奇的极具应用性的学科．正如数学家拉普拉斯所言，概率论只不过是把常识用数学公式表达了出来，而贝叶斯所做的正是这样的工作．

[1] 杨静，陈东，程小红.贝叶斯公式的几个应用[J].大学数学，2011（2）：166-169.

[2] 余丽.微分中值定理的证明及应用中的辅助函数构造[J].重庆三峡学院学报，2014（3）：21-24.

[3] 赵永祥，李丽.超几何概率教学探讨[J].重庆三峡学院学报，2014（3）：32-34.

（责任编辑：于开红）

A Theoretical Analysis and Practical Application of Bayes Law

YU Li

By using Bayes rule, decision makers can make full use of probability decision and probability reasoning to take corresponding decisions. This paper enumerates the production in factories, credibility and other examples in real application, so that the users can fully understand, absorb and use Bayes rule in a flexible way.

Bayes Law; probability decision; probability reasoning; decision maker

O211

A

1009-8135（2016）03-0024-03

2016-03-01

余 丽（1987-），女，广东潮州人，肇庆医学高等专科学校讲师，主要研究数学教育．

广东省自然科学基金项目（项目编号：S2011010001591）阶段性成果
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